內蒙古自治區呼和浩特市單臺子中學2022年高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1的距離為

（

）

A．

B.

C．

D．參考答案：B2.設x∈R，則“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點： 充要條件．專題： 簡易邏輯．分析： 求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根據充分必要條件的定義判斷即可．解答： 解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根據充分必要條件的定義可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要條件．故選：A點評： 本題考查了簡單的不等式的求解，充分必要條件的定義，屬于容易題．3.若函數在內有極小值，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A4.如果函數f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區間[]上單調遞減，那么mn的最大值為(

)A．16 B．18 C．25 D．參考答案：B【考點】二次函數的性質；利用導數研究函數的極值；基本不等式在最值問題中的應用．【專題】函數的性質及應用；導數的概念及應用；不等式的解法及應用．【分析】函數f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區間[]上單調遞減，則f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函數，在[，2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個端點處f′（）≤0，f′（2）≤0即可．結合基本不等式求出mn的最大值．【解答】解：∵函數f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區間[]上單調遞減，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函數，在[，2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個端點處f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，當且僅當m=3，n=6時取得最大值，經檢驗m=3，n=6滿足（1）和（2）．故選：B．

解法二：∵函數f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區間[]上單調遞減，∴①m=2，n＜8對稱軸x=﹣，②即③即設或或設y=，y′=，當切點為（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值為3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合題意．③m=2，n=8，k=mn=16綜合得出：m=3，n=6時k最大值k=mn=18，故選；B【點評】本題綜合考查了函數方程的運用，線性規劃問題，結合導數的概念，運用幾何圖形判斷，難度較大，屬于難題．5.復數(i是虛數單位)的實部是．參考答案：D6.已知過點（﹣2，0）的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點P（P在第一象限內），則過點P且與直線x﹣y=0垂直的直線l的方程為（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0參考答案：B【考點】J7：圓的切線方程．【分析】求出P的坐標，設直線l的方程為x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直線l的方程．【解答】解：由題意，切線的傾斜角為30°，∴P（1，）．設直線l的方程為x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直線l的方程為x+y﹣4=0，故選B．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．7.定義在R上的偶函數,滿足,且在區間上為遞增（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.設點在不等式組表示的平面區域上，則的最小值為A．1

B．

C.2

D．參考答案：D9.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，點F2關于雙曲線C的一條漸近線的對稱點A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】設F（﹣c，0），漸近線方程為y=x，對稱點為F'（m，n），運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，求出對稱點的坐標，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值．【解答】解：設F（﹣c，0），漸近線方程為y=x，對稱點為F'（m，n），即有=﹣，且?n=?，解得m=，n=﹣，將F'（，﹣），即（，﹣），代入雙曲線的方程可得﹣=1，化簡可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．10.＝（2，1），＝（3，4），則向量在向量方向上的投影為（）A．2 B． C．2 D．10參考答案：C【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），∴向量在向量方向上的投影為：?cosθ＝＝＝2二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若則

。.參考答案：1略12.設向量滿足，則＝(

)A．2

B．

C．4

D．參考答案：B略13.四個大小相同的小球分別標有數字1、1、2、3，把它們放在一個盒子里，從中任意摸出兩個小球，它們所標有的數字分別為，記，則隨機變量的數學期望為

．參考答案：

3.5

14.曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為

.參考答案：15.已知，，設，的夾角為，則___________.參考答案：16.已知對稱中心為原點的雙曲線與橢圓有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的標準方程為___________________。參考答案：17.函數的零點個數是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數（其中為常數，且）的圖像經過點和點（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若函數，求的值域參考答案：略19.(本小題滿分12分)橢圓的上頂點為是上的一點，以為直徑的圓經過橢圓的右焦點．（1）求橢圓的方程；（2）動直線與橢圓有且只有一個公共點，問：在軸上是否存在兩個定點，它們到直線的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在，說明理由．參考答案：（1）（2）存在兩個定點，使它們到直線的距離之積等于1.【知識點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．H5H8解析：（1），由題設可知，得 ①

………1分又點P在橢圓C上， ② ③

………3分①③聯立解得，

………4分故所求橢圓的方程為

………5分（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，代入橢圓方程，消去y，整理得 （﹡）方程（﹡）有且只有一個實根，又，所以得

………8分假設存在滿足題設，則由對任意的實數恒成立,所以，

解得，當直線的斜率不存在時，經檢驗符合題意.總上，存在兩個定點，使它們到直線的距離之積等于1.…12分【思路點撥】（1）由題設可得①，又點P在橢圓C上，可得?a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③聯立解得c，b2，即可得解．（2）設動直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消去y，整理得（﹡），由得，假設存在滿足題設，則由對任意的實數k恒成立．由即可求出這兩個定點的坐標．20.十九大以來，某貧困地區扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領農村地區人民群眾脫貧奔小康，扶貧辦計劃為某農村地區購買農機機器，假設該種機器使用三年后即被淘汰.農機機器制造商對購買該機器的客戶推出了兩種銷售方案：方案一：每臺機器售價7000元，三年內可免費保養2次，超過2次每次收取保養費200元；方案二：每臺機器售價7050元，三年內可免費保養3次，超過3次每次收取保養費100元.扶貧辦需要決策在購買機器時應該選取那種方案，為此搜集并整理了50臺這種機器在三年使用期內保養的次數，得下表：保養次數012345臺數110191442記x表示1臺機器在三年使用期內的保養次數.（1）用樣本估計總體的思想，求“x不超過2”的概率；（2）若y表示1臺機器的售價和三年使用期內花費的費用總和（單位：元），求選用方案一時y關于x的函數解析式；（3）按照兩種銷售方案，分別計算這50臺機器三年使用期內的總費用（總費用=售價+保養費），以每臺每年的平均費用作為決策依據，扶貧辦選擇那種銷售方案購買機器更合算？參考答案：（1）0.6；（2）；（3）355600，353300，第二種方案.【分析】（1）根據表中所給數據可得“不超過2”的頻數，利用古典概型概率公式可求“不超過2”的概率；（2）當時，；當，，從而可得結果；（3）求出方案一中，這50臺機器售價和保養總費用可得每年每臺的平均費用，求出方案二中，這50臺機器售價和保養總費用，可得每年每臺的平均費用，比較兩種方案每年每臺的平均費用的大小，從而可得結果，【詳解】（1）從上表中可以看出50臺機器維修次數不超過2次的臺數共30臺，故“不超過2”的概率為.（2）當時，；當，，故關于的函數解析式為.（3）在方案一中，這50臺機器售價和保養總費用為（元）.所以每年每臺平均費用為元.在方案二中，這50臺機器售價和保養總費用為（元）.所以每年每臺平均費用為元.因為，所以扶貧辦應選擇第二種方案更合算.【點睛】本題主要考查閱讀能力、數學建模能力和化歸思想以及古典概型概率公式，屬于中檔題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.21.已知,

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若在處有極值，求的單調遞增區間；

（Ⅲ）是否存在實數，使在區間的最小值是3，若存在，求出的值；

若不存在，說明理由