復數的幾何意義1.已知復數z=1-3i,則復數z的模為()A.2 B.3 2.在復平面內,復數1-i的共軛復數對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.復數z=a+bi(a,b∈R)在復平面內對應的點為Z(a,b),若|z|≤1,則點Z的軌跡是()A.直線 B.線段C.圓 D.單位圓以及圓內的部分4.在復平面內,O為原點,向量OA對應的復數為-1+2i,若點A關于直線y=-x的對稱點為B,則向量OB對應的復數為() +i+2i +2i5.當23<m<1時,復數z=(3m-2)+(m-1)i在復平面上對應的點位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.若a為實數,復數z=a-2i在復平面上對應的點位于第四象限,且|z|=5,則a=()A.±1 7.已知復數z在復平面上對應的點為Z(2,-1),則下列說法正確的是()=-1+2i B.|z|=5C.z=2+i 是純虛數8.已知復數z=x-2+yi的模是22,則點(x,y)的軌跡方程是.

9.復數3-5i,1-i和-2+ai在復平面上對應的點在同一條直線上,則實數a的值為.

10.已知復數z=sinθ+1+icosθ(θ∈R),則|z|的最大值為.

11.設z=(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i在復平面內對應的點在直線x+y+1=0上,則tanθ的值為,若θ∈0,π2,則z=12.已知復數z=(a2-4)+(a+2)i,a∈R.(1)若z為純虛數,求實數a的值;(2)若z在復平面上對應的點在直線x+2y+1=0上,求實數a的值.素養提升1.在復平面內,復數6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應的復數是()+8i +2i +4i +i2.已知0<a<2,復數z=a+i(i是虛數單位),則|z|的取值范圍是()A.(1,3) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,5)3.若復數x=sinθ-35+cosθ-45i(θ∈R)是純虛數,則cosθ+icosA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.設A,B為銳角三角形的兩個內角,則復數z=(cosB-tanA)+itanB對應的點位于復平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.已知復數z1=cosx+2f(x)i,z2=(3sinx+cosx)+i,x∈R,在復平面上,設復數z1,z2對應的點分別為Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐標原點,則函數f(x)的最大值為()14 B.14 126.(多選題)設z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i為虛數單位,則以下結論正確的是()在復平面內對應的點在第一象限一定不為純虛數一定不為實數D.z在復平面內對應的點在實軸的下方7.下列命題正確的是()A.復數z1,z2的模相等,則z1,z2是共軛復數B.在復平面內,虛軸上的點對應的復數都是純虛數C.復數z是實數的充要條件是z=z(z是zD.已知復數z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虛數單位),它們對應的點分別為A,B,C,其中O為坐標原點,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),則x+y=18.已知兩向量a,b對應的復數分別是z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),且a,b的夾角為60°,求m的值9.設z為純虛數,且|1-z|=|-1+i|,求復數z.10.已知復數z對應的向量為OZ(O為坐標原點),OZ與實軸正向的夾角為120°,OZ的終點Z在第二象限,且復數z的模為2,求復數z.答案1.已知復數z=1-3i,則復數z的模為()A.2 B.3 答案C解析|z|=12+(-3)22.在復平面內,復數1-i的共軛復數對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析復數z=1-i的共軛復數為z=1+i,對應的點位于第一象限.故選A.3.復數z=a+bi(a,b∈R)在復平面內對應的點為Z(a,b),若|z|≤1,則點Z的軌跡是()A.直線 B.線段C.圓 D.單位圓以及圓內的部分答案D解析∵復數z=a+bi(a,b∈R)在復平面內對應的點為Z(a,b),|z|≤1,∴點z的軌跡是在以原點為圓心,1為半徑的圓上及其內部,故選D.4.在復平面內,O為原點,向量OA對應的復數為-1+2i,若點A關于直線y=-x的對稱點為B,則向量OB對應的復數為() +i+2i +2i答案B解析∵A(-1,2)關于直線y=-x的對稱點B(-2,1),∴向量OB對應的復數為-2+i.5.當23<m<1時,復數z=(3m-2)+(m-1)i在復平面上對應的點位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析∵23<m<∴3m-2>0,m-1<0,∴點(3m-2,m-1)在第四象限.6.若a為實數,復數z=a-2i在復平面上對應的點位于第四象限,且|z|=5,則a=()A.±1 答案C解析因為z=a-2i在復平面上對應的點位于第四象限,所以a>0.又因為|z|=5,所以a2+4=5,解得a=1.故選C.7.已知復數z在復平面上對應的點為Z(2,-1),則下列說法正確的是()=-1+2i B.|z|=5C.z=2+i 是純虛數答案C解析根據復數z在復平面上對應的點為Z(2,-1),則z=2-i,故A錯;|z|=22+(-1)2=5,故B錯;z=2+i,故8.已知復數z=x-2+yi的模是22,則點(x,y)的軌跡方程是.

答案(x-2)2+y2=8解析由模的計算公式得(x-2)∴(x-2)2+y2=8.9.復數3-5i,1-i和-2+ai在復平面上對應的點在同一條直線上,則實數a的值為.

答案5解析由點(3,-5),(1,-1),(-2,a)共線可知a=5.10.已知復數z=sinθ+1+icosθ(θ∈R),則|z|的最大值為.

答案2解析|z|=(sinθ+1)2+(cosθ)2=2+2sinθ,當sinθ=1,即θ=211.設z=(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i在復平面內對應的點在直線x+y+1=0上,則tanθ的值為,若θ∈0,π2,則z=答案1255-解析由題意,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,∴tanθ=12.若θ∈0,π2,則sinθ=55,cosθ=255,則z=5512.已知復數z=(a2-4)+(a+2)i,a∈R.(1)若z為純虛數,求實數a的值;(2)若z在復平面上對應的點在直線x+2y+1=0上,求實數a的值.解(1)若z為純虛數,則a2-4=0,且a+2≠0,解得實數a的值為2;(2)z在復平面上對應的點(a2-4,a+2)在直線x+2y+1=0上,則a2-4+2(a+2)+1=0,解得a=-1.素養提升1.在復平面內,復數6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應的復數是()+8i +2i +4i +i答案C解析A(6,5),B(-2,3),∵C為AB的中點,∴C(2,4),∴點C對應的復數為2+4i,故選C.2.已知0<a<2,復數z=a+i(i是虛數單位),則|z|的取值范圍是()A.(1,3) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,5)答案B解析|z|=a2+1,∵0∴1<a2+1<5,∴|z|∈(1,5).3.若復數x=sinθ-35+cosθ-45i(θ∈R)是純虛數,則cosθ+icosA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析∵復數x=sinθ-35+cosθ-45i(θ∈R)是純虛數,∴sinθ-35=0則cos2θ=1-2sin2θ=1-2×35∴cosθ+icos2θ的共軛復數的實部小于0,虛部小于0,在復平面內對應的點位于第三象限.故選C.4.設A,B為銳角三角形的兩個內角,則復數z=(cosB-tanA)+itanB對應的點位于復平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因A,B為銳角三角形的兩個內角,所以A+B>π2即A>π2-B,sinA>cosBcosB-tanA=cosB-sinAcosA<cosB-sin又tanB>0,所以點(cosB-tanA,tanB)在第二象限,故選B.5.已知復數z1=cosx+2f(x)i,z2=(3sinx+cosx)+i,x∈R,在復平面上,設復數z1,z2對應的點分別為Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐標原點,則函數f(x)的最大值為()14 B.14 12答案B解析由題意,Z1(cosx,2f(x)),Z2(3sinx+cosx,1),∵∠Z1OZ2=90°,∴3sinxcosx+cos2x+2f(x)=0,即2f(x)=-32sin2x-1+cos2x2=-32sin2x-12cos∴f(x)=-12sin2則函數f(x)的最大值為14.故選B6.(多選題)設z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i為虛數單位,則以下結論正確的是()在復平面內對應的點在第一象限一定不為純虛數一定不為實數D.z在復平面內對應的點在實軸的下方答案CD解析因為2t2+5t-3=2t+542-498≥-498,t2+2t+2=(t+1)2+所以復數z在復平面內對應的點可能在第一象限,也可能在第二象限,故A錯誤;當2t2+5t-3=0,t2+2t+2≠0,因為t2+2t+2>0恒成立,所以z一定不為實數,故C正確;由選項A的分析知,因為z對應的點在實軸的上方,所以z對應的點在實軸的下方,故D正確.故選CD.7.下列命題正確的是()A.復數z1,z2的模相等,則z1,z2是共軛復數B.在復平面內,虛軸上的點對應的復數都是純虛數C.復數z是實數的充要條件是z=z(z是zD.已知復數z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虛數單位),它們對應的點分別為A,B,C,其中O為坐標原點,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),則x+y=1答案C解析對于A,模相等的復數不一定是共軛復數,比如:z1=1+i,z2=-1+i,這兩個復數的模相等,但不是共軛復數,故A不正確;對于B,除原點外,虛軸上的點都對應純虛數,故B不正確;對于C,設z=a+bi,z=a-bi,若z=z,則b=0,所以復數z是實數,若z是實數,則b=0,則z=z,所以C正確;對于D,由條件可知OC=(3,-2),OA=(-1,2),OB=(1,-1),若OC=xOA+yOB(x,y∈R),則(3,-2)=(-x+y,2x-y),所以-解得x=1,y=4,所以x+y=5,故D8.已知兩向量a,b對應的復數分別是z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),且a,b的夾角為60°,求m的值解因為a,b對應的復數分別為z1=-3,z2=-12+mi(m∈R所以a=(-3,0),b=-1又a,b的夾角為60°,所以cos60°=(-3即12=32319.設