第2課時導數的應用1．函數的單調性與導數在區間(a，b)內，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：如果

，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果

，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減；如果

，那么f(x)在這個區間內為常數．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝02．函數的極值與導數(1)函數的極小值函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側

，右側

，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側

，右側

，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜03．函數的最值(1)如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟①求函數y＝f(x)在(a，b)內的

．②將函數y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．連續不斷極值端點處的函數值f(a)、f(b)1．函數f(x)＝x3－3x2＋1的單調遞減區間為(

)A．(2，＋∞)

B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)解析：

∵f(x)＝x3－3x2＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)<0，得0<x<2，∴函數f(x)的單調遞減區間為(0,2)．答案：

D2．f(x)＝x3－3x2＋3x的極值點的個數是(

)A．0B．1C．2D．3解析：導函數值恒大于或等于零，函數總單調遞增．答案：

A3．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)(

)A．無極大值點、有四個極小值點B．有三個極大值點、兩個極小值點C．有兩個極大值點、兩個極小值點D．有四個極大值點、無極小值點解析：設f′(x)與x軸的4個交點，從左至右依次為x1、x2、x3、x4，當x＜x1時，f′(x)＞0，f(x)為增函數，當x1＜x＜x2時，f′(x)＜0，f(x)為減函數，則x＝x1為極大值點，同理，x＝x3為極大值點，x＝x2，x＝x4為極小值點，故選C.答案：

C4．函數f(x)＝x3－3x2＋2在區間[－1,1]上的最大值為______．解析：

f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x＝0，x＝2(舍)，比較f(1)，f(0)，f(－1)的大小知，f(x)max＝f(0)＝2.答案：

25．已知a>0，函數f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調增函數，則a的最大值是________．解析：

f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，則f′(1)＝0a＝3.答案：

3求可導導函數數單調調區間間的一一般步步驟和和方法法：(1)確定函函數f(x)的定義域域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它它們在定定義域內內的一切切實根．．(3)把函數f(x)的間斷點點(即f(x)的無定義義點)的橫坐標標和上面面的各實實數根按按由小到到大的順順序排列列起來，，然后用用這些點點把函數數f(x)的定義區區間分成成若干個個小區間間．(4)確定f′(x)在各個開開區間內內的符號號，根據據f′(x)的符號判判定函數數f(x)在每個相相應小開開區間內內的增減減性．(2011·北京豐臺臺統練)設f(x)＝x3－(a＋1)x2＋3ax＋1.(1)若函數f(x)在區間(1,4)內單調遞遞減，求求a的取值范范圍；(2)若函數f(x)在x＝a處取得極極小值1，求a的值，并并說明在在區間(1,4)內函數f(x)的單調性性．解析：f′(x)＝3x2－3(a＋1)x＋3a＝3(x－1)(x－a)．(1)∵函數f(x)在區間(1,4)內單調遞遞減，∴f′(4)≤0.∴a∈[4，＋∞)．(2)∵函數f(x)在x＝a處有極值值1，∴a2(a－3)＝0.∴a＝0或3.當a＝0時，f(x)在(－∞，0)上單調遞增，，在(0,1)上單調遞減，，∴f(0)為極大值，這與函數f(x)在x＝a處取得極小值值1矛盾，∴a≠0.當a＝3時，f(x)在(1,3)上單調遞減，，在(3，＋∞)上單調遞增，，∴f(3)為極小值．∴a＝3時，在區間(1,4)內函數f(x)的單調性是：：f(x)在(1,3)內遞減，在(3,4)內遞增．[變式訓練]1.設x＝1和x＝2是函數f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點點．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的單調區間間．解析：(1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.由已知得f′(1)＝5＋3a＋b＝0，f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.解得a＝－，，b＝20.(2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)，當x∈(－∞，－－2)∪(－1,1)∪(2，＋＋∞)時，，f′(x)＞0；當x∈(－2，－－1)∪(1,2)時，，f′(x)＜0.因此此f(x)的單單調調增增區區間間是是(－∞，－－2)，(－1,1)，(2，＋＋∞)；f(x)的單單調調減減區區間間是是(－2，－1)，(1,2)．求可導函函數f(x)極值的步步驟：(1)確定函數數的定義義域；(2)求導數f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左左右兩側側的符號號，如果果在根的的左側附附近f′(x)>0，右側附附近f′(x)<0，那么函函數y＝f(x)在這個根根處取得得極大值值；如果果在根的的左側附附近f′(x)<0，右側附附近f′(x)>0，那么函函數y＝f(x)在這個根根處取得得極小值值．已知函數數y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值值，且其其圖象在在x＝1處的切線線與直線線6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函數的的單調區區間；(2)求函數的的極大值值與極小小值的差差．解析：(1)∵y′＝3x2＋6ax＋3b，由題意得得解得a＝－1，b＝0，則y＝x3－3x2＋c，y′＝3x2－6x.解y′＝3x2－6x>0，得x<0或x>2；解y′＝3x2－6x<0，得得0<x<2.∴函數數的的單單調調遞遞增增區區間間是是(－∞，0)，(2，＋＋∞)，單調調遞遞減減區區間間是是(0,2)．(2)由(1)可知知函函數數在在x＝0時取取得得極極大大值值c，在在x＝2時取取得得極極小小值值c－4，∴函數數的的極極大大值值與與極極小小值值的的差差為為c－(c－4)＝4.求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大大值與最最小值的的步驟如如下：(1)求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值值；(2)將函數y＝f(x)的各極值值與端點點處的函函數值f(a)，f(b)比較，其其中最大大的一個個是最大大值，最最小的一一個是最最小值．．(2010·重慶卷)已知函數數f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數數a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數數．(1)求f(x)的表達式式；(2)討論g(x)的單調性性，并求求g(x)在區間[1,2]上的最大大值與最最小值．．解析：(1)由題意得得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因為函數數g(x)是奇函數數，所以以g(－x)＝－g(x)，即對任意意實數x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值值和最小值值．解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.當x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①利用導數解解決生活中中優化問題題的一般步步驟1．分析實際際問題中各各量之間的的關系，列列出實際問問題的數學學模型，寫寫出實際問問題中變量量之間的函函數關系y＝f(x)，根據實際際意義確定定定義域；；2．求函數y＝f(x)的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域域內的實根根，確定極極值點；3．比較函數數在區間端端點和極值值點處的函函數值大小小，獲得所所求的最大大(小)值；4．還原到原原實際問題題中作答．．某市旅游部部門開發一一種旅游紀紀念品，每每件產品的的成本是15元，銷售價價是20元，月平均均銷售a件．通過改改進工藝，，產品的成成本不變，，質量和技技術含金量量提高，市市場分析的的結果表明明，如果產產品的銷售售價提高的的百分率為為x(0＜x＜1)，那么月平平均銷售量量減少的百百分率為x2.記改進工藝藝后，旅游游部門銷售售該紀念品品的月平均均利潤是y(元)．(1)寫出y與x的函數關系系式；(2)改進工藝后后，試確定定該紀念品品的銷售價價，使得旅旅游部門銷銷售該紀念念品的月平平均利潤最最大．解析：(1)改進工藝后后，每件產產品的銷售售價為20(1＋x)元，月平均均銷售量為為a(1－x2)件，則月平均利利潤y＝a(1－x2)×[20(1＋x)－15](元)．所以y與x的函數關系系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．[變式訓練]4.某工廠每天天生產某種種產品最多多不超過40件，并且在在生產過程程中產品的的正品率P與每日生產產量x(x∈N*)件之間的關關系為P＝，每每生生產產一一件件正正品品盈盈利利4000元，，每每出出現現一一件件次次品品虧虧損損2000元．．(注：：正正品品率率＝＝產產品品中中的的正正品品件件數數÷產品品總總件件數數×100%)(1)將日日利利潤潤y(元)表示示成成日日產產量量x(件)的函函數數；；(2)求該該廠廠的的日日產產量量為為多多少少件件時時，，日日利利潤潤最最大大？？并并求求出出日日利利潤潤的的最最大大值值．．1．在在利利用用導導數數確確定定函函數數單單調調性性時時要要注注意意結結論論“若y＝f(x)在(a，b)內可導，且f′(x)>0，則f(x)在區間(a，b)上是增函數”的使用方法，，此結論并非非充要條件，，如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是遞遞增的的，但但f′(0)＝0；因此此已知知函數數的單單調區區間求求函數數關系系式中中字母母范圍圍時，，要對對f′(x)＝0處的點進進行檢驗驗．2．可導函函數極值值存在的的條件(1)可導函數數的極值值點x0一定滿足足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是是極值點點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值值點．(2)可導函數數y＝f(x)在點x0處取得極極值的充充要條件件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右右側f′(x)的符號不不同．3．函數的的最大值值與最小小值的理理解最值是一一個整體體性概念念，是指指函數在在給定區區間(或定義域域)內所有函函數值中中最大的的值與最最小的值值，在求求函數的的最值時時，要注注意以下下幾點：：(1)最值與極極值的區區別極值是指指某一點點附近函函數值的的比較．．因此，，同一函函數在某某一點的的極大(小)值，可以以比另一一點的極極小(大)值小(大)；而最大大、最小小值是指指閉區間間[a，b]上所有函函數值的的比較，，因而在在一般情情況下，，兩者是是有區別別的，極極大(小)值不一定定是最大大(小)值，最大大(小)值也不一一定是極極大(小)值，但如如果連續續函數在在區間(a，b)內只有一一個極值值，那么么極大值值就是最最大值，，極小值值就是最最小值．．(2)最值與極極值的求求法的區區別在閉區間間[a，b]上連續，，在開區區間(a，b)內可導的的函數f(x)，它的極極值可以以通過檢檢查導數數f′(x)在每一個個零點兩兩旁的符符號來求求得．而而f(x)在[a，b]上的最大大(小)值，則則需通通過將將各極極值與與端點點的函函數值值加以以比較較來求求得，，其中中最大大(小)的一個個即為為最大大(小)值．(3)當f(x)為連續續函數數且在在[a，b]上單調調時，，其最最大值值、最最小值值在端端點處處取得得．由近三三年的的高考考試題題統計計分析析可以以看出出，有有以下下的命命題規規律：：1．考查查熱點點：導導數的的綜合合應用用是高高考的的熱點點2．考查查形式式：主主要以以解答答題形形式出出現，，屬于于中高高檔題題．3．考查查角度度：一是對對導數數與函函數的的單調調性的的考查查，對對于函函數的的單調調性，，以“導數”為工具，能能對其進行行全面的分分析，二是對導數數與函數的的極(最)值的考查，，常見題型型有：求函函數的極值值及閉區間間上的最值值，以極值值或最值為為載體考查查參數的范范圍；三是對導數