.空間幾何體復習資料一、空間幾何體的類型1、多面體： 由若干個平面多邊形圍成的幾何體。 圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱， 棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。 常見的 多面體 有：棱柱、棱錐、棱臺2、旋轉體： 把一個平面圖形繞它所在的平面內的一條定直線旋轉形成了封閉幾何體。 其中，這條直線稱為旋轉體的軸。常見的 旋轉體 有：圓柱、圓錐、圓臺、球3、簡單組合體的構成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，例如課本圖 1.1-11 中（1）（2）物體表示的幾何體；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，例如課本圖 1.1-11 中（3）（4）物體表示的幾何體。簡單組合體例1、下列各組幾何體中是多面體的一組是（ ）A 三棱柱 四棱臺 球 圓錐B 三棱柱 四棱臺 正方體 圓臺C 三棱柱 四棱臺 正方體 六棱錐D 圓錐 圓臺 球 半球例2、下圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（ ）A B C D二、幾種空間幾何體的結構特征、棱柱的結構特征1）棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。2）棱柱的分類：棱圖1-1棱柱..底面是四邊形底面是平行四邊形側棱垂直于底面柱四棱柱平行六面體直平行六底面是矩形底面是正方形棱長都相等面體長方體正四棱柱正方體3）性質：Ⅰ、側面都是平行四邊形，且各側棱互相平行且相等；Ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；4）棱柱的面積和體積公式S直棱柱側 ch（c是底周長， h是高）S直棱柱表面 =c·h+2S底V棱柱=S底·h、棱錐的結構特征（1）棱錐的定義①棱錐： 有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。②正棱錐： 如果有一個棱錐的底面是正多邊形， 并且頂點在底面的投影是底面的中心， 這樣的棱錐叫做正棱錐。（2）正棱錐的結構特征①平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形， 相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比； 它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比； 截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；②正棱錐的各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；正棱錐側面積：正棱椎（c為底周長，h'1ch'為斜高）PS21體積：V棱椎Sh（S為底面積，h為高）DC3OHAB注：正三棱錐是錐體中底面是等邊三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐。正三棱錐不等同于正四面體，正四面體必須每個面都是全等的等邊三角形。正三棱錐的性質：1．底面是等邊三角形。2．側面是三個全等的等腰三角形。3．頂點在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、內心）。正四面體：對于棱長為 a正四面體的問題可將它補成一個邊長為 2a的正方體問題。2..2對棱間的距離為 a（正方體的邊長）22正四面體的高6a（l正方體體對角線）332a3（V正方體1正四面體的體積為4V小三棱錐V正方體）123正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為1:31l1：l）（正方體體對角線正方體體對角線62、棱臺的結構特征1）棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。2）正棱臺的結構特征：①各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；②正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；③正棱臺的對角面也是等腰梯形；④各側棱的延長線交于一點。、圓柱的結構特征1）圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。2）圓柱的性質：①上、下底及平行于底面的截面都是等圓；②過軸的截面 (軸截面)是全等的矩形。（3）圓柱的側面展開圖： 圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。r側＝2πr?ll l SrA AB=2πr B（4）圓柱的面積和體積公式..SS

圓柱側面圓柱全

=2π·r·h(r 為底面半徑， h為圓柱的高)=2πrh+2 πr2V圓柱=S 底h= πr2h5、圓錐的結構特征1）圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。2）圓錐的結構特征：①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；②軸截面是等腰三角形；③母線的平方等于底面半徑與高的平方

圖1-5圓錐和：l2=r2+h2（3）圓錐的側面展開圖： 圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。A圖中：扇形的半徑長為l，l圓心角為θ，弧AB的長VθLθ?l(注：扇形的弧長等于lhl圓心角乘以半徑.提醒圓心角為弧度角，例如π60°弧度，rBππ3圓錐的側面展開圖是扇形，45°弧度，90°弧度等等)142扇形面積S扇形2弧長半徑6、圓臺的結構特征1）圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。2）圓臺的結構特征：①圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；②圓臺的截面是等腰梯形；③圓臺經常補成圓錐，然后利用相似三角形進行研究。O1

rlhO2（3）圓臺的面積和體積公式R..SS

圓臺側 = π·(R+r)·l(r 、R為上下底面半徑 )圓臺全 = π·r2 +π·R2+π·(R+r) ·lV 圓臺=1/3( πr2+ πR2+ πrR)h(h 為圓臺的高 )7、球的結構特征1）球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體?？臻g中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。2）球的結構特征：①球心與截面圓心的連線垂直于截面；②截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差： r2=R2–d23）球與其他多面體的組合體的問題：球體與其他多面體組合，包括內接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：①根據題意，確定是內接還是外切，畫出立體圖形；②找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；③將立體問題轉化為平面幾何中圓與多邊形的問題；④注意圓與正方體的兩個關系：球內接正方體，球直徑等于正方體對角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。（4）球的面積和體積公式：2S球面=4πR(R為球半徑)V球=4/3πR3結構特征圖例（1）兩底面相互平（1）兩底面相互平行；（2）側面棱行，其余各面都是平圓的母線平行于圓柱的軸；行四邊形；（3）是以矩形的一邊所在直線為柱柱（2）側棱平行且相旋轉軸，其余三邊旋轉形成的曲等.面所圍成的幾何體.（1）底面是多邊形，（1）底面是圓；（2）是以直角三棱各側面均是三角形；圓角形的一條直角邊所在的直線為錐（2）各側面有一個公錐旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲共頂點.面所圍成的幾何體.（1）兩底面相互平（1）兩底面相互平行；行；（2）是用一個平棱圓（2）是用一個平行于圓錐底面的行于棱錐底面的平面臺臺平面去截圓錐，底面和截面之間去截棱錐，底面和截的部分.面之間的部分.球（1）球心到球面上各點的距離相等；（2）是以半圓的直徑所.在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體例1、下列說法正確的是（ ）有一個面是多邊形，其余各面是三角形的多面體是棱錐有兩個面互相平行，其余各面均為梯形的多面體是棱臺..有兩個面互相平行，其余各面均為平行四邊形的多面體是棱柱棱柱的兩個底面互相平行，側面均為平行四邊形例2、下面多面體是五面體的是（ ）A 三棱錐 B 三棱柱C 四棱柱 D 五棱錐例3、下列說法錯誤的是（ ）一個三棱錐可以由一個三棱錐和一個四棱錐拼合而成一個圓臺可以由兩個圓臺拼合而成一個圓錐可以由兩個圓錐拼合而成一個四棱臺可以由兩個四棱臺拼合而成例4、下面多面體中有 12條棱的是（ ）A四棱柱 B 四棱錐C 五棱錐 D 五棱柱例5、在三棱錐的四個面中，直角三角形最多可有幾個（ ）A 1 個 B 2 個C 3 個 D 4 個例6、一個棱柱有 10個頂點， 所有的側棱長的和為 60cm，則每條側棱長為 ___________cm.三、空間幾何體的表面積和體積1、空間幾何體的表面積：棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和圓柱的表面積：S2rl2r2圓錐的表面積：Srlr2圓臺的表面積：Srlr2RlR2球的表面積：S4R2S扇nR21lr=1r2（其中l表示弧長，r表示半徑，扇形的面積公式形表示弧度）360222、空間幾何體的體積：柱體的體積：VS底h錐體的體積：V1S底h3V1h臺體的體積：（S上S上S下S下)3..4球體的體積： V R33例1、一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是 ()1214AB124C 2 D

42例2、已知圓錐的母線長為 8，底面圓周長為 6，則它的體積是 ()A 9 55 B9 55C355D355例3、若圓臺的上下底面半徑分別是1和3，它的側面積是兩底面面積的2倍，則圓臺的母線長是（）A2B2.5C5D10例4、若圓錐的側面展開圖是圓心角為1200，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側面積的比是（）A3：2B2：1D1C1C4：3D5：3A1PB1例5、如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點，且PB＝1AB，則多面體P-BCCB的體積為（）111118416DCBD16AC433AB例6、兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三部分，則圓錐被分成的三部分的體積的比是（）A1：2：3B1：7：19C3：4：5D1：9：27例7、如圖，一個三棱錐，底面ABC為正三角形，側棱SA＝SB＝SC＝1，ASB300，M、N分別為棱 SB和SC上的點，求 AMN的周長的最小值。SM. NA C.四、空間幾何體的三視圖和直觀圖1、三視圖：把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影， 中心投影的投影線交于一點； 把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。（1）定義：正視圖 ：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側視圖 ：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖 ：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。幾何體的 正視圖、側視圖和俯視圖 統稱為幾何體的 三視圖。注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。（2）三視圖中反應的長、寬、高的特點： “長對正”，“高平齊”，“寬相等”2、直觀圖： 斜二測畫法（1）斜二測畫法的步驟：①建立適當直角坐標系 xOy（盡可能使更多的點在坐標軸上）''''''00②建立斜坐標系xOy，使xOy=45（或135），注意它們確定的平面表示水平平面；③畫對應圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于‘Y軸，且長度變為原來的一半；（2）用斜二測畫法畫出長方體的步驟：①畫軸；②畫底面；③畫側棱；④成圖例1、有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應是一個 ( )A.棱臺 B. 棱錐 C. 棱柱 D. 都不對主視圖 左視圖 俯視圖例2、如圖是一個物體的三視圖，則此物體的直觀圖是 ( ) ．..例3、圖（1）為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由 ________塊木塊堆成 ;圖（2）中的三視圖表示的實物為 _____________ 。圖（1）圖（2）例4、有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位 cm），則該幾何體的表面積及體積為：56A.24 cm2，12cm2 B. 15cm2，12 cm2C. 24 cm2，36 cm2例5、下列關于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中，錯誤 ．．的是() ．A．用斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形B．幾何體的直觀圖的長、寬、高與其幾何體的長、寬、高的比例相同C．水平放置的矩形的