§2.7二次函數、冪函數

考向瞭望?把脈高考§2.7二次函數

、冪函數考向瞭望?把脈高考考點探究?挑戰高考考向瞭望?把脈高考雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理1．二次函數的三種表示形式(1)一般式：________________________(2)頂點式：若二次函數圖像的頂點坐標為(k，h)，則其解析式為f(x)＝____________________(3)兩根式：若二次函數圖像與x軸的交點坐標為(x1,0)，(x2,0)，則其解析式為f(x)＝_______________________f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．a(x－k)2＋h(a≠0)．a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函數的圖像和性質解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像定義域______________RR單調遞增奇偶性當b＝0時為__________，當b≠0時為非奇非偶函數對稱性圖像關于直線x＝__________

成軸對稱圖形偶函數思考感悟二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c對其圖像的性質有何作用？提示：a決定開口方向，a與b決定對稱軸位置，c決定圖像與y軸的交點位置，a，b，c決定圖像的頂點．3．簡單的冪函數函數__________叫作冪函數，其中x是自變量，α是常數．y＝xα課前熱身1．若二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，則f(x)的表達式為(

)A．f(x)＝－x2－x－1

B．f(x)＝－x2＋x＋1C．f(x)＝x2－x－1D．f(x)＝x2－x＋1答案：D2．若函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區間(－∞，4]上是減函數，那么實數a的取值范圍是(

)A．a≥3 B．a≤－3C．a＜5 D．a≥－3答案：B3．給出命題：若函數y＝f(x)是冪函數，則函數y＝f(x)的圖像不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是(

)A．3 B．2C．1 D．0答案：C4．(教材習題題改編)將二次函函數y＝－2x2的圖像平平行移動動，頂點點移到(3,2)，則二次次函數解解析式為為____________．答案：y＝－2x2＋12x－16答案：4考點探究?挑戰高考考點突破考點一二次函數的解析式問題利用已知知條件求求二次函函數解析析式，常常用的方方法是待待定系數數法，但但可根據據不同的的條件選選用適當當形式求求f(x)解析式．．(1)已知三個個點坐標標時，宜宜用一般般式；(2)已知拋物物線的頂頂點坐標標與對稱稱軸有關關或與最最大(小)值有關時時，常使使用頂點點式；(3)若已知拋拋物線與與x軸有兩個個交點，，且橫軸軸坐標已已知時，，選用兩兩根式求求f(x)更方便．．例1【名師點評評】一般式在在任何題題目中都都適用，，其缺點點是設的的字母較較多，容容易引起起混亂．．頂點式式一般需需要先知知道二次次函數圖圖像的頂頂點坐標標，而兩兩根式則則需要先先知道圖圖像與x，y軸的交點點坐標．．在解題題時，遵遵循的原原則是出出現字母母越少越越好，但但不管用用什么方方法求解解，都需需要三個個獨立的的條件．．考點二冪函數冪函數是是指形如如y＝xα(α∈R)的函數，，它的形形式非常常嚴格，，必須完完全具備備這種形形式的函函數才是是冪函數數．冪函函數的圖圖像和性性質與冪冪指數α有關，當當α>0時，圖像像過原點點，且在在[0，＋∞)上為增函函數，當當α<0時，圖像像不過原原點，且且在(0，＋∞)上為減函函數．例2【思路點撥撥】(1)利用冪函函數的性性質對M進行求解解．(2)將f(x)代入F(x)后利用奇奇偶性的的定義判判斷．【解】(1)∵f(x)是偶函數數，∴m2－2m－3是偶數．．又在(0，＋∞)上是減函函數，∴∴m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.當m＝0時，m2－2m－3＝－3不是偶數數，舍去去；當m＝1時，m2－2m－3＝－4為偶數，，符合題題意；當m＝2時，m2－2m－3＝－3不是偶數數，舍去去．∴m＝1，故f(x)＝x－4.當a≠0，b≠0時，F(x)為非奇非非偶函數數；當a＝0，b≠0時，F(x)為奇函數數；當a≠0，b＝0時，F(x)為偶函數數；當a＝0，b＝0時，F(x)既是奇函函數又是是偶函數數．【失誤點評評】本題易忽忽視m∈Z而出現無無法求出出f(x)的解析式式的情況況．分別作出出它們的的圖像如如圖所示示，由圖圖像可知知，當x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時，f(x)＞g(x)；當x＝1時，f(x)＝g(x)；當x∈(0,1)時，f(x)＜g(x)．考點三二次函數的最值問題二次函數數在閉區區間上的的最大值值和最小小值只能能在區間間端點或或二次函函數圖像像的頂點點處取得得．因此此，求二二次函數數的最值值必須認認清定義義域區間間與對稱稱軸的相相對位置置以及拋拋物線的的開口方方向，然然后借助助于二次次函數的的圖像或或性質求求解．顯顯然，定定義域、、對稱軸軸及二次次項系數數是求二二次函數數最值的的三要素素．函數f(x)＝x2－4x－4在閉區間[t，t＋1](t∈R)上的最小值值記為g(t)．(1)試寫出g(t)的函數表達達式；(2)作g(t)的圖像并寫寫出g(t)的最小值．．【思路點撥】所求二次函函數解析式式固定、區區間變動，，可考慮區區間在變動動過程中二二次函數的的單調性，，從而利用用二次函數數的單調性性求函數在在區間上的的最值．例3【解】(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.當t>2時，f(x)在[t，t＋1]上是是增增函函數數，，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；當t≤2≤≤t＋1，即即1≤≤t≤2時，，g(t)＝f(2)＝－－8；當t＋1<2，即即t<1時，，f(x)在[t，t＋1]上是是減減函函數數，，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.互動動探探究究2“已知知函函數數f(x)＝x2＋2ax＋2，求求f(x)在[－5,5]上的的最最大大值值”，如如何何解解答答？？解：：f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，對對稱稱軸軸x＝－－a.(1)當－－a<－5，即即a>5時，，函函數數f(x)在[－5,5]上單單調調遞遞增增，，如如圖圖1，故故f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a.(2)當－－5≤－a<0，即即0<a≤5時，，如如圖圖2，故f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a.(3)當0≤－a≤5，即即－－5≤a≤0時，，如如圖圖3，故f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.(4)當－－a>5，即即a<－5時，，如如圖圖4，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.方法感悟方法法技技巧巧1．二二次次函函數數的的解解析析式式有有三三種種形形式式：：一一般般式式、、頂頂點點式式和和兩兩根根式式．．根根據據已已知知條條件件靈靈活活選選用用．．(如例例1)2．二二次次函函數數的的單單調調性性只只與與對對稱稱軸軸和和開開口口方方向向有有關關系系，，因因此此單單調調性性的的判判斷斷通通常常用用數數形形結結合合法法來來判判斷斷．．(如例例3)3．冪冪函函數數y＝xα(α∈R)，其其中中α為常常數數，，其其本本質質特特征征是是以以冪冪的的底底x為自自變變量量，，指指數數α為常常數數，，這這是是判判斷斷一一個個函函數數是是否否是是冪冪函函數數的的重重要要依依據據和和唯唯一一標標準準．．應當注意并不不是任意的一一次函數、二二次函數都是是冪函數，如如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是冪函函數．(如例2)4．在(0,1)上，冪函數中中指數愈大，，函數圖像愈愈靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數中中指數越大，，函數圖像越越遠離x軸．5．求二次函數數在給定區間間上的最值(值域)，其關鍵是判判斷二次函數數圖像頂點的的橫坐標(或對稱軸)與所給區間的的關系，然后后結合二次函函數的圖像，，利用數形結結合的思想來來解決問題．．(如例3)失誤防范1．冪函數的圖圖像一定會出出現在第一象象限內，一定定不會出現在在第四象限內內，至于是否否出現在第二二、三象限內內，要看函數數的奇偶性；；冪函數的圖圖像最多只能能同時出現在在兩個象限內內；如果冪函函數圖像與坐坐標軸相交，，則交點一定定是原點．2．冪函函數的的定義義域的的求法法可分分5種情況況：①α為零；；②α為正整整數；；③α為負整整數；；④α為正分分數；；⑤α為負分分數．．3．作冪冪函數數的圖圖像要要聯系系函數數的定定義域域、值值域、、單調調性、、奇偶偶性等等，只只要作作出冪冪函數數在第第一象象限內內的圖圖像，，然后后根據據它的的奇偶偶性就就可作作出冪冪函數數在定定義域域內完完整的的圖像像．4．利用用冪函函數的的圖像像和性性質可可處理理比較較大小小、判判斷復復合函函數的的單調調性及及在實實際問問題中中的應應用等等類型型．進進一步步培養養學生生的數數形結結合、、分類類討論論等數數學思思想和和方法法．考情分析考向瞭望?把脈高考本節主主要考考查二二次函函數圖圖像的的應用用、二二次函函數的的單調調區間間、二二次函函數在在給定定區間間上的的最值值以及及與此此有關關的參參數問問題、、冪函函數的的圖像像及性性質等等．其其中二二次函函數圖圖像的的應用用與其其最值值問題題是高高考的的熱點點，題題型多多以小小題或或大題題中關關鍵的的一步步的形形式出出現．．預測在在2012年高考考中以以二次次函數數為命命題落落腳點點的題題目仍仍將是是一個個熱點點，重重點考考查數數形結結合與與等價價轉化化兩種種數學學思想想．真題透析例【答案】C【名師點點評】(1)本題易易出現現以下下失誤誤：①①解題題方向向不明明確，，簡單單問題題復雜雜化，，如將將a換底為為以10為底的的對數數；②②比較較大小小時不不會尋尋找合合適的的“中間量量”．(2)這類題題目各各版本本的課課本中中都有有出現現，如如北師師版第第126、127頁均有有，只只是考考題對對其作作了變變化，，使得得考題題增加加了能能力的的成份份且綜綜合性性更強強．(3)比較兩兩個冪冪值和和兩個個對數數值大大小的的方法法：①若是兩兩個冪冪值的的大小小的比比較，，則首首先分分清底底數相相同還還是指指數相相同，，如果果底數數相同同，可可以利利用指指數函函數的的單調調性；；如果果指數數相同同，可可以轉轉化為為底數數相同同，也也可以以借助助圖像像；如如果底底數不不同，，指數數也不不同，，就要要利用用“中間間量量”進行行比比較較．．②若是是兩兩個個對對數數值值的的大大小小比比較較，，如如果果底底數數相相同同，，可可以以利利用用對對數數函函