第6講不等式的證明常用的證明不等式的方法

(1)比較法：比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論．為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負． (2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)時要注意它們各自成立的條件．

綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B，及從已知條件A出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論B.

(3)分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”．綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程．

(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法．(5)放縮法：要證明不等式A<B成立，借助一個或多個中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明不等式的方法． 放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：①不等式的傳遞性；②等量加不等量為不等量；③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進行放縮．值為()BA．1B．2D.3C.2

AA．A≤G≤HC．H≤G≤AB．A≤H≤G

D．G≤H≤A3．設(shè)a>0，且a≠1，若P＝loga

(a3－1)，Q＝loga

(a2－1)，則P與Q的大小關(guān)系為()AA．P>QB．P＝QC．P<QD．不確定P>QA<B考點1比較法

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解題思路：左減去右＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋a(c－a)． 當(dāng)a>b>c時，前兩項為正，最后一項為負，如何使得三項之和為正，成為問題的關(guān)鍵，需采用“拆”的技巧，把第三項并入前兩項中去，于是想到ca(c－a)＝ca[(c－b)＋(b－a)]＝ca(c－b)＋ca(b－a)，問題便迎刃而解．

證明：左一右＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)] ＝a(a－b)(b－c)＋c(b－c)(b－a) ＝(a－b)(b－c)(a－c)．例1：已知：a>b>c，求證：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.∵a>b>c，∴(a－b)(b－c)(c－a)>0.因此：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.比較法證不等式步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其化簡目標應(yīng)是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式．第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時須進行討論．第三步：得出結(jié)論．【互動探究】證明：∵a＋b＝1，∴ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.又a、b∈R+，∴ab(x－y)2

≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.考點2綜合法【互動動探究究】1＋＋b1＋＋a考點點3反證證法法例3：已知知a>0，，b>0，，且且a＋b>2.求求證證：：1＋＋ba，1＋＋ab中至至少少解題題思思路路：：由于于題題目目結(jié)論論是是：：至至少少有有一一個個小小于于2，，情情況況較較復(fù)復(fù)雜，，討討論論起起來來比比較較繁繁，，宜宜采采用用反反證證法法．．證明明：：假設(shè)設(shè)1＋＋ba，1＋＋ab都不不小小于于2，，則則1＋ba≥2，1＋ab≥2.∵a>0，b>0，∴∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，兩式相加加可得1＋b＋1＋a≥2(a＋b)，即a＋b≤2，這這與已知知a＋b>2矛矛盾．故故假設(shè)不不成立．．因此：，ab，中至少少有一個個小于2.有一個小小于2.從正難則則反的角角度考慮慮，即要要證明不不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)設(shè)及其它它性質(zhì)，，推出矛矛盾，從從而肯定定A>B，凡涉及到到的證明明不等式式為否定定命題、、惟一性性命題或或含有““至多””、“至少””、“不不存在””、“不不可能””等詞語語時，可可以考慮慮用反證證法．【互動探探究】3．若0<x、y、z<2，求求證：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于于1.錯源：利利用放縮縮法證明明不等式式時應(yīng)把把握好度度要證A>B，可適當(dāng)當(dāng)選擇一一個C，使得C≥B，反之亦然然．主要要應(yīng)用于于不等式式兩邊差差異較大大時的證證明．一一般的放縮技巧巧有：①分式放放縮：固固定分子子，放縮縮分母；；固定分分母，放放縮分子子．多見于分分式類不不等式的的證明；；②添舍放放縮：視視情況丟丟掉或增增多一些些項進行行放縮，，多見于于整式或根根式配方方后需要要放縮的的不等式式的證明明．【互動探探究】用分析法法論證““若A則B”這個命命題的模模式是：：欲證命題題B為真，只只需證明明命題B1為真，從從而又只只需證明明命題B2為真，從從而又………只需需證明命命題A為真，今今已知A真，故B必真．簡簡寫為：：B?B1?B2…?Bn?A.論中正確確的是()DA．(a－1)(c－1)>0C．a(chǎn)c＝1B．a(chǎn)c>1D．a(chǎn)c<1解析：若1<a<b<c，f(x)＝|lgx|＝lgx單調(diào)遞增增，f(a)<f(b)<f(c)，不成立，，若0<a<b<c<1，f(x)＝|lgx|＝－lgx單調(diào)遞減減，f(a)>f(b)>f(c)，不成成立，故故0<a<1且且c>1，由f(a)>f(c)得：－－lga>lgc，即lgac<0，∴∴0<ac<1.【互動探探究】5．設(shè)f(x)＝|lgx|，若0<a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下下列結(jié)2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)歸納法法：當(dāng)不不等式是是一個與與自然數(shù)數(shù)n