會計學1測量誤差基本知識2§6-1測量誤差的概念一、測量誤差的來源1、儀器精度的局限性2、觀測者感官的局限性3、外界環境的影響第2頁/共70頁第1頁/共70頁3一.產生測量誤差的原因一.產生測量誤差的原因產生測量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經驗,等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風,大氣折光)

結論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關名詞：觀測條件:

上述三大因素總稱為觀測條件等精度觀測:在上述條件基本相同的情況下進行的各次觀測，稱為等精度觀測。第3頁/共70頁第2頁/共70頁4二、測量誤差的分類與對策（一）分類系統誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現在符號和數值相同，或按一定的規律變化。例：誤差

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺溫度誤差Dt

水準儀視準軸誤差i

經緯儀視準軸誤差C……處理方法計算改正計算改正操作時抵消(前后視等距)操作時抵消(盤左盤右取平均)

……第4頁/共70頁第3頁/共70頁5二、測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現的符號和數值大小都不相同，從表面看沒有任何規律性，但大量的誤差有“統計規律”粗差——特別大的誤差（錯誤）例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產生誤差。第5頁/共70頁第4頁/共70頁6（二）處理原則粗差——細心，多余觀測系統誤差——找出規律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差第6頁/共70頁第5頁/共70頁7如何處理含有偶然誤差的數據？例如：對同一量觀測了n次觀測值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評價數據的精度？第7頁/共70頁第6頁/共70頁8三.偶然誤差的特性

1.偶然誤差的定義：

設某一量的真值為X，對該量進行了n次觀測，得n個觀測值，則產生了n個真誤差：(6-1-1)真誤差真值觀測值第8頁/共70頁第7頁/共70頁9例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內角，三角形內角和的誤差i為i=180–(i+i+I)其結果如表6-1，圖6-1,分析三角形內角和的誤差I的規律。第9頁/共70頁第8頁/共70頁10誤差區間負誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然誤差的統計第10頁/共70頁第9頁/共70頁11-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性：偶然誤差應小于限值。漸降性：誤差小的出現的概率大對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等抵償性：當觀測次數無限增大時，偶然誤差的平均數趨近于零。第11頁/共70頁第10頁/共70頁12偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應小于限值。漸降性：誤差小的出現的概率大對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等抵償性：當觀測次數無限增大時，偶然誤差的平均數趨近于零。第12頁/共70頁第11頁/共70頁13§6-2評定精度的標準一、方差和標準差（中誤差）中誤差第13頁/共70頁第12頁/共70頁14§6-2評定精度的標準二、相對中誤差平均誤差一、中誤差第14頁/共70頁第13頁/共70頁15按觀測值的真誤差計算中誤差第15頁/共70頁第14頁/共70頁16如果函數是連續型隨機變量X的分布密度函數概率第16頁/共70頁第15頁/共70頁17正態分布第17頁/共70頁第16頁/共70頁18m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.6第18頁/共70頁第17頁/共70頁19正態分布的特征正態分布密度以為對稱軸,并在處達到最大。當時，f(x)0，所以f(x)以x軸為漸近線。用求導方法可知，在處f(x)有兩個拐點。對分布密度在某個區間內的積分就等于隨機變量在這個區間內取值的概率第19頁/共70頁第18頁/共70頁20第20頁/共70頁第19頁/共70頁21區別錯誤與誤差的閥值隨機變量X在區間（x1x2）之間的概率為則函數是連續型隨機變量X的分布密度函數如果就得正態分布第21頁/共70頁第20頁/共70頁22

三、極限誤差第22頁/共70頁第21頁/共70頁23第23頁/共70頁第22頁/共70頁24但大多數被觀測對象的真值不知，任何評定觀測值的精度，即：

=？m=？尋找最接近真值的值x§6-3觀測值的算術平均值及改正值第24頁/共70頁第23頁/共70頁25集中趨勢的測度（最優值）中位數：設把n個觀測值按大小排列，這時位于最中間的數就是“中位數”。眾數：在n個數中，重復出現次數最多的數就是“眾數”。切尾平均數：去掉lmax,lmin以后的平均數。算術平均數：滿足最小二乘原則的最優解第25頁/共70頁第24頁/共70頁26一、算術平均值：滿足最小二乘原則的最優解第26頁/共70頁第25頁/共70頁27證明（x是最或然值）

將上列等式相加，并除以n,得到

第27頁/共70頁第26頁/共70頁28二、觀測值的改正值若被觀測對象的真值不知，則取平均數為最優解x改正值的特性定義改正值似真差滿足最小二乘原則的最優解最小二乘第28頁/共70頁第27頁/共70頁29§6-4觀測值的精度評定標準差可按下式計算中誤差第29頁/共70頁第28頁/共70頁30證明將上列左右兩式相減，得第30頁/共70頁第29頁/共70頁31分別取平方第31頁/共70頁第30頁/共70頁32取和對代入前式第32頁/共70頁第31頁/共70頁33計算標準差例子第33頁/共70頁第32頁/共70頁34小結一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差第34頁/共70頁第33頁/共70頁35§6-5誤差傳播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

第35頁/共70頁第34頁/共70頁36觀測值函數的中誤差

——誤差傳播定律一.觀測值的函數例：高差平均距離實地距離三角邊和或差函數線性函數倍數函數一般函數坐標增量一般函數……第36頁/共70頁第35頁/共70頁37二、幾種常用函數的中誤差（一）和(差)函數已知：mx,my,

求：mz=?第37頁/共70頁第36頁/共70頁38二、幾種常用函數的中誤差（一）和(差)函數已知：mx,my,

求：mz=?和第38頁/共70頁第37頁/共70頁39二、幾種常用函數的中誤差（一）和差函數已知：mx,my,

求：mz=?和第39頁/共70頁第38頁/共70頁40二、幾種常用函數的中誤差（一）和差函數已知：mx,my,

求：mz=?第40頁/共70頁第39頁/共70頁41二、幾種常用函數的中誤差（一）和差函數已知：mx,my,

求：mz=?和第41頁/共70頁第40頁/共70頁42二、幾種常用函數的中誤差（二）倍乘函數已知：mx,求：mz=?和平方第42頁/共70頁第41頁/共70頁43二、幾種常用函數的中誤差（二）倍乘函數已知：mx,求：mz=?第43頁/共70頁第42頁/共70頁44解：例量得地形圖上兩點間長度=168.5mm0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：列函數式中誤差式第44頁/共70頁第43頁/共70頁45二、幾種常用函數的中誤差（三）線性函數已知：mxi,求：mz=?第45頁/共70頁第44頁/共70頁46（三）線性函數特殊xi為獨立觀測值第46頁/共70頁第45頁/共70頁47例6距離誤差例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測值的中誤差；③算術平均值的中誤差；④算術平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數表示。第47頁/共70頁第46頁/共70頁48二.誤差傳播定律(四)一般函數的中誤差公式——誤差傳播定律設有函數xi為獨立觀測值對上式線性化第48頁/共70頁第47頁/共70頁49中誤差關系式：小結第一步：寫出函數式第二步：寫出全微分式(線性化)第三步：寫出中誤差關系式注意：只有自變量微分之間相互獨立才可以進一步寫出中誤差關系式。第49頁/共70頁第48頁/共70頁50觀測值函數中誤差公式匯總

觀測值函數中誤差公式匯總

函數式函數的中誤差一般函數倍數函數

和差函數

線性函數

算術平均值

第50頁/共70頁第49頁/共70頁51例已知某矩形長a=500米，寬b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數的中誤差求觀測值函數中誤差的步驟：(1)列出函數式；(2)對函數式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。第51頁/共70頁第50頁/共70頁52例題已知

有求：錯誤第52頁/共70頁第51頁/共70頁53例題已知

有；求：第53頁/共70頁第52頁/共70頁54觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD§6-6誤差傳布定律

應用舉例第54頁/共70頁第53頁/共70頁55§6-6誤差傳播定律應用

觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD第55頁/共70頁第54頁/共70頁56誤差傳播定律

應用舉例算術平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx第56頁/共70頁第55頁/共70頁57算例：用三角形閉合差求測角中誤差第57頁/共70頁第56頁/共70頁58誤差傳播定律的應用解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：例：要求三角形最大閉合差

，問用DJ6經緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？

用DJ6經緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差。第58頁/共70頁第57頁/共70頁59DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：P點的點位中誤差：例9：已知直線MP的坐標方位角=722000，水平距離D=240m。如已知方位角中誤差，距離中誤差，求由此引起的P點的坐標中誤差、，以及P點的點位中誤差。第59頁/共70頁第58頁/共70頁60§6-7加權平均數及其中誤差現有三組觀測值，計算其最或然值A組：123.34,123.39,123.35B組：123.31,123.30,123.39,123.32C組：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各組的平均值

A組：

123.360B組：123.333C組：123.356

=?第60頁/共70頁第59頁/共70頁61加權平均數

各組的平均及其權

A組：123.360權PA=3B組：123.333PB=4C組：123.356PC=5(

)()()第61頁/共70頁第60頁/共70頁62一、權與中誤差平均數的權pA=3平均數的中誤差m——單位權中誤差權與誤差的平方成反比第62頁/共70頁第61頁/共70頁63二、加權平均數第63頁/共70頁第62頁/共70頁64三、加權平均值的中誤差

第64頁/共70頁第63頁/共70頁65四、單位權中誤差的計算如果m可以用真誤差j計算，則如果m要用改正數v計算，則第65頁/共70頁第64頁/共70頁66加權平均值標準差的算例第66頁/共70頁第65頁/共70頁67例：對某水平角進行了三組觀測，各組分別觀測2，4，6測回計算該水平角的加權平均值。加權平均值的計算

組號測回數各組平均值L權

P

LPL表5-5加權平均值：12