編號：007課題:§向量數量積的坐標表示目標要求1、理解并掌握平面向量數量積的坐標表示及相關結論．2、理解并掌握向量數量積的坐標運算．3、理解并掌握向量模的問題．4、理解并掌握向量夾角、垂直問題.學科素養目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量模的問題；難點：向量夾角、垂直問題．教學過程基礎知識點1.平面向量數量積的坐標表示條件向量坐標表示文字敘述兩個向量的數量積等于它們對應坐標的___乘積的和__2.平面向量數量積的坐標表示的結論(1)結論條件結論表示向量的有向線段的起點和終點坐標分別為向量2.平面向量數量積的坐標表示的結論(1)結論條件結論都是非零向量,,θ是與的夾角(2)本質:平面向量數量積的坐標表示及其結論實現了向量運算的完全代數化,并將數與形緊密結合起來.(3)應用:①求向量的模;②求向量的夾角;③判斷兩個向量垂直.【思考】已知向量,則與共線和垂直的單位向量的坐標分別是什么?【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.向量的模等于向量坐標的平方和.B.若向量,則.C.兩個非零向量同向時，有.D.若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ<0,則兩向量的夾角θ一定是鈍角.題2.若向量,且,則實數m的值為________.題3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a與b的夾角為θ,則cosθ=______.關鍵能力·合作學習類型一數量積的坐標運算(數學運算)【題組訓練】題4.若,且,則x等于 ()B.C.D.-3題5.如圖,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是線段BC上的點,且DE=BC,則的取值范圍是 ()A.B.C.D題6.若,則________;________.【解題策略】關于向量數量積的運算(1)進行數量積運算時,要正確使用公式及向量的坐標運算,并注意與函數、方程等知識的聯系.(2)向量數量積的運算有兩種思路:一種是基向量法,另一種是坐標法,兩者相互補充.如果題目中的圖形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊圖形時,一般選擇坐標法.【補償訓練】題7.已知向量,則k= () 題8.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則的最小值是 ()B.C.類型二向量模的問題(數學運算)【典例】題9.已知向量.求的坐標及模;(2)若,求.【解題策略】向量模的問題(1)字母表示下的運算,利用將向量模的運算轉化為向量的數量積的運算.(2)坐標表示下的運算,若,則.【跟蹤訓練】題10.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,,則________.【補償訓練】題11.已知,若,求的坐標及..類型三向量夾角、垂直問題(數學運算)角度1平面向量的夾角問題【典例】題12.已知,若與的夾角θ為鈍角,求實數λ的取值范圍.【變式探究】題13.已知,與的夾角θ為銳角,求實數λ的取值范圍.角度2平面向量的垂直問題【典例】題14.已知向量,向量.(1)求向量的坐標;(2)若,求實數k的值.【解題策略】1.利用數量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數量積.利用向量數量積的坐標表示求出這兩個向量的數量積.(2)求模.利用計算兩向量的模.(3)求夾角余弦值.由公式求夾角余弦值.(4)求角.由向量夾角的范圍及cosθ求θ的值.2.涉及非零向量垂直問題時,一般借助來解決.【拓展延伸】1.線段垂直的坐標關系設是坐標平面內的三個點,則.2.向量共線的條件由可知,若θ=0°或180°,則cosθ=±1,則有,利用此結論也可以判斷兩向量是否共線.【拓展訓練】題15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),則△ABC的形狀是 ()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形題16.已知向量,若,則實數λ= ()A.B.題17.已知向量.(1)求的值;(2)求向量與夾角的余弦值.【補償訓練】題18.已知,當k為何值時,(1)與垂直;(2)與的夾角為120°.備選類型用向量解代數問題(數學建模)【典例】題19.求函數的最大值.【解題策略】向量法巧解代數問題向量是代數和幾何的完美結合,尤其是解決代數問題時具有獨到的優勢,解題的關鍵在于觀察問題的結構,挖掘代數結構的向量模型,把原有問題轉化為向量問題,再借助向量有關知識解決問題.【跟蹤訓練】題20.已知a,b,m,n∈,設,其中mn≠0,用向量方法求證:.課堂檢測·素養達標題21.設,則 () 題22.已知平面向量，則向量的模是 ()A. B. C. 題23.已知向量,且,則m=______.題24.已知,則夾角的余弦值等于________.題25.已知.求.編號：007課題:§向量數量積的坐標表示目標要求1、理解并掌握平面向量數量積的坐標表示及相關結論．2、理解并掌握向量數量積的坐標運算．3、理解并掌握向量模的問題．4、理解并掌握向量夾角、垂直問題.學科素養目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量模的問題；難點：向量夾角、垂直問題．教學過程基礎知識點1.平面向量數量積的坐標表示條件向量坐標表示文字敘述兩個向量的數量積等于它們對應坐標的___乘積的和__2.平面向量數量積的坐標表示的結論(1)結論條件結論表示向量的有向線段的起點和終點坐標分別為向量2.平面向量數量積的坐標表示的結論(1)結論條件結論都是非零向量,,θ是與的夾角(2)本質:平面向量數量積的坐標表示及其結論實現了向量運算的完全代數化,并將數與形緊密結合起來.(3)應用:①求向量的模;②求向量的夾角;③判斷兩個向量垂直.【思考】已知向量,則與共線和垂直的單位向量的坐標分別是什么?提示:與共線的單位向量是,則，其中正號、負號分別表示與同向和反向;易知和垂直,所以與垂直的單位向量的坐標是.【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.向量的模等于向量坐標的平方和.B.若向量,則.C.兩個非零向量同向時，有.D.若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ<0,則兩向量的夾角θ一定是鈍角.【答案】選ABD提示:A×.向量的模等于向量坐標的平方和的算術平方根.B×..C√.兩個非零向量同向時，夾角為，有.D×.當兩個向量方向相反時,它們的夾角θ=180°滿足cosθ=-1<0.題2.若向量,且,則實數m的值為________.【解析】因為,所以,解得.答案:題3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a與b的夾角為θ,則cosθ=______.【解析】.答案:關鍵能力·合作學習類型一數量積的坐標運算(數學運算)【題組訓練】題4.若,且,則x等于 ()B.C.D.-3【解析】選C.因為,所以.題5.如圖,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是線段BC上的點,且DE=BC,則的取值范圍是 ()A.B.C.D【解析】選A.如圖所示,以BC所在直線為x軸,以BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(0,1),B(-1,0),C(1,0),設D(x,0),則，據此有，則，據此可知當時,取得最小值;當或時，取得最大值，所以的取值范圍是.題6.若,則________;________.【解析】因為,所以.因為,所以.答案:(-16,-8)(-8,-12)【解題策略】關于向量數量積的運算(1)進行數量積運算時,要正確使用公式及向量的坐標運算,并注意與函數、方程等知識的聯系.(2)向量數量積的運算有兩種思路:一種是基向量法,另一種是坐標法,兩者相互補充.如果題目中的圖形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊圖形時,一般選擇坐標法.【補償訓練】題7.已知向量,則k= () 【解析】選D.,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.題8.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則的最小值是 ()B.C.【解析】選B.以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖,可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).設P(x,y),則，所以.所以，當點P的坐標為時,取得最小值為.類型二向量模的問題(數學運算)【典例】題9.已知向量.(1)求的坐標及模;(2)若,求.四步內容理解題意條件:.(2)若,結論:(1)a-2b的坐標及模;(2)|c|.思路探求(1)先運用線性運算求的坐標,再用公式求模;(2)先運用線性運算求的坐標,再用公式求模書寫表達(1).(2),所以,所以.①注意向量書寫規范,向量與坐標之間用等號;②注意求模不要忽略根號.題后反思在中,前面的是數值,相當于數乘運算.【解題策略】向量模的問題(1)字母表示下的運算,利用將向量模的運算轉化為向量的數量積的運算.(2)坐標表示下的運算,若,則.【跟蹤訓練】題10.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,,則________.【解析】因為在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,,所以,所以,則.答案:【補償訓練】題11.已知,若,求的坐標及.【解析】設,則由,得.由,可知2x+3y=0,解方程組得或所以或,所以或,所以.類型三向量夾角、垂直問題(數學運算)角度1平面向量的夾角問題【典例】題12.已知,若與的夾角θ為鈍角,求實數λ的取值范圍.【思路導引】的夾角θ為鈍角等價于且θ≠180°.【解析】因為,所以.因為的夾角θ為鈍角,所以即所以λ<1且λ≠-1.所以λ的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,1).【變式探究】題13.已知,與的夾角θ為銳角,求實數λ的取值范圍.【解析】由已知得,.因為與的夾角為銳角,所以cosθ>0且cosθ≠1,所以且不同向.由,得,由與同向得λ=2.所以實數λ的取值范圍為.角度2平面向量的垂直問題【典例】題14.已知向量,向量.(1)求向量的坐標;(2)若,求實數k的值.【思路導引】(1)根據向量的坐標運算可得出答案;(2)根據向量垂直的坐標表示列方程,解方程得出答案.【解析】(1)因為,所以，.(2)因為,所以,即，解得.【解題策略】1.利用數量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數量積.利用向量數量積的坐標表示求出這兩個向量的數量積.(2)求模.利用計算兩向量的模.(3)求夾角余弦值.由公式求夾角余弦值.(4)求角.由向量夾角的范圍及cosθ求θ的值.2.涉及非零向量垂直問題時,一般借助來解決.【拓展延伸】1.線段垂直的坐標關系設是坐標平面內的三個點,則.2.向量共線的條件由可知,若θ=0°或180°,則cosθ=±1,則有,利用此結論也可以判斷兩向量是否共線.【拓展訓練】題15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),則△ABC的形狀是 ()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.由題設知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.【題組訓練】題16.已知向量,若,則實數λ= ()A.B.【解析】選C.因為,所以，又,所以,即，解得λ=-2.題17.已知向量.(1)求的值;(2)求向量與夾角的余弦值.【解析】(1)因為,所以;(2)由(1)知,所以.【補償訓練】題18.已知,當k為何值時,(1)與垂直;(2)與的夾角為120°.【解析】因為,,,.(1)因為與垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3,即當k=-3時,與垂直.(2)因為，，，因為與的夾角為120°,所以，即，化簡整理,得,解得.即當時,與的夾角為120°.備選類型用向量解代數問題(數學建模)【典例】題19.求函數的最大值.【思路導引】觀察此函數解析式的特征,不難發現其形式與兩個坐標表示的平面向量的數量積公式類似,建立向量模型求解.【解析】設，則，因為，所以,又因為,所以,當且僅當共線時,等號成立,即，解得，當時,的最大值為39,即函數的最大值為39.【解題策略】向量法巧解代數問題向量是代數和幾何的完美結合,尤其是解決代數問題時具有獨到的優勢,解題的關鍵在于觀察問題的結構,挖掘代數結構的向量模型,把原有問題轉化為向量問題,再借助向量有關知識解決問題.【跟蹤訓練】題20.已知a,b,m,n∈,設,其中mn≠0,用向量方法求證:.【證明】設,且它們的夾角為θ(0°≤θ≤180°),則,因為,所以,又,所