2023年高考數學壓軸題圓錐曲線專題第10講：斜率問題二（解析版）第十講：斜率問題（二）【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質，三角形，四邊形面積的推導過程；應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的性質，注重設直線的方程，并聯立方程組解決問題；拓展目標：能夠熟練應用題干信息，將文字翻譯成式子求解斜率.素養目標：通過數形結合，轉化與化歸等思想方法，培養獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數學運算和數學抽象的核心素養.【基礎知識】1、弦長公式若在直線上，代入化簡，得;2、過定點的直線方程（1）當直線斜率存在時，，當直線斜率不存在時，；（2）當直線斜率不為零時，，當直線斜率為零時，；3、當時，線段的中垂線：【考點剖析】考點一：求斜率1（直線方程）例1．已知橢圓：，直線經過橢圓的左焦點與其交于點，.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知點，，直線，與直線分別交于點，，若，求直線的方程.

變式訓練1：已知橢圓的離心率為，上頂點為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且，求的值．變式訓練:2：已知橢圓過點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點交于兩點，，求直線的方程．

變式訓練3：過平面上點作直線，的平行線分別交軸于點，且.（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的直線與軌跡交于，兩點，若，求直線的方程.考點二：求斜率2（直線方程）例1．已知橢圓的離心率為，依次連結的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求的方程；（2）設的左，右焦點分別為，，經過點的直線與交于，兩點，且，求的斜率.

變式訓練1：已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)過作斜率為的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點，若，求的值.變式訓練2：已知動點M到點F（0，）的距離與它到直線的距離相等．(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)過點P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求直線AB的方程．

變式訓練3：動點M到點的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知圓，設P，A，B是C上不同的三點，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標為，求直線AB的方程.考點三：求斜率3（中垂線）例1．已知橢圓（）的離心率為，短軸長為2，直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實數，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

變式訓練1：已知橢圓的離心率為，右焦點到上頂點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出直線；若不存在，說明理曲.變式訓練2：已知雙曲線：（，）過點，且與雙曲線：有相同的漸近線．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點，且線段的垂直平分線過點，求直線的方程．

變式訓練2：已知雙曲線（）的一個焦點是，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線與雙曲線交于兩個不同的點，線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．變式訓練3：已知橢圓C：的左、右焦點分別為，．橢圓C的長軸長與焦距比為，過的直線l與C交于A、B兩點．(1)當l的斜率為1時，求的面積；(2)當線段AB的垂直平分線在y軸上的截距最小時，求直線l的方程．

【當堂小結】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長和面積；（2）垂直平分線；（3）平分垂直的應用和證明；2、易錯點：弦長公式的計算，垂直平分線的表示；3、考查方法：數形結合思想，數與形的轉化；4、核心素養：數學運算，數學抽象.【過關檢測】1．已知拋物線，其通徑為4．(1)求拋物線的標準方程；(2)過拋物線焦點F作直線l，使得直線l與拋物線交于P、Q兩點，且滿足弦長，求直線l的斜率．

2．橢圓C的方程為，右焦點為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且，求直線的方程．3．已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．

4．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程;（2）設點為橢圓的右頂點，直線與軸交于點過點作直線與橢圓交于兩點，若，求直線的斜率.5．已知橢圓的離心率為，且橢圓經過點.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的右焦點為，過點作兩條傾斜角互補的直線分別交橢圓于，兩點，證明：.

6．已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，若，求k的值.7．在平面直角坐標系中，頂點在原點、以坐標軸為對稱軸的拋物線經過點．(1)求拋物線的方程；(2)已知拋物線關于軸對稱，過焦點的直線交于兩點，線段的垂直平分線交直線于點，交的準線于點．若，求直線的方程．

8．已知橢圓的離心率為在橢圓C上，且異于點A．（1）求橢圓C的方程；（2）若，求直線的方程．第十講：斜率問題（二）【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質，三角形，四邊形面積的推導過程；應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的性質，注重設直線的方程，并聯立方程組解決問題；拓展目標：能夠熟練應用題干信息，將文字翻譯成式子求解斜率.素養目標：通過數形結合，轉化與化歸等思想方法，培養獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數學運算和數學抽象的核心素養.【基礎知識】1、弦長公式若在直線上，代入化簡，得;2、過定點的直線方程（1）當直線斜率存在時，，當直線斜率不存在時，；（2）當直線斜率不為零時，，當直線斜率為零時，；3、當時，線段的中垂線：【考點剖析】考點一：求斜率1（直線方程）例1．已知橢圓：，直線經過橢圓的左焦點與其交于點，.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知點，，直線，與直線分別交于點，，若，求直線的方程.【答案】（1），；（2）或.解析：（1）由題設得，又，所以，所以橢圓的方程為，所以橢圓的離心率為.（2）依題意，設，.當直線無斜率時，方程為，所以，由平面幾何知識可以得到，，不合題意，當直線有斜率時，設，由得，則，，直線的方程為，令，得點的縱坐標，同理可得點的縱坐標，，解得或，所求直線的方程為或.變式訓練1：已知橢圓的離心率為，上頂點為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且，求的值．【答案】(1)；(2)解析：（1）由離心率，則，又上頂點，知，又，可知，，∴橢圓E的方程為；（2）設直線l：，設，，則，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴變式訓練:2：已知橢圓過點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點交于兩點，，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.解析：（1）由題意可得，∴橢圓的方程為．（2）①當直線斜率不存在時，由橢圓的方程可知：橢圓的右焦點坐標為：，所以直線方程為：，代入橢圓方程中，得，不妨設，，不合題意；②設直線，由得：，，即解得，∴直線的方程為．變式訓練3：過平面上點作直線，的平行線分別交軸于點，且.（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的直線與軌跡交于，兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.解析：（1）設，顯然不為原點，由題設，令，得再由，令，得又，即化簡整理得：所以點的軌跡方程（2）由題設知直線的斜率顯然存在，故設其方程為，，則，從而又所以故直線的方程為.考點二：求斜率2（直線方程）例1．已知橢圓的離心率為，依次連結的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求的方程；（2）設的左，右焦點分別為，，經過點的直線與交于，兩點，且，求的斜率.【答案】（1）；（2）或.解析：（1）依題意可得：解得，，所以橢圓的方程為.（2）由題可知：直線的斜率存在且不為零，故設直線的方程為，設，，由（1）可知：，，則，，因為，所以，，，化簡得，所以，，得.聯立消去得，，由得，，，則，解得或，故的斜率為或.變式訓練1：已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)過作斜率為的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點，若，求的值.【答案】(1)；(2)解析：(1)設，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.(2)由已知直線的傾斜角不是直角，，設，則的中點為，，由，可知，所以，即，因為的方程為，雙曲線的漸近線方程可寫為，由消去y，得，所以，，所以，因為，所以，即.變式訓練2：已知動點M到點F（0，）的距離與它到直線的距離相等．(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)過點P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2)解析：(1)設M（x，y），則解得．所以該拋物線的方程為．(2)［方法一］：依題意，切線的斜率存在，設切線的方程為：，與拋物線方程聯立，得，令，得或．從而或，解得或，所以切點A（－1，），B（2，2），直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得．．［方法二］：由可得，所以，設切點為（），則切線的斜率，又切線過點P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切點的坐標為A（－1，），B（2，2），所以直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得．變式訓練3：動點M到點的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知圓，設P，A，B是C上不同的三點，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標為，求直線AB的方程.【答案】(1):；(2)解析：(1)由題意得動點M到點的距離等于到直線的距離，所以曲線C是以為焦點，為準線的拋物線.設，則，于是C的方程為.(2)由（1）可知，設，PA的兩點式方程為.由，，可得.因為PA與D相切，所以，整理得.因為，可得.設，同理可得.于是直線AB的方程為.考點三：求斜率3（中垂線）例1．已知橢圓（）的離心率為，短軸長為2，直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實數，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)依題意有解得，.∴橢圓的方程為.(2)假設在線段的中垂線上，聯立消去y得.設，，則，.∴.∴的中點坐標為.∴，∴，即，解得.∴存在時，點在線段的中垂線上.變式訓練1：已知橢圓的離心率為，右焦點到上頂點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出直線；若不存在，說明理曲.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)由題意可得，，，解得，，所以橢圓的方程為．(2)由（1）得，假設存在滿足條件的直線：，代入橢圓方程整理可得，設，，則，，可得，則線段的中點坐標為，所以，則，解得：，所以存在直線，且直線的方程為．變式訓練2：已知雙曲線：（，）過點，且與雙曲線：有相同的漸近線．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點，且線段的垂直平分線過點，求直線的方程．【答案】(1)；(2)解析：(1)雙曲線的漸近線方程為，所以，因為點在雙曲線上，所以，所以，故雙曲線的方程為；(2)設，，聯立方程組，得，則，，，所以的中點坐標為．由得，且．因為線段的垂直平分線過點，所以，可得或（舍去），故直線的方程為．變式訓練2：已知雙曲線（）的一個焦點是，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線與雙曲線交于兩個不同的點，線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【答案】(1)；(2)解析：(1)由已知得，，所以，，所以所求雙曲線方程為.(2)設直線的方程為，點，．聯立整理得.(*)設的中點為，則，，所以線段垂直平分線的方程為，即，與坐標軸的交點分別為，，可得，得，，此時(*)的判別式，故直線的方程為.變式訓練3：已知橢圓C：的左、右焦點分別為，．橢圓C的長軸長與焦距比為，過的直線l與C交于A、B兩點．(1)當l的斜率為1時，求的面積；(2)當線段AB的垂直平分線在y軸上的截距最小時，求直線l的方程．【答案】(1)12；(2)解析：（1）依題意，因，又，得，∴橢圓C的方程為，設、，當時，直線l：，將直線與橢圓方程聯立，消去x得，，解得，，，∴．（2）設直線l的斜率為k，由題意可知，直線方程為，由，消去y得，恒成立，，設線段AB的中點，則，，設線段AB的垂直平分線與y軸的交點為，則，得，整理得：，，等號成立時．故當截距m最小為時，，此時直線l的方程為．【當堂小結】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長和面積；（2）垂直平分線；（3）平分垂直的應用和證明；2、易錯點：弦長公式的計算，垂直平分線的表示；3、考查方法：數形結合思想，數與形的轉化；4、核心素養：數學運算，數學抽象.【過關檢測】1．已知拋物線，其通徑為4．(1)求拋物線的標準方程；(2)過拋物線焦點F作直線l，使得直線l與拋物線交于P、Q兩點，且滿足弦長，求直線l的斜率．【答案】(1)；(2)解析：(1)由題意知：拋物線通徑為，即，所以，拋物線的標準方程為．(2)由（1）知：拋物線焦點，①當時，顯然不滿足，②當時，設直線l方程為，聯立，得，，則，．所以，，即，2．橢圓C的方程為，右焦點為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或解析：（1）由橢圓C的方程為，右焦點為，離心率為，可得半焦距且，解得，又由，所以橢圓方程為.（2）由（1）得，圓的方程為，設，當直線的斜率不存在時，，不合題意；當直線的斜率存在時，設直線，由直線與曲線相切可得，所以，聯立方程組，可得，所以，，所以，解得或，所以直線或.3．已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．【答案】(1)；(2)解析：（1）依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）依題意過點的直線為，設、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得4．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程;（2）設點為橢圓的右頂點，直線與軸交于點過點作直線與橢圓交于兩點，若，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.解析：由題意知離心率滿足，所以，又因為點在橢圓上，所以，解得，所以，故橢圓的標準方程為.由得，所以直線的方程為，與軸的交點為.由，得而，因此.當與軸垂直時，不合題意.當與軸不垂直時，設其方程為，聯立方程得，消去可得，設，則由得，所以顯然不為兩式相除得所以解得.5．已知橢圓的離心率為，且橢圓經過點.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的右焦點為，過點作兩條傾斜角互補的直線分別交橢圓于，兩點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.解析：（1）因為橢圓的離心率為，，，即，又因為橢圓過點，所以，解得橢圓的方程為.（2）證明：設直線的方程為.因為直線與直線的傾斜角互補，所以直線的方程可設為.聯立得.設