數據分析

(方法與案例)

作者賈俊平統計學統

計

學

Statisticsyyyy-M-不象其他科學，統計從來不打算使自己完美無缺，統計意味著你永遠不需要確定無疑。

——GudmundR.Iversen統計名言yyyy-M-第5章數值變量的推斷—參數估計5.1

參數估計的基本原理5.2

一個總體參數的區間估計5.3

兩個總體參數的區間估計5.4樣本量的確定parameterestimationyyyy-M-學習目標參數估計的基本原理點估計與區間估計評價估計量優良性的標準一個總體參數的區間估計方法兩個總體參數的區間估計方法樣本量的確定方法yyyy-M-大學生每周上網花多少時間？為了解學生每周上網花費的時間，中國人民大學公共管理學院的4名本科生對全校部分本科生做了問卷調查。調查的對象為中國人民大學在校本科生，調查內容包括上網時間、途徑、支出、目的、關心的校園網內容，以及學生對收費的態度，包括收費方式、價格等問卷調查由調查員直接到宿舍發放并當場回收。對四個年級中每年級各發60份問卷，其中男、女生各30份。共收回有效問卷共200份。其中有關上網時間方面的數據經整理如下表所示yyyy-M-大學生每周上網花多少時間？回答類別人數（人）頻率（%）3小時以下32163～6小時3517.56～9小時3316.59～12小時2914.512小時以上7135.5合計200100平均上網時間為8.58小時，標準差為0.69小時。全校學生每周的平均上網時間是多少？每周上網時間在12小時以上的學生比例是多少？你做出估計的理論依據是什么？yyyy-M-5.1參數估計的基本原理

5.1.1點估計與區間估計

5.1.2評價估計量的標準第5章參數估計yyyy-M-5.1.1點估計與區間估計5.1參數估計的基本原理yyyy-M-參數估計(parameterestimation)就是用樣本統計量去估計總體的參數估計量：用于估計總體參數的統計量的名稱如樣本均值，樣本比例，樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個估計量參數用表示，估計量用表示估計值：估計參數時計算出來的統計量的具體值如果樣本均值x=80，則80就是的估計值估計量與估計值

(estimator&estimatedvalue)yyyy-M-點估計

(pointestimate)用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計無法給出估計值接近總體參數程度的信息由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標準誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量yyyy-M-區間估計

(intervalestimate)在點估計的基礎上，給出總體參數估計的一個估計區間，該區間由樣本統計量加減估計誤差而得到根據樣本統計量的抽樣分布能夠對樣本統計量與總體參數的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數在75～85之間，置信水平是95%

yyyy-M-區間估計的圖示yyyy-M-將構造置信區間的步驟重復很多次，置信區間包含總體參數真值的次數所占的比例，也稱置信度表示為(1-為是總體參數未在區間內的比例常用的置信水平值有

99%,95%,90%相應的為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

yyyy-M-由樣本估計量構造出的總體參數在一定置信水平下的估計區間統計學家在某種程度上確信這個區間會包含真正的總體參數，所以給它取名為置信區間如果用某種方法構造的所有區間中有95%的區間包含總體參數的真值，5%的區間不包含總體參數的真值，那么，用該方法構造的區間稱為置信水平為95%的置信區間。同樣，其他置信水平的區間也可以用類似的方式進行表述置信區間的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-總體參數的真值是固定的，而用樣本構造的區間則是不固定的，因此置信區間是一個隨機區間，它會因樣本的不同而變化，而且不是所有的區間都包含總體參數實際估計時往往只抽取一個樣本，此時所構造的是與該樣本相聯系的一定置信水平(比如95%)下的置信區間。我們只能希望這個區間是大量包含總體參數真值的區間中的一個，但它也可能是少數幾個不包含參數真值的區間中的一個置信區間的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-當抽取了一個具體的樣本，用該樣本所構造的區間是一個特定的常數區間，我們無法知道這個樣本所產生的區間是否包含總體參數的真值，因為它可能是包含總體均值的區間中的一個，也可能是未包含總體均值的那一個一個特定的區間總是“包含”或“絕對不包含”參數的真值，不存在“以多大的概率包含總體參數”的問題置信水平只是告訴我們在多次估計得到的區間中大概有多少個區間包含了參數的真值，而不是針對所抽取的這個樣本所構建的區間而言的正確的表述：計算置信水平為95%的置信區間是一種方法，該方法使得區間以95%的概率覆蓋總體參數置信區間的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-置信區間的表述

(95%的置信區間)從均值為185的總體中抽出n=10的20個樣本構造出的20個置信區間我沒有抓住參數！點估計值yyyy-M-使用一個較大的置信水平會得到一個比較寬的置信區間，而使用一個較大的樣本則會得到一個較準確(較窄)的區間。直觀地說，較寬的區間會有更大的可能性包含參數但實際應用中，過寬的區間往往沒有實際意義比如，天氣預報說“在一年內會下一場雨”，雖然這很有把握，但有什么意義呢？另一方面，要求過于準確(過窄)的區間同樣不一定有意義，因為過窄的區間雖然看上去很準確，但把握性就會降低，除非無限制增加樣本量，而現實中樣本量總是有限的區間估計總是要給結論留點兒余地置信區間的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-5.1.2評價估計量的標準5.1參數估計的基本原理yyyy-M-無偏性

(unbiasedness)無偏性：估計量抽樣分布的數學期望等于被估計的總體參數yyyy-M-有效性

(efficiency)有效性：對同一總體參數的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效

yyyy-M-一致性

(consistency)一致性：隨著樣本量的增大，估計量的

值越來越接近被估計的總體參數yyyy-M-5.2一個總體參數的區間估計

5.2.1總體均值的區間估計

5.2.2總體比例的區間估計

5.2.3總體方差的區間估計第5章參數估計yyyy-M-5.2.1總體均值的區間估計5.2一個總體參數估計的區間估計yyyy-M-一個總體參數的區間估計總體參數符號表示樣本統計量均值比例方差yyyy-M-總體均值區間的一般表達式總體均值的置信區間是由樣本均值加減估計誤差得到的估計誤差由兩部分組成：一是點估計量的標準誤差，它取決于樣本統計量的抽樣分布。二是估計時所要的求置信水平為時，統計量分布兩側面積為的分位數值，它取決于事先所要求的可靠程度總體均值在置信水平下的置信區間可一般性地表達為樣本均值±分位數值×樣本均值的標準誤差yyyy-M-總體均值的區間估計

(大樣本的估計)1. 假定條件總體服從正態分布,且方差(２)

已知如果不是正態分布，可由正態分布來近似(n

30)使用正態分布統計量z總體均值在1-置信水平下的置信區間為yyyy-M-總體均值的區間估計

(大樣本的估計)【例5-1】一家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數據如下表。試建立投保人年齡90%的置信區間

36個投保人年齡的數據233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532yyyy-M-總體均值的區間估計

(大樣本的估計)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據樣本數據計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區間為投保人平均年齡的置信區間為37.37歲~41.63歲yyyy-M-總體均值的區間估計

(小樣本的估計)1. 假定條件總體服從正態分布,但方差(２)

未知小樣本

(n<30)使用t

分布統計量總體均值在1-置信水平下的置信區間為yyyy-M-總體均值的區間估計

(小樣本的估計)【例5-2】一家食品生產企業以生產袋裝食品為主，為對產量質量進行監測，企業質檢部門經常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產品重量的分布服從正態分布，且總體標準差為10克。試估計該批產品平均重量的置信區間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3yyyy-M-總體均值的區間估計

(小樣本的估計)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據樣本數據計算得：。由于是正態總體，且方差已知。總體均值在1-置信水平下的置信區間為該食品平均重量的置信區間為101.44g~109.28gyyyy-M-總體均值的區間估計

(小樣本的估計)【例5-3】已知某種燈泡的壽命服從正態分布，現從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區間16燈泡使用壽命的數據1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470yyyy-M-總體均值的區間估計

(小樣本的估計)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根據樣本數據計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區間為該種燈泡平均使用壽命的置信區間為1476.8h～1503.2hyyyy-M-用SPSS求置信區間

(小樣本)SPSS的輸出結果

yyyy-M-5.2.2總體比例的區間估計5.2一個總體參數估計的區間估計yyyy-M-總體比例的區間估計

(傳統方法)1. 假定條件總體服從二項分布可以由正態分布來近似np(成功次數)和n(1-p)(失敗次數)均應該大于10使用正態分布統計量z3.總體比例在1-置信水平下的置信區間為樣本比例±分位數值×樣本比例的標準誤差yyyy-M-總體比例的區間估計

(例題分析—傳統方法)【例5-4】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區間為55.65%~74.35%

yyyy-M-一個總體比例的區間估計

(現代方法)按照傳統方法計算出來的置信水平為(1-)的置信區間能夠覆蓋總體真實比例的概率小于(1-)，既是大樣本也是如此，更不可能應用于小樣本根據經驗法則：傳統方法要求np(成功次數)和n(1-p)(失敗次數)均應該大于10(也有些書上說大于5)對于非常大的樣本，傳統方法和現代方法的結果幾乎相同，但對于小樣本或中等樣本現代方法更適用yyyy-M-一個總體比例的區間估計

(現代方法)通過修正試驗次數n(樣本量)和試驗成功的比例P(樣本比例)改進置信區間將試驗次數n加上4，即用代替n；將試驗成功的次數x加上2，即用代替p對于任意大小的樣本都可以使用該方法計算置信區間只是在樣本較小時，偶爾會有區間下限小于0或區間上限大于1的情況發生。此時可用0代替小于0的下限，用1代替大于1的上限yyyy-M-一個總體比例的區間估計

(現代方法)設總體服從二項分布，即X~(n，p)，x為n次獨立伯努利試驗成功的次數，P為成功的概率定義和總體比例在1-置信水平下的置信區間該區間也稱為Agresti-Coull區間(由AlanAgresti和BrentCoull給出，以其姓氏命名)如果下限小于0則用0代替；如果上限大于1則用1代替yyyy-M-一個總體比例的區間估計

(現代方法)【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區間解：該城市下崗職工中女性比例的置信區間為47.72%~79.12%

yyyy-M-5.2.3總體方差的區間估計5.2一個總體參數估計的區間估計yyyy-M-總體方差的區間估計1. 估計一個總體的方差或標準差2. 假設總體服從正態分布總體方差

2

的點估計量為s2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區間為yyyy-M-總體方差的區間估計

(圖示)yyyy-M-總體方差的區間估計

(例題分析)【例5-5】一家食品生產企業以生產袋裝食品為主，現從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產品重量的分布服從正態分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區間

25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3yyyy-M-總體方差的區間估計

(例題分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根據樣本數據計算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區間為

該企業生產的食品總體重量標準差的的置信區間為7.54g~13.43gyyyy-M-一個總體參數的區間估計

(小結)yyyy-M-5.3兩個總體參數的區間估計

5.3.1兩個總體均值之差的區間估計

5.3.2兩個總體比例之差的區間估計

5.3.3兩個總體方差比的區間估計第5章參數估計yyyy-M-兩個總體參數的區間估計總體參數符號表示樣本統計量均值差比例差方差比yyyy-M-5.3.1兩個總體均值之差的區間估計5.3兩個總體參數估計的區間估計yyyy-M-均值之差區間的一般表達式兩個總體均值的置信區間是由兩個樣本均值之差加減估計誤差得到的估計誤差由兩部分組成：一是點估計量的標準誤差，它取決于樣本統計量的抽樣分布。二是估計時所要的求置信水平為時，統計量分布兩側面積為的分位數值，它取決于事先所要求的可靠程度兩個總體均值之差(1-2)在置信水平下的置信區間可一般性地表達為(x1-x2)±分位數值×(x1-x2)的標準誤差yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立大樣本)1. 假定條件兩個總體都服從正態分布，1２、2２已知若不是正態分布,可以用正態分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本使用正態分布統計量zyyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立大樣本)1. 1２，2２已知時，兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為

1２、2２未知時，兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立大樣本)【例5-6】某地區教育管理部門想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數據如右表。建立兩所中學高考英語平均分數之差95%的置信區間

兩個樣本的有關數據

中學1中學2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2Englishyyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立大樣本)解:兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區間為

兩所中學高考英語平均分數之差的置信區間為5.03分~10.97分yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:

12=22)1. 假定條件兩個總體都服從正態分布兩個總體方差未知但相等：1２=2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)總體方差的合并估計量估計量x1-x2的抽樣標準差yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:

12=22)兩個樣本均值之差的標準化兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:

12=22)【例5-7】為估計兩種方法組裝產品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產品所需的時間(單位：min)下如表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區間兩個方法組裝產品所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:

12=22)解:根據樣本數據計算得合并估計量為兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區間為0.14分鐘~7.26分鐘yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:1222)1. 假定條件兩個總體都服從正態分布兩個總體方差未知且不相等：1２2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)使用統計量yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:1222)兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為自由度yyyy-M-用SPSS求兩個總體均值之差置信區間

(例題分析)檢驗兩個總體的方差是否相等。原假設是相等，如Sig.很小，則表明兩個總體方差不相等，此時使用區間“假設方差相等”，否則使用區間“假設方差不相等”。本例使用“假設方差相等”求置信區間SPSSyyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:1222)【例5-8】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有關數據如表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區間

兩個方法組裝產品所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.221yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(獨立小樣本:1222)解:根據樣本數據計算得

自由度為兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區間為0.192分鐘~9.058分鐘yyyy-M-用SPSS求兩個總體均值之差置信區間

(例題分析)SPSS的輸出結果(只截取估計的部分)檢驗兩個總體的方差是否相等。原假設是相等，如Sig.很小，則表明兩個總體方差不相等，此時使用區間“Equalvariancesnotassumed”，否則使用區間“Equalvariancesassumed”。本例使用“Equalvariancesassumed”yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(匹配大樣本)假定條件兩個匹配的大樣本(n130和n230)兩個總體各觀察值的配對差服從正態分布兩個總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區間為d±分位數值×d的標準誤差yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(匹配小樣本)假定條件兩個匹配的小樣本(n1<30和n2<30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態分布

兩個總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區間為yyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(匹配小樣本)【例5-9】由10名學生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結果如下表。試建立兩種試卷分數之差d=1-2

95%的置信區間

10名學生兩套試卷的得分學生編號試卷A試卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916STATISTICSyyyy-M-兩個總體均值之差的估計

(匹配小樣本)解:根據樣本數據計算得兩種試卷所產生的分數之差的置信區間為6.33分~15.67分yyyy-M-用SPSS求配對小樣本均值之差置信區間

(例題分析)SPSS的輸出結果

(只截取估計的部分)用求置信區間SPSSyyyy-M-5.3.2兩個總體比例之差的區間估計5.3兩個總體參數估計的區間估計yyyy-M-1. 假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態分布來近似兩個樣本是獨立的n1p1和n1(1-p1)，n2p2和n2(1-p2)，均應該大于102. 兩個總體比例之差1-2在1-置信水平下的置信區間為兩個總體比例之差的區間估計

(傳統方法)(p1-p2)±分位數值×(p1-p2)的標準誤差yyyy-M-兩個總體比例之差的估計

(例題分析—傳統方法)【例5-10】在某個電視節目的收視率調查中，農村隨機調查了400人，有32%的人收看了該節目；城市隨機調查了500人，有45%的人收看了該節目。試以95%的置信水平估計城市與農村收視率差別的置信區間12yyyy-M-兩個總體比例之差的估計

(例題分析—傳統方法)解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度為95%的置信區間為城市與農村收視率差值的置信區間為6.68%~19.32%yyyy-M-兩個總體比例之差的區間估計

(現代方法)通過修正試驗次數n1、n2(樣本量)和試驗成功的比例P1、P2(樣本比例)改進置信區間將試驗次數n1和n1各加上2，即用代n1，代替n2；將試驗成功的次數x1和x2各加上1，即用代替p1，用代替p2對于任意大小的樣本都可以使用該方法計算置信區間yyyy-M-兩個總體比例之差的區間估計

(現代方法)設兩總體都服從二項分布，即X1~(n1，p1)，X2~(n2，p2)。x1為n1次獨立伯努利試驗成功的次數，P1位成功的概率概率，x2

為n2次獨立伯努利試驗成功的次數，P2為成功的概率定義，；，1-2在1-置信水平下的置信區間該區間也稱為Agresti-Caffo區間(由AlanAgresti和BrianCaffo給出，以其姓氏命名)如果下限小于-1則用-1代替；如果上限大于1則用1代替yyyy-M-5.3.3兩個總體方差比的區間估計5.3兩個總體參數估計的區間估計yyyy-M-兩個總體方差比的區間估計1. 比較兩個總體的方差比用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異總體方差比在1-置信水平下的置信區間為yyyy-M-兩個總體方差比的區間估計

(圖示)yyyy-M-兩個總體方差比的區間估計

(例題分析)【例5-11】為了研究男女學生在生活費支出(單位：元)上的差異，在某大學各隨機抽取25名男學生和25名女學生，得到下面的結果男學生：女學生：試以90%置信水平估計男女學生生活費支出方差比的置信區間yyyy-M-兩個總體方差比的區間估計

(例題分析)解:根據自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度為90%的置信區間為男女學生生活費支出方差比的置信區間為0.47~1.84

yyyy-M-兩個總體參數的區間估計

(小結)yyyy-M-5.4樣本量的確定

5.4.1估計總體均值時樣本量的確定

5.4.2估計總體比例時樣本量的確定第5章參數估計yyyy-M-6.4.1估計總體均值時樣本量的確定6.4樣本量的確定yyyy-M-估計總體均值時樣本量n為樣本量n與總體方差2、邊際誤差E、可靠性系數Z或t之間的關系為與總體方差成正比與邊際誤差的平方成反比與可靠性系數成正比樣本量的圓整法則：當計算出的樣本量不是整數時，將小數點后面的數值一律進位成整數，如24.68取25，24.32也取25等等估計一個總體均值時樣本量的確定其中：yyyy-M-估計一個總體均值時樣本量的確定

(例題分析)【例5-12】擁有工商管理學士學位的大學畢業生年