第六章平面向量及其應用第六章平面向量及其應用§平面向量的運算知識索引知識索引索引1：向量的加減運算索引1：向量的加減運算定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法索引2：向量加法的運算法則索引2：向量加法的運算法則1、三角形法則：已知非零向量，在平面內任取一點A，做=，=，則向量叫做與的和，記作，即,這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則注意事項：注意事項：三角形法則的使用條件：一個向量的終點為另一個向量的起點

注意事項：平行四邊形法則的適用條件：兩個向量起點相同2、平行四邊形法則：例如以同一O為起點的兩個已知向量，，以，為鄰邊做OACB，則以O為起點的向量，（OC是OACB的對角線）就是向量與的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則

規定：對于零向量與任意向量，我們規定+=+=

注意事項：平行四邊形法則的適用條件：兩個向量起點相同索引3：向量加法的運算律交換律：a+b=b+a結合律：（a+b）+c=a+(b+c)索引3：向量減法運算索引3：向量減法運算1.相反向量：我們規定，與向量,長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作﹣由于方向反轉兩次仍回到原來的方向，因此和﹣互為相反量，于是-（-）=.2.減法的幾何意義：已知向量，，在平面內任取一點O，作，，則，即可以表示為從的終點指向向量的終點的向量小結：加法：首尾連（AB+BC+CD=AD,起點到終點）減法：共起點（AB-AC==CB,連接終點，后者居前）化減為加：AB-AC=AB+CA=CB)湊零向量法（相反向量和為0）索引4：向量的數乘運算1.根據實數與向量的積的定義，可以驗證下面的運算律時成立的.設，為實數，那么

2.向量數乘的運算律設A,B是實數，a,b是向量，則（1）結合律：A（Ba）=(AB)a（2）第一分配率：(AB)a=Aa+Ba（3）第二分配率：A(a+b)=Aa+Ab索引5：向量的數量積1.概念：已知兩個非零向量與，他們的夾角為，我們把數量叫做向量與的數量積，記作

即；=

規定；零向量與任一向量的數量積為0.2.向量數量積的運算律對于向量a,b,c和實數A，(1)交換律:a*b=b*a(2)數乘結合律(Aa)*b=a*(Ab)（3）分配律（a＋b)*c＝a*c＋b*c精例探究精例探究精例1精例1.已知等邊三角形ABC的邊長為6，點P滿足PA+2PB-A.

32

B.

23

C.

33【答案】C【考點】向量的共線定理【解析】【解答】依題意PA+2PB-設D是AC中點，連接BD，由于三角形ABC是等邊三角形，所以BD⊥AD，∠ABD=∠CBD=30°，由于CA=2BP，所以所以四邊形BDAP是矩形，所以∠ABP=90°-30°=60°，Rt△BCP中，AP=AB?sin即|PA故答案為：C

【分析】依題意知PA+2PB-PC=0，再利用三角形法則結合共線定理，得出PA-PC=-2PB,CA=-2PB,CA=2BP，設所以四邊形BDAP是矩形，精例2下列四個結論，正確的個數是（

）①在△ABC中，若A>B>C，則sinA>sinB>sinC；②若a//b，則存在唯一實數λ使得a=λb；③若a//b，bA.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】B【考點】向量的共線定理，正弦定理，三角形的形狀判斷【解析】【解答】①在△ABC中，若A>B>C，則a>b>c，由正弦定理可得：sinA>②若a//b且b≠0，則存在唯一實數λ使得③當b=0時，滿足a//b，b//④在△ABC中，AB|AB|為AB方向的單位向量，AC設△ABC中，∠A的角平分線交BC于點D.所以AB|AB|+AC|所以AD⊥BC，所以AB=AC又AB|AB|?所以A=π3，所以故答案為：B

【分析】由角的大小即可得出邊的大小再由正弦定理即可判斷出①正確，由向量共線的性質即可得出a=λb由此即可判斷出②錯誤，由特殊情況b=0即可得出結論不成立由此判斷出③錯誤，在三角形ABC中，由AB|AB|+AC|AC|即可得出在精例3下列說法中正確的是（

）A.

若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B.

模相等的兩個平行向量是相等向量C.

若a和b都是單位向量，則a=D.

零向量與其它向量都共線【答案】D【考點】零向量，單位向量，相等向量與相反向量【解析】【解答】對于A選項，因為向量是可以移動的，兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定重合，A選項錯誤；對于B選項，模相等的兩個平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B選項錯誤；對于C選項，a和b都是單位向量，但它們的方向不一定相同，故a和b不一定相等，C選項錯誤；對于D選項，零向量的方向是任意的，零向量與其它向量都共線，D選項正確.故答案為：D.

【分析】根據平面向量的基本概念，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可．課堂反饋課堂反饋練習1對于任意兩個向量a和b，下列命題正確的是（

）A.

若a，b滿足|a|>|b|，且a與b同向，則aC.

|a?b|≥|練習2.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1

-1

B.

12C.

-1D.

1練習3在邊長為1的菱形ABCD中，∠A=60°，E是線段CD上一點，滿足|CE（1）用a,b表示（2）在線段BC上是否存在一點F滿足AF⊥BE?？若存在，判定F練習4.已知向量a與b的夾角為θ=3π4，且|（1）若ka+2b（2）求a?b，（3）

|a+b|=a參考答案參考答案練習1【答案】B【考點】向量的模，向量的共線定理，平面向量數量積的運算【解析】【解答】A.向量不能比較大小，所以A不正確；B.根據向量減法運算公式可知，當向量a與b不共線時，兩邊之和大于第三邊，即|a-b|≤|aC.|aD.當向量a與b不共線時，根據向量減法法則可知，兩邊之差小于第三邊，即|a故答案為：B【分析】根據向量共線，數量積，向量的模的性質，逐一判斷即可。練習2【答案】B【考點】向量加減混合運算及其幾何意義【解析】依題意可知M是平行四邊形A1AM=A故答案為：B

【分析】根據題意由四邊形的性質以及向量加減法的運算性質整理即可得到結論。練習3【答案】（1）解：根據題意得:BC=CE=∴BE

（2）解：結論:在線段BC上存在使得4|BF|=|BC|的一點F滿足理由如下:設BF=tBC=tb，則∴AF在邊長為1的菱形ABCD中，∠A=60°∴|a|=|b∵AF⊥BE，∴AF=(1-2=(1-2=0，解得t=14，從而∴|AF【考點】向量加減混合運算及其幾何意義，平面向量數量積的運算【解析】（1）根據向量加、減法運算法則計算即可；

（2）設

BF=tBC=tb

，則

FC=(1-t)b

，

(0≤t≤1