第十二章位移法

§12–1位移法的基本概念

§12–2位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)

§12–3單跨靜定梁的桿端力

§12–4位移法典型方程和計(jì)算實(shí)例

第十二章位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的兩種最基本的方法

力法適用性廣泛，解題靈活性較大。（可選用各種各樣的基本結(jié)構(gòu)）。位移法在解題上比較規(guī)范，具有通用性，因而計(jì)算機(jī)易于實(shí)現(xiàn)。位移法可分為：手算——位移法 電算——矩陣位移法 力法位移法力法與位移法最基本的區(qū)別：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些結(jié)點(diǎn)位移基本未知量FPBB

在忽略桿軸向變形和剪切變形的條件下，結(jié)點(diǎn)B只發(fā)生角位移B。由于結(jié)點(diǎn)B是一剛結(jié)點(diǎn)，故匯交于結(jié)點(diǎn)B的兩桿的桿端在變形后將發(fā)生與結(jié)點(diǎn)相同的角位移。

位移法計(jì)算時(shí)就是以這樣的結(jié)點(diǎn)角位移作為基本未知量的。§12-1位移法的基本概念BAClhEI1EI2

首先，附加一個(gè)約束使結(jié)點(diǎn)B不能轉(zhuǎn)動，此時(shí)結(jié)構(gòu)變?yōu)閮蓚€(gè)單跨超靜定梁。稱為位移法的基本結(jié)構(gòu)。在荷載作用下，可用力法求得兩根桿的彎矩圖。

由于附加約束阻止結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動，故在附加約束上會產(chǎn)生一個(gè)約束力矩CBAFPCAB

然后，為了使變形符合原來的實(shí)際情況，必須轉(zhuǎn)動附加約束以恢復(fù)B。兩個(gè)單跨超靜梁在B端有角位移時(shí)的彎矩圖，同樣可由力法求得。此時(shí)在附加約束上產(chǎn)生約束力矩BBBACFPBAC

求基本未知量,可分兩步完成：

1）在可動結(jié)點(diǎn)上附加約束，限制其位移，在荷載作用下，附加約束上產(chǎn)生附加約束力；

2）轉(zhuǎn)動附加約束使結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生角位移B，使結(jié)構(gòu)發(fā)生與原結(jié)構(gòu)一致的結(jié)點(diǎn)位移。BB附加剛臂經(jīng)過上述兩個(gè)步驟，附加約束上產(chǎn)生約束力矩應(yīng)為F11和F1P之和。由于結(jié)構(gòu)無論是變形，還是受力都應(yīng)與原結(jié)構(gòu)保持一致，而原結(jié)構(gòu)在B處無附加約束，亦無約束力矩，故有F11+F1P＝0

解方程可得出B

。位移法典型方程將求出后B，代回圖12-1c，將所得的結(jié)果再與圖12-1b疊加，即得原結(jié)構(gòu)（圖12-1a）的解。BBBAC圖12-1cFPCBA圖12-1b

位移法是以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，通過增加約束的方法，將原結(jié)構(gòu)拆成若干個(gè)單跨超靜定梁來逐個(gè)分析，再組合成整體，利用力和力矩的平衡方程求解未知量的。§12-2位移法基本未知量和基本結(jié)構(gòu)1.結(jié)點(diǎn)角位移一、位移法的基本未知量位移法的基本未知量為結(jié)點(diǎn)角位移和獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目=剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目。2個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移ABCD2、結(jié)構(gòu)獨(dú)立線位移：（1）忽略各桿軸向變形；（2）彎曲變形后的曲線長度與弦線長度相等。上面兩個(gè)假設(shè)導(dǎo)致桿件變形后兩個(gè)端點(diǎn)距離保持不變，即桿長保持不變。

CD假設(shè)：12結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)確定方法13

將結(jié)構(gòu)中所有剛結(jié)點(diǎn)和固定支座用鉸結(jié)點(diǎn)和鉸支座代替，分析新體系的幾何組成性質(zhì)，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余約束的幾何不變體系，所增加的鏈桿數(shù)即為原結(jié)構(gòu)位移法計(jì)算時(shí)的結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)。二、位移法的基本結(jié)構(gòu)位移法的基本結(jié)構(gòu)是通過增加約束使原結(jié)構(gòu)成為若干個(gè)單跨超靜定梁而得到的。

附加剛臂——附加鏈桿——作用是使結(jié)點(diǎn)不能轉(zhuǎn)動限制結(jié)點(diǎn)移動練習(xí)

位移法的基本結(jié)構(gòu)是通過附加剛臂和附加鏈桿得到的，其中附加剛臂的數(shù)目等于原結(jié)構(gòu)中結(jié)點(diǎn)角位移的數(shù)目，附加鏈桿的數(shù)目則等于原結(jié)構(gòu)獨(dú)立線位移的數(shù)目。

§12-3單跨超靜定梁的桿端力一、桿端位移和桿端力的正負(fù)號規(guī)定1、桿端力的正負(fù)規(guī)定桿端彎矩對桿端以順時(shí)針為正;對結(jié)點(diǎn)以逆時(shí)針為正。桿端剪力的正向同前。MABMBAEIFQABFQBAlEI2、桿端位移的正負(fù)規(guī)定桿端轉(zhuǎn)角A、B，弦轉(zhuǎn)角β＝Δ/l都以順時(shí)針為正。

Δ——桿兩端相對線位移，其正負(fù)號與弦轉(zhuǎn)角β

的正負(fù)號一致。二、荷載引起的桿端力對于單跨超靜定梁僅由荷載作用而產(chǎn)生的桿端力，稱為固端力。等截面兩端固定梁，承受均布荷載q作用。用力法求解其固端力為MFABMFBAEIqlMF表示固端彎矩；FQF表示固端剪力。由于固端力是只與荷載形式有關(guān)的常數(shù)，所以稱為載常數(shù)。下表12-2列出了常見超靜定梁的載常數(shù)。表12-2常見超靜定梁的載常數(shù)表12-2常見超靜定梁的載常數(shù)三、桿端位移引起的桿端力等截面兩端固定梁，固定端A發(fā)生單位角位移，抗彎剛度EI，用力法求其桿端力為，

，

稱為線剛度。

由單位位移引起的桿端力是只與梁的幾何尺寸和材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，所以稱為形常數(shù)。B=1ABlEI表12-1等截面單跨超靜定梁的形常數(shù)FPCABDΔ1Δ2一、位移法的典型方程§12-4位移法典型方程和計(jì)算實(shí)例基本未知量：結(jié)點(diǎn)C的角位移Δ1，結(jié)點(diǎn)D的水平線位移Δ2CABD基本結(jié)構(gòu)基本體系FPCABDΔ1Δ2

使基本結(jié)構(gòu)承受與原結(jié)構(gòu)相同的荷載，并使結(jié)點(diǎn)C處的附加剛臂轉(zhuǎn)動Δ1，而結(jié)點(diǎn)D處附加鏈桿發(fā)生水平線位移Δ2，如圖示，稱為位移法的基本體系。

FPCABDΔ1Δ2

為了保證基本體系的受力和變形情況與原結(jié)構(gòu)完全相同，基本體系上附加約束的約束反力F1和F2應(yīng)為零。

根據(jù)疊加原理，把基本體系中的總約束反力F1和F2分解成幾種情況分別計(jì)算：FPCABDCABDΔ1CABDΔ2k11=1k21=1k12k22F1PF2PMP圖位移法基本方程

對于具有n個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)，可得位移法基本方程如下：

從方程中即可求出基本未知量Δ1和Δ2。位移法的典型方程kij產(chǎn)生反力的地方引起反力的原因主系數(shù)：副系數(shù)：反力互等定理：kij＝kjiFiP＞0＝0＜0kij＞0＝0＜0

kii

——基本結(jié)構(gòu)上，由于單位結(jié)點(diǎn)位移Δi＝1的作用，引起第i個(gè)約束上的約束反力自由項(xiàng)：

kij——基本結(jié)構(gòu)上，由于單位結(jié)點(diǎn)位移Δj＝1的作用，引起第i個(gè)約束上的約束反力

FiP——基本結(jié)構(gòu)上，由于荷載作用，引起第i個(gè)約束上的約束反力為了求得典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)，可借助于表12-1、表12-2，分別繪出基本結(jié)構(gòu)中由于單位位移引起的單位彎矩圖M1、M2和由于外荷載引起的MP圖。

系數(shù)和自由項(xiàng)確定后，代入典型方程就可解出基本未知量。最后彎矩圖可按下式作出★附加剛臂上的約束力矩，可取利用結(jié)點(diǎn)力矩平衡的條件求出；★附加鏈桿上的約束力,可利用結(jié)構(gòu)部分平衡（一般取橫梁部分沿附加鏈桿方位的投影平衡）的條件求出。

用位移法計(jì)算的步驟為：

1、加入附加約束，阻止結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動和移動，得到一組以單跨超靜定梁為組合體的基本結(jié)構(gòu)。

2、建立位移法典型方程。

3、繪出基本結(jié)構(gòu)的各單位彎矩圖和荷載彎矩圖，由平衡條件求出各系數(shù)和自由項(xiàng)。

4、解方程，求出基本未知量。

5、用疊加法畫彎矩圖。

6、根據(jù)彎矩圖畫剪力圖，根據(jù)剪力圖繪軸力圖。1.連續(xù)梁和無側(cè)移剛架無側(cè)移剛架是指剛架的各結(jié)點(diǎn)無結(jié)點(diǎn)線位移。基本未知量：所有剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。基本結(jié)構(gòu)：在所有剛結(jié)點(diǎn)上加附加剛臂。二、計(jì)算實(shí)例例12-1

用位移法計(jì)算圖示連續(xù)梁，并作彎矩圖。解（1）選取基本體系。（2）建立位移法典型方程。ABC3m3m6mii16kN2kN/mABC16kN2kN/mΔ118（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）求基本未知量。2i4i3ik11ABCΔ1=14i3iF1P618ABC66MP圖（kN.m）182i4i3iABCΔ1=1ABC66MP圖（kN.m）

根據(jù)桿端彎矩的正負(fù)號規(guī)定，確定桿端彎矩方向及桿的受拉邊。將桿兩端彎矩連成虛線，再疊加相應(yīng)簡支梁的彎矩，即得整個(gè)連續(xù)梁的彎矩圖。(5)作彎矩圖12.862.57924例17-2

用位移法作圖示剛架的內(nèi)力圖。各桿EI＝常數(shù)。解（1）選取基本體系。（2）建立位移法典型方程。（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）求基本未知量。(5)作彎矩圖根據(jù)彎矩圖作剪力圖

取桿件AB為隔離體，其受力圖如示，

取桿件為隔離體，根據(jù)力矩平衡方程，由桿端彎矩求桿端剪力。根據(jù)剪力圖作軸力圖取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，其受力圖如示。

BC桿段是懸臂梁段且荷載與桿軸相垂直，因此該段各截面軸力相等，且等于零，即FNBC

＝0。FNBA＝7.5kN取結(jié)點(diǎn)為隔離體，利用投影平衡方程，由桿端剪力求桿端軸力。

有側(cè)移剛架一般是指既有結(jié)點(diǎn)角位移，又有結(jié)點(diǎn)線位移的剛架。基本未知量：剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移基本結(jié)構(gòu)：在結(jié)點(diǎn)上加附加剛臂和附加鏈桿

2.有側(cè)移剛架例17-3

用位移法作圖示剛架的內(nèi)力圖。

解（1）選取基本體系。（2）建立位移法典型方程。0.1875ik2215（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。k11＝4i+6i＝10i

k12＝k21＝-1.5i

（4）求基本未知量。(5)作彎矩圖18.9418.9425.2630.79超靜定結(jié)