《正、余弦定理的綜合應用》教學設計（1）知識梳理1.正弦定理：，其中為外接圓的半徑。利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）2.余弦定理：(1)余弦定理：；；.在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.（2）余弦定理的推論：；；.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.3.三角形面積公式：==4.三角形的性質：=1\*GB3①.A+B+C=,,,=2\*GB3②.在中,＞c,＜c;A＞B＞,A＞BcosA＜cosB,a＞bA＞B=3\*GB3③.若為銳角，則＞,B+C＞,A+C＞;＞，＞，＋＞5.(1)若給出那么解的個數為：(A為銳角)，幾何作圖時，存在多種情況．如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數．已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有如下的情況：(1)A為銳角一解兩解一解若，則無解；（2）當A≥90若a>b,則一解若a≤b，則無解典例剖析題型一三角形多解情況的判斷例1.根據下列條件，判斷有沒有解？若有解，判斷解的個數．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．解：（1）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．（2）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．（3）由于為銳角，而，即，因此僅有一解．（4）由于為銳角，而，即，因此有兩解，易解得．（5）由于為銳角，又，即，∴無解．評析：對于已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形問題，容易出錯，一定要注意一解、兩解還是無解。這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。題型二正、余弦定理在函數中的應用例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點，且AD＝4，求BC邊長.分析：此題所給題設條件只有邊長，應考慮在假設BC為x后，建立關于x的方程.而正弦定理涉及到兩個角，故不可用.此時應注意余弦定理在建立方程時所發揮的作用.因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為eq\f(x,2)，然后利用互補角的余弦互為相反數這一性質建立方程.解：設BC邊為x，則由D為BC中點，可得BD＝DC＝eq\f(x,2)，在△ADB中，cosADB＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝eq\f(42＋（eq\f(x,2)）2－52,2×4×eq\f(x,2))在△ADC中，cosADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(42＋（eq\f(x,2)）2－32,2×4×eq\f(x,2))又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.∴eq\f(42＋（eq\f(x,2)）2－52,2×4×eq\f(x,2))＝－eq\f(42＋（eq\f(x,2)）2－32,2×4×eq\f(x,2))解得，x＝2所以，BC邊長為2.評述：此題要啟發學生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數這一性質的應用，并注意總結這一性質的適用題型.備選題正、余弦定理的綜合應用例3在△ABC中，已知，求△ABC的面積.解法1：設AB、BC、CA的長分別為c、a、b，.故所求面積解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面積評析：本小題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式等基礎知識，同時考查利用三角公式進行恒等變形的技能和運算能力.點擊雙基一.選擇題：1.在中，，則A為（）解：答案：A2.在（）解：由題意及正弦定理可得答案：B3.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.銳角或鈍角三角形解：：長為6的邊所對角最大，設它為則答案A4.在中，化簡___________解：利用余弦定理，得原式答案：a5.在中，，則_______，________解：又答案：課外作業一、選擇1.在中，，則A等于（）解：由余弦定理及已知可得答案：C2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60,則此三角形的解的情況是（）A.有一解B.有兩解C.無解D.有解但解的個數不確定解：bsinC=20>c,無解答案：C3.在中，，則三角形為（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解：由余弦定理可將原等式化為答案C4.在中，，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.正三角形解：原不等式可變形為答案：C5在△ABC中，若，則其面積等于（）ABCD答案：D6在△ABC中，角均為銳角，且則△ABC的形狀是（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形都是銳角，則答案：C7.在△ABC中，cos=,則△ABC的形狀是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解：原式可化為=，cosA+1=cosA=由余弦定理，得，a△ABC為直角三角形答案：B8.在△ABC中，A=，BC=3，則△ABC的周長為（）A.4B.4C.6D.6解：，==2=2,b+c==2(sinB+sin())==2()=6a+b+c=6答案：D二.填空題：9.在中，已知，則___________解：由正弦定理得設1份為k，則再由余弦定理得答案：10.在中，A、B均為銳角，且，則是_________解：由得A、B均為銳角，而在上是增函數即答案：鈍角三角形11.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為解：由題意得或2（舍去）答案：2三.解答題：12..根據下列條件，判斷是否有解？有解的做出解答．①a=7,b=8,A=105②a=10,b=20,A=80③b=10,c=5,C=60④a=2,b=6,A=30解：①a=7,b=8,a<b,A=105>90本題無解②a=10,b=20,a<b,A=80<90bsinA=20sin80>20sin60=10a<bsinA本題無解③b=10,c=5,b<c,C=60<90,本題有一解sinB==B=45,A=180-(B+C)=75a====5()④a=2,b=6,a<b,A=30<90又bsinA=6sin30=3,a>bsinA本題有兩解由正弦定理得sinB===B=60或120當B=60時，C=90,c===4當B=120時，C=30,c===2B=60，C=90,c=4或B=120，C=30,