復數的概念教學目標.掌握復平面、向量等有關概念；弄清復數集6與復平面內所有的點組成的集合之間一一對應關系，以及復數與從原點出發的向量之間的一一對應關系；弄清復數模的幾何意義..通過數形結合研究復數，提高學生的數形結合能力，突出比較與類比的研究方法.3.感受到為真理執著追求的精神.進行辯證唯物主義教育.教學重點與難點重點：復數與點與向量的對應關系以及復數的模.難點：自由向量與位置向量的區別，以及它們與復數的對應關系.教學過程設計師：我們已經學習了復數的概念.什么是復數？生：形如a+bi的數叫復數.（學生有不同意見，小聲議論）師：誰有補充？生：形如a+bi（a,b￡R）的數叫復數.（教師給予肯定）師：a,b￡R的條件很重要，實際上我們是用實數來定義的復數，雖然我們知道了復數的定義，但是復數對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數，任何一個實數，都可以在數軸上找到一個點與它對應，那么復數到底在哪里呢？我們能不能像實數那樣來表示復數呢？生：數軸上的點不能表示虛數，只能表示實數.師：那么用什么可以表示復數呢？注意復數是由a,b兩個實數決定的，可以大膽設想一下，我們可以利用什么來表示復數？生：可以用直角坐標系里的點來表示嗎？師：義義提出了一個想法，用直角坐標系內的點來表示復數.這種想法行不行呢？（在黑板上畫出直角坐標系，任取一點（a,b））師：能不能用點來表示復數呢？生：可以.因為有一個復數a+bi（a,b￡R）,就有一個點（a,b）,而有一個點（a,b）,就有一個復數a+bi.師：他剛才所說的實際想說明一點復數集與坐標系中的點構成的集合是一一對應的.的確，由復數相等的概念，我們知道一個復數a+bi由一個有序實數對（a,b）唯一確定，而有序實數對與直角坐標系中的點是一一對應的.因此我們完全可以建立復數集與點集之間的一一對應.看來，用點來表示復數是完全可以的.為了區別表示復數的點與其它的點，我們把這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面.那么在這個坐標系中x軸上的點與y軸上的點所表示的復數分別具有什么特點呢？生：x軸上的點的縱坐標為0,即復數的虛部為0,因此x軸上的點代表實數.師：既然x軸上的點代表了所有實數，我們就把復平面中的x軸叫實軸.那么y軸上的點代表什么樣的復數呢？生：由于y軸上的點的橫坐標都是零，因此y軸上的點表示的是純虛數.師：同學們認為他說得對嗎？（大多數同學認為他說得對，少數人有疑惑）生：原點也在y軸上，但0不是純虛數，而是實數.所以y軸上的點除原點外表示的都是純虛數.師：他說得很對.y軸上只有這個原點搗亂，不然就可以表示所有的純虛數.因此，我們把去掉原點后的y軸叫虛軸.這樣虛軸上所有的點都表示純虛數.那么，直角坐標平面與復平面有什么區別？生：直角坐標平面中的x軸與y軸交于原點，而復平面中的實軸與虛軸沒有交點.師：我們通過建立復平面，將復數集與復平面上的點建立了一一對應的關系，這樣復數對我們來說，也就不顯得那樣遙遠了.但對于復數的認可，在19世紀可沒那么簡單.第一次認真討論這種數的是文藝復興時期意大利有名的數學“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數的，當時復數被他稱作“詭辯量”，幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之數”取了一個名字一一虛數.但是又過了140年，歐拉還是說這種數只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary,即虛幻的縮寫）來表示它的單位.后來德國數學家高斯給出了復數的定義，但他們仍感到這種數有點虛無縹緲，盡管他也感到它的作用.1830年，高斯詳細論述了用直角坐標系的復平面上的點表示復數a+bi,使復數有了立足之地，人們才最終承認了它.看來復數從發現到最終被人們承認，的確經過了一個漫長坎坷的過程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點表示復數后，人們才覺得復數的存在.（學生對數學史方面的知識很感興趣，因為他們感到數學的發展是那樣神秘，可以憑空造出數來，學生聽得聚精會神，當最后得知是用點來表示復數這一理論使復數得以被人承認后，甚至還有些成就感）師：用點表示復數后，我們還要介紹一種表示復數的方法，連接坐標原點O與點Z,得到一個具有長度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量.那么什么叫向量呢？生：既有大小又有方向的量叫向量.師：能不能舉出一些向量的例子？生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量.師：現在的問題是我們能不能用向量來表示復數？我們一般將起點為O,終點為Z的向量記作51生：當然可以.因為有一個向量就對應一個點，而有一個點就對應一個向量，而點與復數有一一對應的關系，因此可用向量表示復數.（學生議論紛紛，看起來有不同意見）生：那我在復平面內任意畫一個有向線段靛，這個向量表示哪個復數呢？（大家在思考）師：這個問題提得很好.實際上，大家可以想一想，剛才xx同學說一個向量對應一個點，一個點對應一個向量，對不對？怎么樣改一下就對了？生：應改為起點為原點的向量對應一個點，也就是起點為原點的向量與點構成一一對應.師：既然這樣，我們就知道，起點為原點的向量與復數是一一對應的.那其它向量怎么辦？它們對應什么復數？能不能將他們移到原點來？生：只要它們的長度和方向與&相同，就可以平移到起點為原點，與交重合的位置上.師：實際上，我們把長度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實，我們只要規定相等的向量對應同一個復數，我們就可以用向量來表示復數了.對那些起點不在原點的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對應的復數了呢？生：只要將它們平移到起點與原點重合，這時向量終點所確定的復數就是那些起點不在原點的向量所表示的復數.(教師給予肯定)師：在這個正六邊形中有多少對向量相等，它們分別對應著哪些復數?生.在圖中，證與靛是相等的向量，它們都對應復數；+與co,5?與癥是相等的向量，它們都對應復數］u Ci Cju師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個問題：復數與向量.我們弄清楚了向量可以來表示復數，相等的向量對應著同一個復數.一個復數所對應的向量唯一嗎？生：一個復數實際上可以對應無數個長度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同.師：現在我們知道復數可以用點和向量來表示，它們之間的對應關系可以用下圖來表示.點ZI=i?b)/'一復數？=&+如■* ＞向量兆〔起點為原點0)(.StbER)有了這種一一對應關系后，我們常把復數2=a+狀說成點Z(a,b),或說成向量51師：在用有向線段表示向量時，有向線段的長度我們定義為向量的模，即線段OZ的長度為向量靈的模.那么茄■可以表示復數2=2+6。那么炭的模可以表示復數的哪個量呢？在實數集中，一個數的絕對值的幾何意義就是數軸上的點到原點的距離.在復數集中呢？生：向量5?.的模就是復數的絕對值.師：他的意思說出來了，但在復數中，我們一般不叫絕對值，叫復數的模.因止此靈的模就叫復數的模，只有復數為實數時，我們叫絕對值.那么復數的模具有什么樣的幾何意義？生：復數的模的幾何意義是表示復數的點到原點的距離.(教師給予肯定，并指出復數模的幾何意義與實數的絕對值的幾何意義是統一的.)師：復數的模用什么表示呢？生：用實數集中絕對值的符號表示，z的模，記作|z|.師：復數2=a+狀，（@,b￡R）,那么|z|二?生：|中儲+產是點Z（a7b）到原點的距離.例1求復黜.=3+4］，句，;一席的模，并且比較它們的大小.（學生板演）解：同『百W"聞二十（一廚=,因為5〉才所以|與|〉|町|.師：我們知道復數一般不能比較大小，而復數的模是實數，可以比較大小.（將z1,z2所表示的點畫在復平面上，再將它們所表示的向量畫出來，強調這三者的轉化）例2設z￡C,滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4； （2）2W|z|<4.生：（1）表示到原點距離為4的點.師：這樣的點構成一個什么圖形？生：是原點為圓心，半徑為4的圓.師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？生：應該是表示只有邊界的圓.因為與復數z對應的點Z,由|z|=4,知道|OZ|=4,即點Z到原點的距離為4.所以z表示的點Z構成一個半徑為4的圓.生：（2）表示一個圓環.由于|z|的幾何意義是點Z到原點的距離，所以2W|z|<4表示到原點距離大于等于2,小于4的點所構成的圖形.圖877師：準確地說這個圖形應當是半徑為2與半徑為4的圓構成的圓環內容及內邊界.包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的.例3用復數表示下圖中的陰影部分.圖名TE ^S-19生甲：|z|＜3且虛部＜-1.由于圖中所示的點在半徑為3的圓中，且縱坐標小于-1.生乙：還可以用實部表示.|￡區3,且一2用＜實部＜2師：這種表示是否正確？（學生小聲議論）師；實部=±2點這樣的復數對應的點是什么圖形？生：是兩條直線.師：夾在這兩條直線中間又滿足|z|＜3的點顯然不僅僅是陰影部分.請聘I工且=2、必■二實部＜的點表不出耒.（學生到黑板畫出圖）師：因此剛才乙同學的想法是好在不滿足于用一種方法表示，肯思考，但這個題無法用實部來表示.（下面提問第2小題）生：|z|N3,且實部W-1.師；能不能用虛部表小呢？若用二虛部K2A反行不行？生：不對.（學生畫出|胃＞3且-，虛部匕之愿所表示的圖形）師：看來用實部還是虛部表示，一定要全盤考慮，表示出來后，還要反過來檢查一下是否符合題設條件.

（教師小結）師：這節課我們共同探尋了復數的幾何表示方法以及復數模的幾何意義.要特別重視數與點與向量之間的對應關系，在研究的過程中要特別注意與實數的聯系與區別.Ss-'^iSs-'^i補充作業.判斷下列命題的真假，并說明理由:?zEc=>閭②團<1=> 1；③|虛部1=■-K虛部<1?+工；=0=>/=%=0：⑤包出％尸。=■￡]=叼=0；⑥,11=1q1=啊=叼?.已知|x+yi|=2,求表示復數x+yi的點的軌跡..求證,復平面內分別和復數%=1+文叼=五+瓜5=巾-疝,句=-2+1對應的四個點％,4共圓..設z￡C,滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|=3；(2)|z|<3；(3)3<|z|W5；(4)實部>0,虛部>0且(1)|z|=3；作業答案或提示.①J;②義；③J;④義；⑤J;⑥義..X2+y2=4.3.略..(1)以原點為圓心，半徑為3的圓；(2)以原點為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；(3)以原點為圓心，半徑為3和5的圓構成的圓環內部，包括外邊界；(4)以