關于線性擬合法的進一步討論有擾動項一、建立模型一元線性回歸：殘差項或稱隨機擾動項二、估計參數二、估計參數用最小二乘法進行參數估計，得到的估計表達式為：三、進行檢驗標準誤差：估計值與應變量值間的平均平方誤差。三、進行檢驗可決系數:衡量自變量與因變量關系密切程度的指標，表示自變量解釋了因變量變動的百分比。可見，可決系數取值于0與1之間，并取決于回歸模型所解釋的Y方差的百分比。三、進行檢驗相關系數由公式可見，可決系數是相關系數的平方。相關系數越接近+1或-1，因變量與自變量的擬合程度就越好。三、進行檢驗相關系數與可決系數的主要區別：相關系數測定變量之間的密切程度，可決系數測定自變量對因變量的解釋程度。相關系數有正負，可決系數只有正號。正相關系數意味著因變量與自變量以相同的方向增減。如果直線從左至右上升，則相關系數為正如果直線從左至右下降，則相關系數為負三、進行檢驗回歸系數顯著性檢驗檢驗回歸系數b在顯著性水平ɑ上是否為零，進而判斷自變量的變化能否解釋因變量的變化三、進行檢驗回歸模型的顯著性檢驗三、進行檢驗德賓—沃森統計量（D—W）三、進行檢驗檢驗法則：在D—W小于等于2時，D—W檢驗法則規定：在D—W大于2時,D—W檢驗法則規定:四、進行預測小樣本情況下,近似的置信區間的常用公式為：例題分析已知身高與體重的資料如下表：試計算：（1）擬合適當的回歸方程；（2）判斷擬合優度情況；（3）對模型進行顯著性檢驗；（α=0.05）（4）當體重為75公斤時，求其身高平均值的95%的置信區間。身高（米）1.551.601.651.671.71.751.801.82體重（公斤）5052575660656270例題分析解答：（1）n=8，經計算得：因此：例題分析因此，建立的一元線性回歸方程為：回歸直線的擬合優度不是很理想。例題分析認為所建立的線性回歸模型是顯著的。例題分析預測思路一、模型的基本類型和特征1.線性曲線特征：若增長曲線為一次曲線，則其一階差分為常數。適用于時間序列數據呈直線趨勢的上升（或下降）變化。一、模型的基本類型和特征2.多項式非線性曲線特征：若增長曲線為二次拋物線，則其二階差分為常數。適用于時間序列觀察值數據隨時間變動呈現一種由高到低再到高（或由低到高再到低）趨勢變化一、模型的基本類型和特征3.簡單指數曲線若對象增長速度越來越快，其趨勢近似指數函數曲線，且判斷他在預測期限內不會出現突然變化，可考慮采用。一、模型的基本類型和特征4.修正指數型增長曲線描述對象在發展的初期和中期增長速度較快，隨后增長速度逐漸下降，其圖形接近于漸近線。其中k為飽和值。一、模型的基本類型和特征y=k是一、模型的基本類型和特征5.雙指數曲線模型一、模型的基本類型和特征6.龔帕茲（Compertz）模型一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征7.邏輯（Logistic）增長型曲線模型企業集團形成發展行為，技術創新擴散的基本規律，手機普及率等。二、模型識別繪制坐標數據點，觀察、選擇模型。

選擇樣本序列的變化規律與增長曲線的變化規律在理論上最接近的一種曲線。三、參數估計1.對于線性模型，用最小二乘法處理。2.一些非線性模型，可化為線性模型處理。3.其他類型，有一些特殊方法處理。線性化方法簡單指數曲線、雙指數曲線等等，可化為線性曲線，從而應用擬合曲線法擬合。線性化方法線性化方法以上求解方法稱為對數趨勢法（又稱指數趨勢法）。它是指時間序列觀察值的長期趨勢呈指數曲線變化時，運用觀察值的對數與最小二乘法原理求得預測模型的方法。對數趨勢法用于時間序列數據按指數曲線規律增減變化的場合。二次曲線趨勢外推法假設曲線趨勢外推預測模型為二次曲線趨勢外推法選取參數的準則：使離差的平方和最小。對三個參量求偏導，令其為0，可得方程組二次曲線趨勢外推法若采用正負對稱編號法需計算

可求出參數算例例：某公司1995～2003年的商品銷售收入如下表所示，試預測該公司2004年的銷售收入為多少萬元？解：1）繪制散點圖。（采用正負對稱編號法）算例2）根據散點圖確定其變化趨勢（二次曲線），計算所需數據。3）計算待定參數，建立預測模型，并計算預測值。（三元非齊線性方程組）算例二次曲線的趨勢外推預測模型為：算例其他一些模型的處理雙指數曲線模型取對數，可化為二次曲線模型修正指數型增長曲線可化為簡單指數曲線其他一些模型的處理龔帕茲（B.Gompertz）模型三和法取對數，可化為修正指數型增長曲線。邏輯（Logistic）增長型曲線模型取倒數，亦可化為線性曲線。三點法三點法假設曲線通過增長曲線的始點、中間點和終點，帶入曲線方程，得方程組，求出其三個參數值。缺點：只用了三個值，一部分信息，難免有誤差。三和法三和法又稱三段和值法：確定待定參數的思路是，在二次曲線模型上選取遠、中、近期三點坐標作為預測模型待定參數a、b、c的估計值。其具體作法為，使時間序列的總項數n為奇數（若為偶數，可刪去最初的一個觀察期數據）；如果n≥15時，則在時間序列的遠、中、近三期各取5個數據項，用權數w=1，2，3，4，5由遠及近分別賦權并進行加權平均；同理，如果9≤n≤15時，則在時間序列的遠、中、近三期各取3個數據項，用權數w=1，2，3由遠及近分別賦權并進行加權平均。關于三點（和）法的幾點說明①三點法的特點是不需要數列的全部數據，計算相對而言比較簡單。②對選取的數據比較敏感，即便是取加權平均值，也會受到一定的影響。③一般而言，每一組里的數據相對較多時，則模型可能越接近于實際。④每一組的里數據要求是奇數，是從方便計算的角度而言的。三和法解龔帕茲模型將整個序列分成三個相等的時間周期，并對每一個時間周期的數據求和以估計參數。設數據來自Gompertz模型，即三和法解龔帕茲模型得方程組求解上述方程組，可得k,a,b.三和法解龔帕茲模型解得參數由推導得練習某企業的產品銷售額，實績有如下記錄。假定數據滿足Gomperzt模型，用三和法估計參數。三和法解二次曲線假設遠、中、近三期的坐標分別為；時間序列總項數為奇數，且中間項為d=，則當≥15時，取遠期5個觀察值，其加權平均值為：R=S=T=，

三和法解二次曲線注意：

三和法解二次曲線將以上三點代入二次曲線預測模型中，有聯立方程組：聯立求解，則有：

三和法解二次曲線依此類推，如果是用三項數進行加權平均，且權數由遠及近取1，2，3，那么，聯立求解，則有

例題例：某公司1995～2003年的商品銷售收入如表所示，試按三點法預測該公司2004年銷售收入為多少萬元？某公司1995～2003年商品銷售收入數據表(單位：萬元)解：①描繪散點圖。觀察其變化趨勢，選擇二次拋物線預測模型。②列表計算待定參數所需數據，建立數學模型并進行預測。年份199519961997199819992000200120022003銷售收入54564176492311071322156818362140例題權重年份199515451545549.6821.901996264121282647.4441.471997376432292774.34106.92199849231923930.3854.46199951107222141115.5673.27200061322339661329.8862.09200171568115681573.3428.52200281836236721845.9498.80200392140364202147.6858.98546.41銷售收入