..靜電場中的鏡像法與分離變量法摘要：靜電場的基本問題是求解給定邊界條件下的泊松方程或拉普拉斯方程的解,本文分別闡述在求解區域內有和沒有自由電荷分布的情況下,應用鏡像法和分離變量法求解；同時,舉例來演示應用鏡像法和分離變量法的解題思路、步驟和結果討論以及一些注意點,并在相同情況下分別應用鏡像法和分離變量法進行對比討論；深入理解鏡像法和分離變量法及其特征。關鍵詞：靜電場、鏡像法、分離變量法。TheMethodofMirrorImageandtheSeparateVariationalMethodintheElectrostaticFieldAbstract:ThebasicproblemofelectrostaticfieldistoexplorethesolutionofPoissonequationorLaplaceequationunderitsgivenboundarycondition.Thisarticlerespectivelyexplainstheapproachestoexplorethesolutionusingmirrorimageandseparatevariationalmethodsundertheto-be-exploresolutionareasituationwhichhasandwhichlacksfreedomelectricchargedistribution.Meanwhile,ittakessomeinstancestodemonstratetheproblem-solvingthoughtsandstepsapplyingmirrorimageandseparatevariationalmethods.Italsoprovidessomediscussionsabouttheresultandthepointsneedingtobenotedintheprocessofthisdemonstration.Thiswriteralsotriestohelpthereaderstodeeplyunderstandthemethodsofmirrorimageandseparatevariationalmethodsandtheircharacteristicsbydoingcontrastdiscussionunderthesamecondition.Keywords:theelectrostaticfield,themethodofmirrorimage,theseparatevariationalmethod.1、引言：靜電場和電源外恒定電場的邊值問題的求解,可歸納為在給定邊界條件下,對拉普拉斯方程或泊松方程的求解。很多文章已經就界面形狀是比較簡單的幾何曲面的這類問題給出了解析形式的求解,這種解析形式求解的常用方法分別是鏡像法和分離變量法。本文在應用此方法求解邊值問題的探討基礎上,進一步地就鏡像法和分離變量法的應用進行對比和討論。2、靜電場中的靜像法與分離變量法的介紹i>、鏡像法拉普拉斯方程僅適用于求解區域沒有自由電荷分布。若求解區域有自由電荷分布,則必須求解泊松方程；一種重要的特殊情形是區域內只有一個或幾個點電荷,區域邊界是導體或介質界面。下面介紹解這類問題的一種特殊方法――鏡像法,鏡像法也是電動力學中一種很重要的方法。在區域特殊情形下,許多復雜的問題使用該方法求解都會很簡潔方便。鏡像法的基本思想：如果在原電荷產生的電場中存在著導體或介質分界面,則由于靜電感應或極化作用,在導體和介質分界面上將出現感應或極化電荷,在我們研究的區域之外,用一些假想的電荷來代替場問題的邊界,如果這些電荷和場區域原有的電荷一起產生的電場滿足原問題的邊界條件；那么,它們的電位疊加起來,便得到我們所要求的電位解,這種方法就稱為鏡像法,假想電荷就是鏡像電荷。ii>、分離變量法靜電學的基本問題就是求給定邊界條件下的泊松方程的解；如果在所研究的區域內,沒有自由電荷分布,即：ρ<x>=0因而泊松方程變成：2=0<拉普拉斯方程>那么區域內的場分布是通過區域邊界條件反映出來的,該類問題有一種非常重要的解析方法——分離變量法。分離變量法是數理方程中應用最廣泛的一種方法,是解拉普拉斯方程的最基本的方法。它首先要求給定邊界與一個適當坐標系面相結合,或者至少分段地與坐標面相結合；其次在坐標系中待求偏微分方程的解可表示為幾個函數的乘積,其中每個函數分別僅是一個坐標的函數,這樣通過分離變量將微分方程化為常微分方程求解。并以給定的邊界條件確定其中待定常數和函數,最終得到電位函數解。用分離變量法求2=0要根據邊界的形狀選擇適當的坐標系。1>、直角坐標系中分離變量：電位函數的拉普拉斯方程為這在電位函數只是x和y的函數,沿z方向沒有變化的二維直角坐標系中討論拉普拉斯的分離變量法,電位函數的拉普拉斯方程為：將待求的電位函數用二個函數的乘積表示為：式中X僅為x的函數,Y僅為y的函數。將<1-2>式代入<1-1>式,并用YX,除以方程式的兩邊,便得:上式左邊與y無關,右邊與x無關,而在x、y取任意值時它們又恒等。顯然,這只能在兩邊均等于一常數時才可能,將此常數寫成k2n稱為分離常數。當kn＝０時,上面兩個常微分方程的解分別為:而當kn≠0時,則解分別為:其中和都是待定常數。因拉普拉斯方程是線性的,適用疊加原理,kn取所有可能值的解的線性組合也將是它的解,所以由〔1-2式得到電位函數的一般解是:2>、圓柱坐標系和球坐標系中的分離變量法下面來討論一下：圓柱坐標系中的拉普拉斯方程為：我們只討論二維平面場情況,即與z無關的情況,這時的拉普拉斯方程變為：令待求電流函數的試探解為><><><grfr、,待入上式經整理得用乘上式得：上式的第一項僅是r的函數,第二項僅是的函數,要使上式對于所有r、值都成立；顯然,這只能在兩邊均等于一常數時才可能,令常數為k2,整理得：及當k=0時,f0<r>=A0㏑r+B0和當k≠0時,和于是,由這些解的相應乘積疊加組成拉普拉斯方程的一般解為：上式中各常數由具體問題的給定邊界條件確定。同理,在球面坐標系中,用分離變量法求＝0為:我們只討論場問題與坐標中無關的情況<極軸對稱>這時,拉普拉斯方程為：用分離變量法求其通解,令待求電流函數的試探解為：,待入上式經整理得:為勒讓德多項式<勒讓德函數>,llBA、為任意常數,由邊界條件和邊值關系確定。3、應用舉例1>、無限大導體平面前的點電荷用鏡像法解題,設在無限大接地導體平面〔z=0附近有一點電荷q與平面距離為z=h導體平面是等位面。所以這問題的邊界條件是常數〔導體面上由于導體接地,因此可設電位為零,要求上半空間中的電場〔如下圖顯然,假設導體平面不存在,而在z=0平面下面與點電荷q對稱地放置一個點電荷<－q>,則z=0平面的電位仍為零電位面。這樣,我們便可用q和其像電荷〔-q構成的系統來代替原來的邊值問題,上半空間內任點電位為：即為給邊值的問題的解。原問題的平面上的導體感應電荷密度為負號表示該處的電場指向導體內,即向下。計算感應電荷總量時,為簡單起見,改用極坐標,；于是,它與鏡像電荷相等。用鏡像法解題時,要注意適用區域,這里〔3-1式適用區域為導體平面上半空間內,下半空間內實際不存在電場；至于鏡像電荷應具有什么樣的形式,原則上沒有任何限制,即對確定的原電荷,不必要求鏡像電荷與之有形式的對應,個數的對應,大小的對應等。只要鏡像電荷能等效的代替面電荷在求解區域之內的場,又不改變原來的邊界條件即可。2>、導體球置于均勻的電場中半徑為R0的導體球置于均勻外電場E0中,求電勢。由于導體球在靜電平衡時是等勢體,且球內場為零,只求球外場,取球坐標系,原點在球心且極軸上外場E平行,顯然,此時電勢具有極軸對稱,那么在球外：用球面坐標系,我們只討論場問題與坐標中無關的情況這時,拉普拉斯方程為:用分離變量法求其通解,令待求電流函數的試探解為：,待入上式經整理得問題通解為：代入條件：得到：即４、靜像法與分離變量法的比較前面我們分別研究了鏡像法和分離變量法的概念及其特征,已經知道了這兩種方法各自特點和性質以及它們的應用給我們解決問題帶來的方便；接下來我們舉例說明在相同情況下,分別應用鏡像法和分離變量法的對比討論。真空中有一半徑為R0的接地導體球,距球心為a<a>R0>處有一點電荷Q;求空間各點電勢。我們先用鏡像法來求解〔如上圖,假設可以用球內一個假想的點電荷Q′來代替球面上感應電荷對空間電場的作用,由對稱性可知,Ｑ’應在ＯＱ連線上,關鍵是否能選擇Ｑ’的大小和位置使得球面上＝0的條件得到滿足,對球面上任一點Ｐ：由圖可知,只要選Q’的位置使△OQ’P～△OPQ則:設Ｑ’距球心為b,兩三角形相似的條件為：又則球外Ｐ點的電勢那么,用分離變量法求解此題又是怎樣的呢？如右圖Ｐ點電勢由Q在Ｐ點產生的電勢和球在Ｐ點產生的電勢V之和,即而有關V的定解問題為：因此,又由勒讓德母函數可知在球面上在球面上推出：得到:即上述分離變量法和鏡像法的研究相同情況下的同一問題的例子,通過分析得出用鏡像法能解決的問題,用分離變量法也可以解決；且從上面的例子可以知道用分離變量法顯然更加復雜,卻是一種最基本的方法。５、結論經過以上討論,對求解邊界值問題的解析法中的鏡像法其實質可表達為：在我們研究的區域之外,用一些假想的較簡單的電荷分布來代替邊界上復雜的電荷分布〔即導體表面的感應電荷或介質分界面的極化電荷；根據唯一性定理,如果這些電荷和場區域原有的電荷一起產生的電場滿足原問題的邊界條件；那么,它們的電位疊加起來便得到我們所要求的電位解。而分離變量法的基本思想：把電位函數用兩個或三個僅含一個坐標變量的函數的乘積表示,代入偏微分方程后,借助分離常數,使原有的偏微分方程轉化為幾個常微分方程；然后,分別求解這些常微分方程并以給定的邊界條件確定其代定常數和函數,最終得到電位函數解。在這里我們可以為分離變量法的一般步驟作個歸納：<1>、按給定區域的形狀選擇適當的坐標系,使場域的邊界面與適當坐標面相吻合；并寫出靜電場邊值問題在該坐標系中的試解表達式。<2>、將可分離變量的試解代入偏微分方程,通過分離變量轉化為常微分方程。<3>、解各常微分方程,然后利用疊加原理組成拉普拉斯方程的通解,通解中含有分離常數和待定常數。<4>、由邊界條件和初始條件可以確定分離常數和待定常數,得到問題的唯一確定解。綜合上述分離變量法和鏡像法的研究相同情況下的同一問題的例子,通過分析得出用鏡像法能解決的問題,用分離變量法也可以解決；但用分離變量法能解決的問題用鏡像法卻未必能解決<例如求均勻電場中介質球的電勢問題等>。參考文獻[1]梁昆淼《數學物理方法》高等教育出版社1998年6月第三版[2]郭碩鴻《電動力學》高等教育出版社1997年7月第二版[3]張三慧《電磁學》清華大學出版社1999年12月第二版[4]謝處方、饒克謹《電磁場與電磁波》高等教育出版社1999年6月第三版[5][英]L.S.GrantW.R.Phillips著.劉岐元、王鳴