會計學1D洛必達法則D泰勒公式2洛必達(1661–1704)

法國數(shù)學家,出生于貴族，當過軍官，因視力不好退役了，他在15歲時就解決了帕斯卡提出的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書。他是萊布尼茲的忠實信徒，他著有《無窮小分析》(1696),這是一本較系統(tǒng)的微積分書，并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達法則”。第1頁/共26頁3例如,定義：如果當（或）時，或兩個函數(shù)與都趨于零或趨于無窮大，那么極限可能存在，通常把這種極限稱為也可能不存在，型未定式.型第2頁/共26頁4存在(或為)定理1.(洛必達法則)定義：這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.第3頁/共26頁5(

在x,a

之間)證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取在以x,a為端點的區(qū)間上滿足柯故定理條件:

西定理條件,存在(或為)第4頁/共26頁6存在(或為)定理1.(洛必達法則)推論1.定理1中換為之一,推論2.若條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.第5頁/共26頁7解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達法則!例1.

用羅比達法則時必須檢驗是否為未定式P136例2第6頁/共26頁8解:原式思考:

如何求(n

為正整數(shù))?例2.P136例4第7頁/共26頁9解:例3.求注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法,但與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.常用的有等價無窮小代換,重要極限,變量代換,極限的運算法則等.P138例10第8頁/共26頁10例4.求解:盡量使用無窮小的代換和重要極限，說明：可以簡化計算.第9頁/共26頁11定理2.若(洛必達法則)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.存在(或為)注意：想用洛必達法則之前應(yīng)先：(1)檢查極限的類型是否為(2)為使極限計算簡單,應(yīng)結(jié)合以前的方法化簡函數(shù),如等價無窮小代換、四則法則、變量代換等.第10頁/共26頁12解:原式例5.例6.

求解:原式例5、例6說明：但它們趨于無窮大的“快慢”程度不一樣.指數(shù)函數(shù)最快,冪函數(shù)次之,對數(shù)函數(shù)最慢.三者相比,P136例5,6第11頁/共26頁13例7.解:P139T1(8)則原式=解:例8.

求非零因子要及時分離出來第12頁/共26頁14練習：下列各式正確運用洛必達法則求極限的是()第13頁/共26頁15將其它類型的未定式化為洛必達法則可解決的關(guān)鍵:類型例9.

求解:

原式步驟:或二、其他未定式:P137例7第14頁/共26頁16步驟:即通分解:

原式例10.

求例11.解：P138例8第15頁/共26頁17步驟:用對數(shù)恒等式例12.

求解:例13.解：P138例9第16頁/共26頁18解：例14.P183T10(3)第17頁/共26頁19注意：1)條件充分但不必要.洛必達法則的使用是有條件的.例如,極限不存在也不是無窮大2)對有些極限失效(1)對數(shù)列極限失效.對數(shù)列極限的未定式,若想用洛必達法則,應(yīng)先用定理:第18頁/共26頁20不存在時失效.(3)有時出現(xiàn)循環(huán)，這時羅比達法則失效.如：事實上：(4)有時會越用越復雜,這時不必用羅比達法,則應(yīng)先用其它方法.如：第19頁/共26頁21洛必達法則適用于：內(nèi)容小結(jié)溫馨提示：

洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法,但與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.常用的有等價無窮小代換、重要極限、變量代換,極限的運算法則等.第20頁/共26頁22泰勒中值定理：其中：(1)第三節(jié)泰勒(Taylor)中值定理把(1)式稱為函數(shù)(2)把(2)式稱為第21頁/共26頁23注意:3.余項：叫Lagrange型余項.叫皮亞諾(Peano)余項.第22頁/共26頁244.特例:(1)當n=0時，泰勒公式即為拉格朗日中值公式.故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有(2)在泰勒公式中若取

5.函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)無窮小的一種精細分析,也是在無窮小鄰域?qū)⒊竭\算轉(zhuǎn)化為整冪運算的手段,從而可將無理或超越函數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為有理式的運算,大大簡化計算.第23頁/共26頁25解:代入公式,得:由此可知：P142例1第24頁/共26頁26其中：