第2章質點力學的守恒定律1）從力對空間的積累作用出發，引入功、動能的概念----能量守恒定律2）從力對時間的積累作用出發，引入動量、沖量的概念----動量守恒定律三大守恒定律是普適的，守恒定律更重要3）介紹角動量、動量矩---引入角動量守恒定律牛頓定律是瞬時的規律，有時需關心過程中力的效果2.1機械功功率一功（work）

2變力的功MMablxyzOab

一段上的功：M在1恒力的功在直角坐標系中：

在ab一段上的功：說明(1)功是標量，且有正負(2)合力的功等于各分力的功的代數和(3)一般來說，功的值與質點運動的路徑有關二功率瞬時功率：

平均功率：

例1一質點受變力作用，求（1）質點沿OMQ運動時變力所作的功。（2）質點沿OQ運動時變力所作的功。y(m)x(m)33QMo質量為10kg的質點，在外力作用下做平面曲線運動，該質點的速度為解在質點從

y=16m

到

y=32m

的過程中，外力做的功。求例2,開始時質點位于坐標原點。L緩慢拉質量為m的小球，解xy例3=0

時，求已知用力保持方向不變作的功。已知m=2kg,在F=12t

作用下由靜止做直線運動解例4求t=02s內F作的功及t=2s時的功率。2.2動能動能定理（kineticenergytheorem）一.質點動能定理

作用于質點的合力在某一路程中對質點所作的功，等于質點在同一路程的始、末兩個狀態動能的增量。

(1)Ek

是一個狀態量,A

是過程量。(2)動能定理只用于慣性系。

說明二.質點系動能定理把質點動能定理應用于質點系內所有質點并把所得方程相加有:1)內力和為零,內力功的和是否為零？不一定為零ABABSL討論2)內力的功也能改變系統的動能。如炸彈爆炸過程內力和為零，但內力做功轉化為彈片的動能。

一輕彈簧的勁度系數為k=100N/m，用手推一質量m=0.1kg的物體把彈簧壓縮到離平衡位置為x1=0.02m處,如圖所示。放手后，物體沿水平面移動到x2=0.1m而停止。

放手后，物體運動到x1

處和彈簧分離。在整個過程中，解例1物體與水平面間的滑動摩擦系數。求摩擦力作功彈簧彈性力作功根據動能定理有長為l的均質鏈條，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知鏈條與水平面間靜摩擦系數為0,滑動摩擦系數為(1)以鏈條的水平部分為研究對象，設鏈條每單位長度的質量為，沿鉛垂向下取Oy軸。解Oy例2求滿足什么條件時，鏈條將開始滑動(2)若下垂部分長度為b

時，鏈條自靜止開始滑動，當鏈條末端剛剛滑離桌面時，其速度等于多少？當y>b0

，拉力大于最大靜摩擦力時，鏈條將開始滑動。設鏈條下落長度y=b0時，處于臨界狀態(2)以整個鏈條為研究對象，鏈條在運動過程中各部分間相互作用的內力的功之和為零，摩擦力的功重力的功據動能定理：Oy2.3勢能機械能守恒定律一保守力

（conservativeforce）xyzO1

重力的功重力mg在曲線路徑M1M2

上的功：(1)重力的功只與始、末位置有關，而與路徑無關。(2)質點上升時，重力作負功；下降時，作正功。mG結論②①2萬有引力的功

上的元功為

萬有引力在全部路程中的功為：1)萬有引力的功，只與始、末位置有關，與路徑無關。Mabm結論在位移元2)兩個質點移近時，萬有引力作正功；遠離時，作負功。3彈性力的功1)彈性力的功只與始、末位置有關，與路徑無關2)彈簧的形變減小時，彈性力作正功；增大時，作負功。彈簧彈性力由x1

到x2彈性力的功：結論xO力所做的功與路徑無關，而只決定于物體的始末相對位置，這樣的力稱保守力。如重力、萬有引力、彈性力4保守力作功與路徑有關的力稱為非保守力，如摩擦力質點在保守力場中某點的勢能，在量值上等于質點從該點移動至零勢能點的過程中保守力作的功。1重力勢能

2彈性勢能

xyzOOx二勢能（potentialenergy）3萬有引力勢能

rMm等勢面保守力的功等于質點在始末兩位置勢能增量的負值2)勢能零點可任意選取，故某點的勢能值是相對的。3)保守力場中任意兩點間的勢能差與勢能零點選取無關。說明1)只有物體間相互作用力是保守力，才能建立勢能的概念4)勢能屬于相互作用的物體系統所共有，“某物體的勢能”只是習慣的說法質點的勢能與位置坐標的關系可用圖線表示三一維勢能曲線zO重力勢能彈性勢能萬有引力勢能xOrO1由勢能函數求保守力

2由勢能曲線求保守力勢能曲線上某點斜率的負值，就是該點對應的位置處質點所受的保守力。xE質點運動范圍：質點在（x2

x3）內釋放：做往復振動ABCB點：穩定平衡位置A、C點：非穩定平衡位置前面引入了勢能的概念，這為我們系統、全面研究機械能打下了基礎。功能原理實際上是系統動能定理的變形。四、功能原理第一個質點：第二個質點：第n個質點：、、、、、、、合力外力內力保守內力非保守內力A合＝A外＋A保守內力＋A非保守內力＝Ek2－Ek1－（Ep2－Ep1）“同狀態的量”合并：令稱為系統的機械能式中分別為作功前后系統的機械能A外＋A非保守內力=(Ek2－Ek1）+【（Ep2－Ep1）】A外＋A非保守內力=(Ek2+

Ep2）-（Ek1+Ep1）

----系統的功能原理1）功能原理說明只有外力及非保守內力才能改變系統的機械能.功能原理:系統的機械能的增量等于外力及非保守內力作功之總和.例:提高杠鈴的機械能靠外力,而馬達的停止轉動是靠非保守內力---磨擦力.2）功能原理與動能定理并無本質差別,區別在于功能原理引入了勢能概念,而無需計算保守力的功.動能原理則應計算包括保守內力在內的所有力的功.說明或：機械能守恒定律：如果系統內除保守內力以外，其它外力及和非保守內力都不作功，那么系統的總機械能保持不變。五、機械能守恒定律2）機械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特例。1）機械能守恒的條件：并非：

對與一個與自然界無任何聯系的系統來說,系統內各種形式的能量是可以相互轉換的，但是不論如何轉換，能量既不能產生，也不能消滅，這一結論叫做能量守恒定律.注意六宇宙速度

牛頓的《自然哲學的數學原理》插圖，拋體的運動軌跡取決于拋體的初速度設地球質量,拋體質量,地球半徑

.``````解取拋體和地球為一系統，系統的機械能E守恒.1）人造地球衛星第一宇宙速度第一宇宙速度，是在地面上發射人造地球衛星所需的最小速度.解得``````由牛頓第二定律和萬有引力定律得``````地球表面附近故計算得第一宇宙速度我國1977年發射升空的東方紅三號通信衛星2）人造行星第二宇宙速度``````設地球質量,拋體質量,地球半徑

.

第二宇宙速度，是拋體脫離地球引力所需的最小發射速度.

取拋體和地球為一系統系統機械能守恒.當若此時則第二宇宙速度``````計算得用彈簧連接兩個木板m1

、m2

，彈簧壓縮x0

。解整個過程只有保守力作功，機械能守恒例1給m2

上加多大的壓力能使m1

離開桌面？求

§2-5動量定理、動量守恒定律Momentum、Impulse、LawofConservationofMomentum一、動量、沖量概念狀態量、矢量單位：千克.米/秒，kg.m/s力的累積效應對積累對積累

動量沖量

力對時間的積分（矢量）單位：牛頓.秒二、動量定理質點動量定理:質點所受合外力的沖量等于質點動量的增量.1、質點的動量定理

動量是物體運動量大小的量度質點動量的改變量決定于所受合外力的沖量當力的沖量決定于力對時間的積累，力越大，作用時間越長，對動量的改變越大。應用該定理應注意：實際中常用分量式：設有一質點受沖力經歷時間狀態由說明上式說明：哪一個方向的沖量只改變哪一個方向的動量2、質點系的動量定理設有三個質點系m1、m2、m3受外力：受內力：對質點“1”對質點“2”對質點“3”以上三式相加：一般言之：設有N個質點，則：…………(1)(1)式稱為動量定理的微分形式.令:稱之為質點系的總動量,則有:…………(2)或:…………(3)又設時間內質點總動量由對(3)式兩邊積分:或:…………(3)又設時間內質點總動量由對(3)式兩邊積分:……(4)……(5)即:……(6)(6)式為質點系的動量定理.…(5a)…(6a)質點系的動量定理:質點系所受外力的總沖量等于質點系的總動量的增量。只有質點系的外力才能改變質點系的總動量.內力雖能改變質點系個別質點的動量，但不能改變質點系的總動量。注意初始速度則推開后速度且方向相反則推開前后系統動量不變三、質點系的動量守恒定律若質點系不受外力或所受合外力為零，則質點系的總動量保持不變。證明：故有1）系統的動量守恒是指系統的總動量不變，系統內任一物體的動量是可變的,各物體的動量必相對于同一慣性參考系.4）

動量守恒定律只在慣性參考系中成立,是自然界最普遍，最基本的定律之一.3）若某一方向合外力為零,則此方向動量守恒.

2）守恒條件合外力為零當相互作用內力很大時，可略去外力的作用,近似地認為系統動量守恒.例如在碰撞,打擊,爆炸等問題中.注意如圖的系統，物體A，B置于光滑的桌面上，物體A和C,B和D之間摩擦因數均不為零，首先用外力沿水平方向相向推壓A和B，使彈簧壓縮，后拆除外力，則A和B彈開過程中，對A、B、C、D組成的系統討論（A）動量守恒，機械能守恒.（B）動量不守恒，機械能守恒.（C）動量不守恒，機械能不守恒.（D）動量守恒，機械能不一定守恒.DBCADBCA下列各物理量中，與參照系有關的物理量是哪些？（不考慮相對論效應）1）質量2）動量3）沖量

4）動能5）勢能6）功答：動量、動能、功.討論例1

質量為10KG的物體,受到力作用,在t=0時,物體靜止在原點.求(1)物體在t=10s時刻的動量和動能;(2)從t=0到t=10s內作用力的沖量和所作的功.已知:求:解(1)建立坐標OXYmxYmxY(2)求10秒內力的沖量及作的功依沖量的定義:依動能定理:例2質量為m的勻質鏈條，全長為

L，開始時，下端與地面的距離為h,當鏈條自由下落在地面上時所受鏈條的作用力？Lh解

設鏈條在此時的速度據動量定理地面受力m求鏈條下落在地面上的長度為l(l<L)時，地面

dm

§2—7碰撞(Centralcollision)碰撞有如下特點。1）碰撞是沖擊力，相互作用時間極短，沖擊力>>非沖力，可不考慮非沖擊力的作用。2）碰撞時間極短，但碰撞前后物體運動狀態的改變非常顯著，因而易于分清過程始末狀態，便于用守恒定律來研究。對心碰撞-----碰撞前后的速度矢量都沿兩球中心（質心）連心線上的碰撞。我們把物體視為“球模型”來考慮。碰撞前：碰撞后：碰撞過程：m2m1m1m2碰撞過程m2m1m1m2m1m2m1m2m1m2m1m2m1m2(1)壓縮階段：(2)恢復階段：m2m1m1m2完全非彈性碰撞兩物體碰撞后,以同一速度運動.碰撞兩物體互相接觸時間極短而相互作用力較大的相互作用.完全彈性碰撞兩物體碰撞之后，它們的動能之和不變.非彈性碰撞由于非保守力的作用，兩物體碰撞后，使機械能轉換為熱能、聲能，化學能等其他形式的能量.1、完全非彈性碰撞：…(1)…(2)…(3)…(4)討論:A)碰撞后速度B)能量:碰撞前XO碰撞前碰撞后m1m2m2m1m2m1m2m1……（4）碰撞后結論:有能量損耗.B)能量:碰撞前2、完全彈性碰撞碰撞前碰撞后m2m1m2m1m2m1XOm1m2依動量守恒、能量守恒列方程：m2m13、一般彈性碰撞碰撞前碰撞后m2m1m2m1m2m1XO兩物體碰撞的恢復系數稱分離速度，m2相對m1離開時的速度。稱接近速度，m1相對m2接近時的速度。引入系數e：其中：（1）定義：測量：m2m1Hh（m1<<m2）m1m1木球---膠皮球0.26象牙球--象牙球0.89木球--木球0.50玻璃球--玻璃球0.94鋼球--鋼球0.56ee物體物體一些物體的恢復系數0<e<1(2)e由材料的性質決定的。i）完全非彈性碰撞碰后分離速度ii）完全彈性碰撞-(a)稱為（完全）彈性碰撞稱為非彈性碰撞稱為完全非彈性碰撞-(b)e＝1-(a)iii）一般彈性碰撞:(0<e<1)…(1)動量守恒：……(2)作業：練習四例1一小球從h處自由下落，不計空氣阻力，與水平桌面碰后又回升到h1，問n次碰后小球的回升高度？hh1hn解由自由下落及豎直上拋運動知識有例2一小球m與物體M作彈性碰撞，求彈簧的最大壓縮量。m＝1kg,M＝5kg,ι＝1m,k=2x103N/m。mιμ=0解（2）代入（1），得完全非彈性碰撞兩物體碰撞后,以同一速度運動.碰撞兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用.完全彈性碰撞兩物體碰撞之后，它們的動能之和不變.非彈性碰撞由于非保守力的作用，兩物體碰撞后，使機械能轉換為熱能、聲能，化學能等其他形式的能量.歸納§2—7角動量角動量守恒(

AngularMomentum.LawofConservationofAngularMomentum)一、何謂角動量角動量的提出，也是與轉動相聯系的

例如天文上行星圍繞太陽轉，單位時間內掃過的面積是一個與有關的問題。這個量稱為角動量。

質點對選取的參考點的角動量等于其矢徑與其動量之矢量積。用表示。定義：om1、為表示是對哪個參考點的角動量，通常將角動量L畫在參考點上。2、單位：注意3、角動量是矢量，其大小方向由：決定。4、角動量的定義并沒有限定質點只能作曲線運動或不能作直線運動。XYZO或：方向如圖質點作圓周運動質點作直線運動o質點系的角動量二、力矩中學時學過的力矩概念定義：力對某點O的力矩等于力的作用點的矢徑與力F的矢量積.

om二、力矩2）方向：的方向3）單位：米.牛頓1）大小注意

下列情況,4）當時，A）B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零C)力的方向與轉軸平行F三、角動量定理1、角動量定理的微分形式對一個質點：（1）式對t求導：此稱質點的角動量定理XYZO對多個質點而言：（以兩個質點為例）如圖設有質點m1，m2分別受外力外力矩內力內力矩對質點（1）：對質點（2）：兩式相加：m1m2內力矩XZYOm1m2XZYO令：質點所受的合外力矩質點系的總角動量則：推廣到n個質點的質點系：質點系角動量定理：系統角動量對時間的變化率等于系統所受合外力矩。2、角動量定理的積分形式對（5）式積分：設：在合外力矩M的作用下，時間內系統的角動量從稱為力矩的角沖量或沖量矩角動量定理（積分形式）作用在質點系的角沖量等于系統角動量的增量。寫成分量式:四、角動量守恒定律對一個質點系而言，若則：角動量守恒定律：當系統所受合外力矩恒為零時，質點系的角動量保持不變。注意：1、角動量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，無論在宏觀上還是微觀領域中都成立。

2、守恒定律表明盡管自然界千變萬化，變換無窮，但決非雜亂無章，而是嚴格地受著某種規律的制約，變中有不變。這反映著自然界的和諧統一。例1用角動量守恒定律導出開普勒第二定律--行星單位時間內掃過的面積相等。Oabc解：設行星繞太陽運動,在時間內，從a點運動到b點，其速率為。t作直線bc垂直于oa，因t很小t時間內掃過的面積(行星質量為m)t時間內掃過的面積（證畢）因為行星是在有心力的作用下運動的，故角動量守恒（L不變），行星的質量是常數.所以例2計算氫原子中電子繞原子核作圓周運