2011年1月19日摘要在實際中，求非代數函數的積分往往要求精度很高，因為高斯型求積公式據有最高代數精度且高斯型求積公式是收斂和穩定的，同時它可以使更多的函數準確成立，所以研究高斯型求積公式及其程序開發是很必要的?目的是總結分析高斯型求積公式，在掌握其基本思想的基礎上，深入學習幾種常見的高斯型求積公式.本文共包含兩章，第一章主要介紹高斯型求積公式的概述，包括理論知識以及分類性質，還有算法分析及流程圖?第二章主要介紹幾種常用的高斯型求積公式，內容包括其定義及余項，還有部分c程序和流程圖以及應用舉例等.關鍵詞高斯型求積公式；正交多項式；流程圖;C程序目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"第一章高斯型求積公式 2\o"CurrentDocument"§1.1高斯型求積公式的概述 2\o"CurrentDocument"§1.1.1高斯型求積公式的定義及理論 2\o"CurrentDocument"§1.1.2高斯型求積公式的分類及性質 3\o"CurrentDocument"§1.2高斯型求積公式的方法及其流程圖 4\o"CurrentDocument"§1.2.1高斯型求積公式的方法 4\o"CurrentDocument"§1.2.2高斯型求積公式的方法流程圖 5\o"CurrentDocument"第二章常用的高斯型求積公式 5\o"CurrentDocument"§2.1高斯-勒讓德求積公式 5\o"CurrentDocument"§2.1.1高斯-勒讓德求積公式的概述 6\o"CurrentDocument"§2.1.2高斯-勒讓德求積公式的算法及引例 7\o"CurrentDocument"§2.1.3C程序：用遞歸法求5階勒讓德值 9\o"CurrentDocument"§2.2高斯-切比雪夫求積公式 10\o"CurrentDocument"§2.2.1高斯-切比雪夫求積公式的概述 10\o"CurrentDocument"§2.2.2高斯-切比雪夫求積公式應用舉例及算法流程圖 11\o"CurrentDocument"§2.3高斯-埃爾米特求積公式 11\o"CurrentDocument"§2.3.1高斯-埃爾米特求積公式的概述 12\o"CurrentDocument"§2.3.2高斯-埃爾米特求積公式應用舉例 13\o"CurrentDocument"參考文獻 15附錄A 16附錄B 18引言介紹高斯型求積公式，重點理解三種常用的高斯型求積公式即Gauss-Legendre求積公式,Gauss-Chebyshev求積公式,Gauss-Hermite求積公式.同時，對部分高斯型求積公式進行程序設計及流程圖設計?我們知道，插值型求積公式分為等距節點下的Newton-Ctoes求積公式和非等距節點下的Gauss求積公式兩種，且對于n+1個節點時，其代數精度至少為n次.在Newton-Ctoes求積公式中，節點是等距的，從而限制了求積公式的代數精度，下面討論的高斯型求積公式將取消這個限制條件，使代數精度達到最高，n+1個節點的高斯型求積公式的代數精度為2n+1次，并且總是穩定和收斂的.高斯型求積公式的系數A恒為正，故高斯型求積公式是穩定的；且對(有限閉k區間上的)連續函數，高斯求積的數值隨節點數目的增加而收斂到準確積公值?高斯型求積公式有很多優點，但對一般的權函數p(x)，高斯節點不容易求?高斯型求積系數多為無理數，因此不如牛頓柯特斯求積公式的等距節點和柯特斯系數?當函數f(x)賦值計算量大或者求非代數函數的積分時，高斯型求積公式常被優先選取.另外，高斯型求積，它的節點是不規則的，所以當節點增加時，前面的計算的函數值不能被后面利用?計算過程比較麻煩，但精度高，特別是對計算無窮區間上的積分和旁義積分，則是其他方法所不能比的.第一章高斯型求積公式§1.1高斯型求積公式的概述我們知道，n+1個節點的插值型求積公式至少具有n次代數精度，那么，最高的代數精度能達到多少呢？為此，我們得到高斯型求積公式.§1.1.1高斯型求積公式的定義及理論定義1.1放棄等距節點下的限制，在區間 [a,b]上，適當選擇n+1個節點x(k二0,1, n)使插值求積公式的穩定性好，總是收斂且代數精度高達2n+1，這中k高精度的求積公式，稱高斯型求積公式?高斯公式的的求積節點x稱為高斯點?公k式表示為(1—1)Jbf(x')dxq工Af(x)

a k k(1—1)k=0其中A=Jbl(x)dx.kak高斯求積應用的定理：定理1?1插值型求積公式(1-1)的節點a<x<x<...<x<b是高斯點的TOC\o"1-5"\h\z0 1 n充分必要條件是這些節點為零點的多項式n+1(x)=(x—x)(x一x)...(x—xn+10 1 n與任何次數不超過n次的多項式p(x)帶權P(x)正交，即Jbp(xb(x)p(x)dx=0.a n+1定理1.2高斯型求積公式(1-1)的求積系數A(k=0,1,...,n)全是正的，且kA=Jb12(xb(x)dx.kak定理1.3對于高斯型求積公式(1-1)，若fGC2n+2[a,b],其余項為R[f]=fn+1)(也b?2(xbx.(2n+1)!an+1定理1?4n+1個求積節點的插值型求積公式的代數精度m滿足n<m<2n+1定理1?5求積公式Jbf(x)p(x)dx沁kkk=0中，x(i=0,1,2,n)是咼斯點的充分必要條件是：在區間［a,b］上,i兀(x)=HC一x)jj=o是關于權函數p(x)的n+1次正交多項式.§1.1.2高斯型求積公式的分類及性質高斯型求積公式分為帶權和不帶權兩種：帶權積分公式：Jbf(x)p(x)dxq藝Af(x)k kak=0不帶權積分公式：Jbf(x)dxq藝Af(x)?k kak=0即帶權積分是不帶權積分的推廣，不帶權積分是帶全積分的特例.通過定理7.9可知，正交多項式隨權函數不同而異，所以有各種各樣的高斯型求積公式?例如：當a=-l,b=1，且取權函數p(x)= =，則所建立的帶權的高斯型求積公式―x2J1 f(x)dxq工Af(x一11-x2 k=okk當a=-g,b=+s，且取權函數p(x)=e-x，則所建立的帶權的高斯型求積公式J+8e—xf(x)q工Af(x)?—8ii

i=0高斯型求積公式(節點個數為n+1)的特點是:具有最高代數精度m=2n+1?高斯點x正好為n+1次正交多項式的零點?k

(3)高斯系數A=Jbl(x)dx二Jbl2(x)dx>0.

kak ak具有穩定性和收斂性?余項為R[f]=f2叫)J%2(xbx?(2n+1)!an+i非等距節點下的插值型求積公式，即也為機械求積公式?主要缺點是節點無規律，且當積分精度不滿足要求而需增加節點時，所用數據都要重新計算?§1.2高斯型求積公式的方法及流程圖§1.2.1高斯型求積公式的方法高斯型求積公式代數精度比牛頓柯特斯代數精度高， 當2>8時牛頓-柯特斯求積公式出現不穩定現象而高斯型求積公式總是穩定的 ?要求解高斯型求積公式的關鍵就是高斯點的構造，高斯點構造的方法有：(1)用待定系數法構造高斯求積公式.(2)利用正交多項式構造高斯求積公式.利用正交多項式構造高斯求積公式的基本步驟：Stepi以n+1次正交多項式的零點x,x…x作為高斯點.01,2Step2用高斯點x,x…x對f(x)作Lagrange插值多項式01,2f(x)uEl(x)f(x)TOC\o"1-5"\h\zi ii=0JbpJbp(x)f(x)dxqJbp(x)工l(x)f(x)a %=工(bp(x)/(xJdxi i) l/=0bp(x)l(x)f(x)i i求積系數

n）由于正交多項式具有性質：在A=Jbp（x》（x）dx（n）由于正交多項式具有性質：在ia 1Step3整理求解.注找區間［a,b］上的n+1次多項式的n+1個零點,［a,b］上的n+1次正交多項式一定有n+1個不同的零點，且全部位于［a,b］內，所以只要將此n+1個零點作為n+1次插值多項式的節點，構造出的插值求積公式即為高斯求積公式?但因為求一般［a,b］區間上的n+1次正交多項式比較困難，故求解過程中一般轉化為［-1,1］區間.具體構造：常用Gauss-Legendre求積公式，第一類Gauss-Chebyshev求積公式，Gauss-Hermite求積公式.例用二點、三點Gauss型求積公式計算sinx,I=J1dx0xsin（；+；）1 2 —dt-111+—t2用二節點、三節點計算結果列在表1-1中.表1-1積分近似值節點數積分近似值20.94604113630.946083133與Newton-Cotes公式相比較，近似值要精確得多.§1.2.2高斯型求積公式方法流程圖下一章將介紹權函數等于1的高斯-勒讓德求積公式，權函數不等于1的高斯-切比雪夫求積公式和高斯-埃爾米特求積公式.（詳見附錄A）

第二章常用的高斯型求積公式§2.1高斯-勒讓德求積公式通過第一章我們知道，高斯型求積公式的求解主要是高斯點的構造，由于勒讓徳多項式的特點是在區間［-1,1］內有n個不同的實零點，從而可以通過計算多項式的零點確定高斯點.§2.1.1高斯-勒讓德求積公式的概述定義2.1在高斯求積公式(1-1)中，若取權函數p(x)二1，積分區間［-1,1］得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"J1f(x)dxq工Af(x) (2-1)kk-1 k=0稱之為高斯-勒讓德求積公式.對任意求積區間［a,b］,通過變換a+bb一ax= +t22可化為區間［-1,1］，這時Jbf(x)dx=a取a=-1，b=1,則得公式J1f(x)dxq工Af(x).kk-1 k=0公式(2-1)中求積系數A=21knP(x)P'(x)n-1knk求積公式的高斯點就是勒讓德多項式的零點.定理設fgC2n［a,b］，求積公式(2-1)的誤差為(n!》f(2")(耳),耳w[-1,1(n!》f(2")(耳),耳w[-1,1](2-2)高斯-勒讓德求積公式的誤差由定理給出，但是在很多應用中，用被積函數求導的方法來估計誤差是不方便的.此外有的被積函數沒有高階導數或不可導，因而不能

采用這樣的方法來估計誤差.下面兩種方法在估計求積公式的誤差是經常采用的.用更高階的高斯-勒讓德求積公式來檢驗其結果.把積分區間分成幾個子區間，在這些子區間上采用同樣的高斯-勒讓德求積公式.§2.1.2高斯-勒讓德求積公式的算法及引例利用勒讓德多項式的一個性質G-x2)L(x)=采用這樣的方法來估計誤差.下面兩種方法在估計求積公式的誤差是經常采用的.用更高階的高斯-勒讓德求積公式來檢驗其結果.把積分區間分成幾個子區間，在這些子區間上采用同樣的高斯-勒讓德求積公式.§2.1.2高斯-勒讓德求積公式的算法及引例利用勒讓德多項式的一個性質G-x2)L(x)=(n+1)(L(x)-xLn /n+1，(X))n+1可得高斯-勒讓德求積系數A為i2V1-x2)A= i,i=0,1,2n1 ((n+1)L(x)》ni按(2-2)式，可推得余項為(2—3)若取R(fU+；)；；+；!>f(2n+2)C1)Lix的零點x二0為節點，則0從而一點高斯-勒讓德求積公式人2(1-0)小Ao二EX二20(中矩形求積公式)為其余項為若取J1f(x)dxu2f(0)-1R(f)=1f-(Q/\(3x2-1)L(x)=—22的兩個零點土為節點,A=A=101從而二點高斯-勒讓德求積公式為

j1j1f(x)dxuf-i(丄］w/3丿其余項R(f)=丄f(4)6)

135同理，三點高斯-勒讓德求積公式為j1j1f(x)dxu5f-其余項R(f)= f(6)(n)15750一般地，高斯-勒讓德求積公式的節點可以通過勒讓德多項式的零點確定，而系數通過(2-3)式確定.表2-1給出高斯-勒讓德公式在節點數位123,4,5,6 時的節點和求積系數.表2-1Gauss-Legendre求積節點與求積系數mn+1xA11k0k232土0.5773502682153土0.77459666920.55555560土0.8888888974土0.86113631160.3478548451土0.33998104360.652145154995土0.90617984590.2369268851土0.53846931010.478628670500.5688888889116土0.93246951420.1713244924土0.66120938650.3607615730土0.23861918610.4679139346利用勒讓德多項式，取它的零點作為求積節點即可構造出高斯公式，看如下例題:例2.1三點Gauss-Legendre求積公式計算積分j31dx1x的近似值，并估計誤差.作變換

則積分dt

-11+1,對上式右端用三點Gauss-Legendre求積公式，得到J] 1」5 1 8 1 5 1J1dt?* +_*_+_* ?則積分dt

-11+1,對上式右端用三點Gauss-Legendre求積公式，得到J] 1」5 1 8 1 5 1J1dt?* +_*_+_* ?1.089039- 9 1.225403 9 2 9 2.774597_11+2而積分真值為ln3=1.098612有余項公式有Ef)=^^J1p2(t)dt，ne(-1,1)36!-1注意到()P(x)

p x丿=——3 A3 ，此時三階勒讓德多項式的首項系數為人(2*3)! 5A= =_23*(3!匕 2于是r()J1P2(x)dxJ1p2(x)dx=-13-13A234 2*257 175從而有g6(t)=6!—— 來 1756+2>,丄1,1)于是得到余項的估計式8Y8Y沁0.45714175175370.000021沁* YR(f17537而真正的誤差確實在此界限內.§2.1.3c程序：用遞歸法求5階勒讓德公式的值步驟如下:Stepi定乂以n和x作為變量的Legendre函數Step2給變量賦予初值Step3在王函數中調用Legendre函數Step4使用輸出函數Printf；Step5運行結果；C程序及運算結果：（見附錄B）§2.2高斯-切比雪夫求積公式§2.2.1高斯-切比雪夫求積公式的概述定義2.1在高斯求積公式（1-1）中，若取權函數p（x）二=，積分區間[-1,1],1—X2節點數為n+1,得J1 f(x)dxq工Af(x) (2-4)-1Jl一X2 .0k kT k=0稱之為高斯-切比雪夫求積公式?求積公式（2-4）的高斯點是n+1次切比雪夫多項式的零點，即為x=f2k+1j,k=0,1,2,nk12n+2丿積分系數使用時將起+1個節點公式改為颶個節點，于是高斯一切比雪夫求積公式寫成J1_fBdx上工f(x)TOC\o"1-5"\h\z-11—X2 ? k求積公式的高斯點為(2k—1)X=cos 兀k 2n公式余項為

2兀22n(2n)!帶權的高斯求積公式可用于計算奇異積分.§2.2.2高斯-切比雪夫求積公式的應用舉例及算法流程圖利用高斯-切比雪夫正交多項式的零點構造高斯型求積公式，這種方法只是針對某些特殊的區間和特殊的權函數才有效，我們可以通過做一些等價變換再對其進行應用,看如下例題.例2.2用5點(n=5)的高斯一切比雪夫求積公式計算積分I=11.e=dx

-11—X2令 f(x)=ex,f(2n)(x)=ex，當n=5時可得I=丈ecosion=3.9774635k=1余項可估計得兀2兀29*10!e<4.6x10-9.例2.3作適當變換，把積分I=I=J20化為能應用n點高斯-且比雪夫求積公式的積分.當n取何值時，能得到積分的準確值？并計算它.令2—02+01x= t+ =t+1,22

能應用高斯-且比雪夫求積公式.由于n點高斯-且比雪夫求積公式的代數精度是2n-1，f(t)二12+2t是二次多項式，因此應用兩點以上的高斯-且比雪夫求積公式便可得到積分的準確值?根據兩點的高斯-且比雪夫求積公式兀f3)I=—fcos—+fcos—兀2L4丿L4丿2算法流程圖：(詳見附錄A)§2.3高斯-埃爾米特求積公式§2.3.1高斯-埃爾米特求積公式的概述定義3?1在高斯求積公式(1-1)中，若取權函數p(x)二e-x2，積分區間(-。+小，節點數為n+1,得f1f(x1-x2dx沁kk-1 k=0稱之為高斯-埃爾米特求積公式?節點X(k二0,1,2…n)為n+1次埃爾米特多項式kHH(兀)=(-1)"nex2 -x2,n二0丄2…ndxn的零點，求積系數為2n2n+1(n+1)!' (x))n+1k

公式（2-5）的余項為R[fL2n+i（2n+2）!f（22+2）（8），氏S'+8）高斯-埃爾米特求積公式的節點和系數可見表2-2.表2-2高斯-埃爾米特求積公式的節點和系數2xkAk001.7724538511土0.7071067810.886226926土1.2247448710.295408975201.181635901土1.6506801240.0813128353土0.5246476230.804914090土2.0201828710.019953242土0.9585724650.393619323400.945308721土2.3506049740.0045300105土1.3358490740.157067320土0.4360774120.724629595土2.6519613570.0009717812土1.6735516290.05451558286土0.8162878830.42560725300.810264618§2.3.2高斯-埃爾米特求積公式應用舉例