1有理數篇2有理數重點內容1、正數和負數（數軸）：定義、數軸三要素（原點、正方向、單位長度）2、絕對值、相反數和倒數3、有理數注意：-1.5、0.3333、π/24、有理數的加減乘除：加法法則、乘法法則5、有理數的乘方：乘方的意義，各部分名稱；一個負數的奇次方、偶次方6、科學計數法：把一個絕對值大于10或者小于1的數，寫成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整數，在數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|一個正數的絕對值是它本身，零的絕對值是零，一個負數的絕對值是它的相反數絕對值相反數

如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數.

符號表示a+b=0；例如2的相反數是-2倒數

如果兩個數乘積為1，那么我們稱這兩個數互為倒數.

符號表示a*b=1；例如，3的倒數是1/31、同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2、絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數的兩個數相加得0.3、一個數同0相加，仍得這個數.4、有理數加法的運算律：（1）加法的交換律：a+b=b+a（2）加法的結合律：（a+b）+c=a+（b+c）有理數加法法則有理數減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數乘方的意義

這種求n個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪，a叫做底數，n叫做指數，an讀作a的n次冪（或a的n次方）。（1次方可省略不寫，2次方又叫平方，3次方又叫立方。）a×a×……×a=ann個冪指數因數的個數底數因數區分6【常考題型——有理數】【例1】在數軸上表示a、b兩數的點如圖1所示，則下列判斷正確的是（）A、a+b＞0B、a+b＜0C、ab＞0D、│a│＞│b│【解析】考由圖可得，a>0,b<0，且│b│>│a│;故a+b<0,ab<0；所以ACD錯誤答案:B考點：數軸相關【例2】．在數軸上與－3的距離等于4的點表示的數是()A．1 B．－7

C．1或－7 D．無數個【解析】數軸上與-3距離4的點有兩個，一個是-3+4=1，一個是-3-4=-7；答案:C7【例4】：下列說法中正確的是（

）①同號兩數相乘，積必為正

②1乘以任何有理數都等于這個數本身

③0乘以任何數的積均為0④-1乘以任何有理數都等于這個數的相反數A.①②③B.①②④C.①②③④D.①③④【解析】同正、同負的兩個數相乘，結果均為正數，所以①正確；1乘以任何有理數都等于這個數本身，-1乘以任何有理數都等于這個數的相反數，所以②④正確；0乘以任何數的積均為0，所以③正確。答案:C考點：相反數【例3】：陜西省元月份某一天的天氣預報中，延安市的最低氣溫為-6℃，西安市的最低氣溫為2℃，這一天延安市的最低氣溫比西安市的最低氣溫低（）A．8℃B．-8℃

C．6℃D．2℃【解析】考察正負數和有理數加減，依題意可得-6-2=-8答案:B考點：正負數表示和有理數的運算8【例5】：下面的說法錯誤的是（

）

A．0是最小的整數

B．1是最小的正整數

C．0是最小的自然數

D．自然數就是非負整數【解析】選項A，0是最小的自然是，整數包含正整數、0和負整數，最小的正整數是1，故A錯。答案:A考點：整數的定義【例6】：下列說法中正確的是（

）①同號兩數相乘，積必為正

②1乘以任何有理數都等于這個數本身

③0乘以任何數的積均為0④-1乘以任何有理數都等于這個數的相反數A.①②③B.①②④C.①②③④D.①③④【解析】同正、同負的兩個數相乘，結果均為正數，所以①正確；1乘以任何有理數都等于這個數本身，-1乘以任何有理數都等于這個數的相反數，所以②④正確；0乘以任何數的積均為0，所以③正確。答案:C考點：有理數乘除運算法則9【例8】：若ab<0,a+b>0,那么必有(

)

A、符號相反

B、符號相反且絕對值相等

C、符號相反且負數的絕對值大

D、符號相反且正數的絕對值大【解析】由ab>0可知，a、b同號；ab<0，則a、b異號。a+b>0，可知正數更大、負數更小。故選D

答案:D考點：有理數的運算法則【例7】若a>0>b>c,a+b+c=1,M=,N=,P=,則M、N、P之間的大小關系是(

)

A、M>N>P

B、N>P>M

C、P>M>N

D、M>P>N【例7】若a>0>b>c,a+b+c=1,M=,N=,P=,則M、N、P之間的大小關系是(

)

A、M>N>P

B、N>P>M

C、P>M>N

D、M>P>N【解析】因為a+b+c=1，b+c=1-a，a+c=1-b,a+b=1-c；所以，M=1/a-1；N=1/b-1；P=1/c-1。a>0>b>c，1/a>0>1/c>1/b;所以M最大,N最小。故選A

答案:D考點：比較大小考點：有理數的乘方【例9】：＞0（n取正偶數），則下列說法正確的是（）A．a一定是負數B．a一定是正數C．a可能是正數也可能是負數D．a可能是任何數【解析】

當n為偶數時，，a可以取任意有理數，當且僅當a=0時，取=號。故選C答案:C【例10】．對于(－2)4與－24，下列說法正確的是（）A．它們的意義相同B．它的結果相等C．它的意義不同，結果相等D．它的意義不同，結果不等【解析】(－2)4表示4個-2相乘，結果為16；－24表示4個2相乘的相反數，結果為-16。答案:D考點：有理數的乘除【例11】：【解析】

a、b、c、d的值分別對應-3，-1，1,3中的一個，不論具體誰對應誰，結果一樣。a+b+c+d=0。答案:C【例12】．

；,（）A．1，n<0

B．-1,n<0C．1,n>0D．-1,n<0【解析】因為n為分母，所以n不為0；去絕對值│n│=n，當n>0時；當n<0時，│n│=-n；答案:A四個各不相等的整數a,b,c,d,它們的積那么的值為（

）A8B-8C0D1考點：去絕對值12有理數的計算13若（a－1）2＋|b＋2|＝0，那么a＋b＝

【例13】．14【例14】．有一數值轉換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是7，可發現第1次輸出的結果是12，第2次輸出的結果是6，第3次輸出的結果是

，依次繼續下去…，第2013次輸出的結果是

．15【例15】．如果定義新運算“※”，滿足a※b＝a×b－a÷b，那么1※2=

16【例16】．化簡并求值

17【例17】．18【例18】．學校組織同學到博物館參觀，小明因事沒有和同學同時出發，于是準備在學校門口搭乘出租車趕去與同學們會合，出租車的收費標準是：起步價為6元，3千米后每千米收1.2元，不足1千米的按1千米計算。請你回答下列問題：（1）小明乘車1.8千米，應付費________元。(3分)（2）小明乘車3.8千米，應付費_________元。(3分)（3）小明身上僅有10元錢，乘出租車到距學校7千米遠的博物館的車費夠不夠？請說明理由。(4分)19【解析】由題意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或-2．所以x2-(a+b+cd)x+(a+b)2013+(-cd)2013=x2-x-1．當x=2時，原式=x2-x-1=4-2-1=1；當x=-2時，原式=x2-x-1=4-(-2)-1=5．答案:5【例19】．已知a，b互為相反數，c，d互為倒數，x的絕對值等于2，試求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2013+(-cd)2013值.20答案：（1）26+（﹣32）+（﹣15）+34+（﹣38）+（﹣20）=﹣45噸；

（2）480﹣（﹣45）=525噸；（3）（26+32+15+34+38+20）×5=825元【例20】．

糧庫3天內發生糧食進、出庫的噸數如下（“+”表示進庫，“－”表示出庫）：（8分）+26，－32，－15，+34，－38，－20。（1）經過這3天，庫里的糧食是增多還是減少了？（2）經過這3天，倉庫管理員結算發現庫里還存480噸糧，那么3天前庫里存糧多少噸？（3）如果進出的裝卸費都是每噸5元，那么這3天要付多少裝卸費？21【答案】（1）由題意，得55×8＋2＋（—3）＋2＋1＋（—2）＋（—1）＋0＋（—2）－400=37，所以他賣完這八套兒童服裝后是盈利；【例21】．某人用400元購買了8套兒童服裝，準備以一定價格出售，如果以每套兒童服裝55元的價格為標準，超出的記作正數，不足的記作負數，記錄如下：

＋2，—3，＋2，＋1，—2，—1，0，—2．（單位：元）當他賣完這八套兒童服裝后是盈利還是虧損？

盈利（或虧損）了多少錢？

22【例22】．

某校舉行“八榮八恥”知識竟賽，評出一等獎4人，二等獎6人，三等獎20人，學校決定給獲獎學生發獎品，同一等次的獎品相同，并且只能從下表所列物品中選取一件．

品名足球排球羽毛球拍文具盒相冊鋼筆圓規筆記本圓珠筆單位（元）3020161085432

如果獲獎等次越高，獎品的單價就越高，那么學校最少要花多少錢買獎品？若要求一等獎的獎品單價是二等獎的2倍，二等獎的獎品單價是三等獎的2倍，在總費用不超過200元的前提下，有幾種購買方案，花費最多的一種需要多少錢？23【答案】22、解（1）花最少錢的方案是：一等獎給圓規，二等獎給筆記本，三等獎給圓珠筆就可以了；要花4×4＋6×3＋2×20=74（元）．（2）著眼于三等獎若三等獎為圓珠筆，則二等獎為圓規，一等獎為相冊，需要2×20＋4×6＋8×4=96（元）；若三等獎為筆記本，二等獎無獎品可對應；若三等獎為圓規，則二等獎為相冊，一等獎為羽毛球拍，需用4×20＋8×6＋16×4=192（元）；若三等獎為鋼筆，則二等獎為文具盒，一等獎為排球，很容易看出此時花費肯定要超過200元．故共有兩種購買方案，花費最多的一種需要192元．24整式的加減篇25用字母表示數單項式多項式概念系數次數概念次數數或者字母的積；單獨的字母、數字。單項式中的數字因數，含符號。單項式中所有字母的指數之和幾個單項式的和多項式里次數最高的次數整式的概念26同類項去括號法則運算法則括號前是+概念合并同類項所含字母相同，字母的指數相同字母和指數不變，系數相加減各項符號不變，與原來相同去括號，合并同類項整式的加減括號前是-各項符號變為原來相反的符號27單項式

數字與字母的積

例如：8·系數次數

多項式例如：

多項式的項

常數項

多項式的次數：的次數是5，的次數是2，的次數是1，最高的次數是5，所以多項式的次數的5同類項例如：合并法則：系數相加減，字母和次數不變同類項：所含字母相同，相同字母的系數相同30【常考題型——整式加減】考點：單項式系數和次數【例2】：如果

是五次單項式，則n的值為（）A、1

B、2

C、3

D、4【解析】

單項式的次數為各個字母次數之和，所以2+2n-1=5，得n=2；答案:B【例1】：對于單項式的系數和次數分別是（）A、-2，2B、-2，3

C、-2π，2D、-2π，3【解析】

單π是數字，不是字母；所以，系數為-2π，次數為2.答案:C31【例3】：多項式的次數和項數分別是（）A、5，3B、2，3

C、5，2D、3，3【解析】

單由多項式定義可以知，項數為3項，次數為最高單項式的次數。故為5次3項式。答案:A考點：多項式項數和次數考點：同類項【例4】：下列計算正確的是（）A、

B、

C、

D、

【解析】選項A為，選項B不是同類項，選項C的正確答案為2ab；D正確。答案:D考點：多項式項數和次數【例5】：不改變多項式的值，把后三項放在前面是“－”號的括號中，以下正確的是（ ）A、

B、

C、

D、【解析】

提一個負號，括號里的每項都要變號，D項正確答案:D考點：“—”號的運算【例6】：下列各題去括號所得結果正確的是（）

A、

B、

C、D、

【解析】選項A正確答案為，選項B不是同類項，選項C的正確答案為2ab；D正確。答案:D考點：去括號的運算…······題型：推理規律題【例7】：如圖是一個正三角形場地，如果在每邊上放2盆花共需要3盆花；如果在每邊上放3盆花共需要6盆花，如果在每邊上放ｎ（ｎ＞1）盆花，那么共需要花（）Ａ．3ｎ盆；Ｂ．3ｎ-1；Ｃ．3ｎ-2；Ｄ．3ｎ-3．題型：推理規律題【練習】：觀察下列等式．第一行第二行第三行第四行按照上述規律，寫出表示第行的等式，并計算前2012行所有等號左邊的數之和題型：推理規律題n=1n=2n=3第N張桌子坐幾個人36【例8】：一臺微波爐成本價是ａ元，銷售價比成本價增加22％，因庫存積壓降價60％出售，則每臺實際售價為（）．（Ａ）ａ（1+22％）（1+60％）元；（Ｂ）ａ（1+22％）·60％元；（Ｃ）ａ（1+22％）（1-60％）元；（Ｄ）ａ（1+22％+60％）元．題型：商品問題考點：字母表示數【例9】：一個兩位數，十位數字是個位數字的2倍，若個位數字為a，則這個兩位數可表示為＿＿＿。【例10】：買一個足球需要元，買一個籃球需要元，則買4個足球，7個籃球共需要（）元題型：計算題——合并同類項題型：不含某項求字母的值【例11】：若關于x的多項式不含二次項和一次項。求：m，n的值？【練習】：多項式是三次三項式。求：m，n的值？題型：合并同類項化簡