寧夏回族自治區青銅峽市2021-2022學年高二數學下學期開學考試試題理一．選擇題：共12小題.（每小題5分，共計60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1.為了解1000名學生的學習情況，采用系統抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為（）A．50B．40C．25D．202.已知命題﹔命題，則下列命題中為真命題的是()B.C.D.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()A.60種B.120種C.240種D.480種4.在區間隨機取1個數，則取到的數小于的概率為（）A．B．C．D．5.方程eq\r(x＋102＋y2)－eq\r(x－102＋y2)＝12的化簡結果為()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1B．eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1(x＞0)D．eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1(x＞0)在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為()A.B.C.D.已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A．2 B．C．4 D．設有直線，，和平面，，下列四個命題中，正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9.雙曲線過點，離心率為，則該雙曲線的標準方程為（） B. C. D.一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A．①②④ B．②③ C．①② D．②③④11.若動圓的圓心在拋物線y＝eq\f(1,12)x2上，且與直線y＋3＝0相切，則此圓恒過定點()A．(0,2)B．(0，－3)C．(0,3)D．(0,6)12.已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．6二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.已知拋物線的焦點F到準線的距離為2，則曲線C的方程為．23453.24.87.314．已知，的取值如右表：若與線性相關，且回歸直線方程為，則實數的值為__________．雙曲線的右焦點到直線的距離為________．某三棱錐的三視圖如右圖所示，且圖中的三個三角形均為直角三角形，則的最大值為________.三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．（本題滿分10分）為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統文化，提高學習熱情，某校開展“中國漢字聽寫大會”的活動為響應學校號召高二9班組建了興趣班，根據甲、乙兩人近期8次成績所得數據分別為甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙兩人成績的平均數和中位數;（2）現要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統計學的角度你認為派哪位學生參加比較合適?18.(本小題滿分12分)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如右圖所示，其中成績分組區間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；分數段x：y1：12：13：44：5（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數（）與數學成績相應分數段的人數（）之比如下表所示，求數學成績在[50，90）之外的人數．19．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，、分別是、的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.（本題滿分12分）設橢圓的離心率，過點A（1，）.（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓C被直線截得的弦長.（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，過點作于，求直線與平面所成角的大小．（本題滿分12分）過拋物線C：y2＝4x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點，且|AB|＝8.（1）求l的方程；(2)若A關于x軸的對稱點為D，求證：直線BD過定點，并求出該點的坐標．

參考答案一．選擇題：共12小題.（每小題5分，共計60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1-6CACBCD7-12BDBACC二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.14．8.716三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統文化，提高學習熱情，某校開展“中國漢字聽寫大會”的活動為響應學校號召高二9班組建了興趣班，根據甲、乙兩人近期8次成績所得數據分別為甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙兩人成績的平均數和中位數;（2）現要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統計學的角度你認為派哪位學生參加比較合適?【答案】（1）甲、乙的平均數、中位數分別為{75，73}、{75，74}；（2）甲成績穩定.【分析】（1）應用平均值、中位數的求法，求幾個數的平均數、中位數；（2）應用方差的求法求甲、乙的方差，根據方差的大小確定選派人選.【詳解】（1）甲的平均數為=(68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位數為(72+74)÷2=73，乙的平均數為=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位數為(73+75)÷2=74.（2）甲的方差為s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+(72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)2]÷8=35.5，乙的方差為s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2]÷8=41，∵s12<s22，∴甲成績穩定.又∵=∴派甲參加比較合適.18．（12分）某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數（）與數學成績相應分數段的人數（）之比如下表所示，求數學成績在[50，90）之外的人數．分數段x：y1：12：13：44：5【解析】（1）（2）平均分為（3）數學成績在內的人數為人．數學成績在外的人數為人．19．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，、分別是、的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【解析】（1）證明：取的中點，連接、，∵、分別是、的中點，∴，且，∵，是的中點，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，平面，∴平面；（2）∵，，，∴，∴三棱錐的體積.（本題滿分12分）設橢圓的離心率，過點A（1，）.（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓C被直線截得的弦長.【解析】（1）因為，所以①，將A（1，）代入得②，又③，由①②③解得，所以橢圓的方程為；（2）弦長為（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，過點作于，求直線與平面所成角的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）60°．【解析】（1）因為底面，所以，又，所以，又，為平面內的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）解法一：由（1）可知，為二面角的平面角，所以，又，，，所以，過點作于，則平面且為中點，連接，則為直線與平面所成的角，在中，，，所以，故，所以直線與平面所成的角為60°．解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知，可得，，，，設，（），則，，，因為，，，所以，解得，所以，故，設平面的法向量為，因為，，由，得，令，則，所以為平面的一個法向量，所以，故直線與平面所成的角的正弦值為，所以直線與平面所成的角為60°．（本題滿分12分）過拋物線C：y2＝4x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點，且|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)若A關于x軸的對稱點為D，求證：直線BD過定點，并求出該點的坐標．解析：(1)易知點F的坐標為(1,0)，則直線l的方程為y＝k(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由題意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，由拋物線定義知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴eq\f(2k2＋4,k2)＝6，∴k2＝1，即k＝±1，∴直線l的方程為y＝±(x－1)．(2)由拋物線的對稱性知，D點的坐標為(x1，－y1)，直線BD的斜率kBD＝eq\f(y2＋y1,x2－x1)＝eq\f(y2＋y1,\f(y\o\al(2,2),4)－\f(y\o