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會計學1D梯及其與方向導數的關系方向導數公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:f的最大變化率之值方向導數取最大值：當與的方向一致時，第1頁/共20頁1.定義即其中稱為向量微分算子或Nabla算子.設函數則稱向量在點可微，為函數f(gradient),在點

處的梯度向量，簡稱梯度記作第2頁/共20頁其中稱為向量微分算子或Nabla算子.它本身沒有意義，將作用于函數f就得到一向量，即同樣可定義二元函數在點處的梯度第3頁/共20頁注：1.方向導數可以表示成：2.若記，則利用梯度可將f在點x處的全微分寫成：方向導數公式第4頁/共20頁例1.求二元函數在點P（-1，1）處沿方向的方向導數，并指出u在該點沿哪個方向的方向導數最大？這個最大的方向導數值是多少？u沿哪個方向減小的最快？沿著哪個方向u的值不變化？解：第5頁/共20頁(1)方向導數取最大值的方向即梯度方向，其單位向，方向導數的最大值為u沿梯度的負向即的方向減小的最快。量為(2)(3)下面求使u的變化率為零的方向.令則：令得，此時u的值不變化。第6頁/共20頁例2.設函數解:(1)點P處切平面的法向量為在點P(1,1,1)處的切平面方程.故所求切平面方程為即(2)求函數f在點P(1,1,1)沿增加最快方向的方向導數.求等值面(2)函數f在點P處增加最快的方向為沿此方向的方向導數為思考:

f在點P處沿什么方向變化率為0?注意:

對三元函數,與垂直的方向有無窮多第7頁/共20頁2.梯度的運算法則第8頁/共20頁證明：設由一元函數的鏈式法則，有第9頁/共20頁例3.證:試證處矢徑r的模,第10頁/共20頁例4.已知位于坐標原點的點電荷q

在任意點試證證:利用例3的結果這說明場強:處所產生的電勢為垂直于等勢面,且指向電勢減少的方向.第11頁/共20頁二、高階偏導數1.定義如果n元函數的偏導函數在點對變量的偏導數存在，則稱這個偏導數為f在點先對變量再對變量的二階偏導數，記為：或或其中第12頁/共20頁例如：二元函數z=f(x,y)的二階偏導數共有四個，按求導順序不同,有其中和為二階混合偏導數。第13頁/共20頁類似可以定義更高階的偏導數.例如，z=f(x,y)關于x的三階偏導數為z=f(x,y)關于x的n–1階偏導數,再關于y

的一階偏導數為二階以上的偏導數統稱為高階偏導數。第14頁/共20頁例5.求函數解

:注意:此處但這一結論并不總成立.的二階偏導數及第15頁/共20頁反例：二者不等第16頁/共20頁則定理.例如,對三元函數u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數的高階混合導數也成立.函數在其定義區域內是連續的,故求初等函數的高階導數可以選擇方便的求導順序.因為初等函數的偏導數仍為初等函數,當三階混合偏導數在點(x,y,z)連續時,有而初等(證明略)證明第1

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