2022年黑龍江省牡丹江市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.若x→x0時，α(x)、β(x)都是無窮小(β(x)≠0)，則x→x0時，α(x)/β(x)A.A.為無窮小B.為無窮大C.不存在，也不是無窮大D.為不定型

2.當x→0時，x是ln(1+x2)的

A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小

3.。A.2B.1C.-1/2D.0

4.設y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

5.

6.設∫0xf(t)dt=xsinx，則f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

7.

8.()A.A.

B.

C.

D.

9.設函數y=f(x)二階可導，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

10.

11.A.A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判定斂散性12.設()A.1B.-1C.0D.2

13.

14.A.0B.1C.2D.任意值

15.

16.在空間直角坐標系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.兩個平面B.雙曲柱面C.橢圓柱面D.圓柱面17.A.2xy+3+2yB.xy+3+2yC.2xy+3D.xy+318.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

19.

20.當x→0時，2x+x2是x的A.A.等價無窮小B.較低階無窮小C.較高階無窮小D.同階但不等價的無窮小21.A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

22.

23.設f'(x)在點x0的某鄰域內存在，且f(x0)為f(x)的極大值，則等于()．A.A.2B.1C.0D.-224.

25.若f(x)<0，(a＜z≤b)且f(b)<0，則在(a，b)內()。A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.f(x)符號不定26.設曲線y=x-ex在點(0，-1)處與直線l相切，則直線l的斜率為()．A.A.∞B.1C.0D.-127.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

28.

29.

A.x=-2B.x=2C.y=1D.y=-2

30.為了提高混凝土的抗拉強度，可在梁中配置鋼筋。若矩形截面梁的彎矩圖如圖所示，梁中鋼筋(圖中虛線所示)配置最為合理的是()。

A.

B.

C.

D.

31.點(-1，-2，-5)關于yOz平面的對稱點是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)32.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.133.微分方程y''-7y'+12y=0的通解為（）A.y=C1e3x+C2e-4x

B.y=C1e-3x+C2e4x

C.y=C1e3x+C2e4x

D.y=C1e-3x+C2e-4x

34.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

35.

36.

37.設在點x=1處連續，則a等于()。A.-1B.0C.1D.238.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

39.

40.

41.A.3B.2C.1D.0

42.

43.設y=cos4x，則dy=（）。A.

B.

C.

D.

44.

45.A.A.Ax

B.

C.

D.

46.函數y=sinx在區間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于（）。A.0

B.

C.

D.π

47.

48.

49.

50.設函數f(x)在區間[0，1]上可導，且f(x)＞0，則()

A.f(1)＞f(0)B.f(1)＜f(0)C.f(1)=f(0)D.f(1)與f(0)的值不能比較二、填空題(20題)51.

52.

53.

54.

55.

56.曲線y=2x2-x+1在點(1，2)處的切線方程為__________。

57.設函數y=x2+sinx，則dy______．

58.

59.

60.

61.微分方程y'-2y=3的通解為__________。

62.

63.設y=cosx，則y'=______

64.

65.

66.67.68.y=ln(1+x2)的單調增加區間為______．

69.

70.

三、計算題(20題)71.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．72.73.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．74.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．75.求微分方程的通解．

76.

77.

78.

79.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

80.81.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．82.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

83.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

84.

85.

86.求曲線在點(1，3)處的切線方程．87.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．88.證明：89.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則90.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答題(10題)91.將函數f(x)=lnx展開成(x-1)的冪級數，并指出收斂區間。

92.(本題滿分10分)將f(x)＝ln(1＋x2)展開為x的冪級數．

93.

94.(本題滿分10分)設F(x)為f(x)的－個原函數，且f(x)＝xlnx，求F(x)．

95.

96.

97.

98.

99.

100.計算五、高等數學(0題)101.F(x)是f(x)的一個原函數，c為正數，則∫f(x)dx=()。

A.

B.F(x)+c

C.F(x)+sinc

D.F(x)+lnc

六、解答題(0題)102.

參考答案

1.D

2.D解析：

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A解析：

8.A

9.B

10.B

11.C

12.A

13.B

14.B

15.C

16.A

17.C本題考查了一階偏導數的知識點。

18.D

19.C

20.D

21.C本題考查了二重積分的積分區域的表示的知識點.

22.D解析：

23.C本題考查的知識點為極值的必要條件；在一點導數的定義．

由于f(x0)為f(x)的極大值，且f'(x0)存在，由極值的必要條件可知f'(x0)=0．從而

可知應選C．

24.D

25.D∵f"(x)＜0，(a＜x≤b)．∴(x)單調減少(a＜x≤b)當f(b)<0時，f(x)可能大于0也可能小于0。

26.C本題考查的知識點為導數的幾何意義．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由導數的幾何意義可知，曲線y=x-ex在點(0，-1)處切線斜率為0，因此選C．

27.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

28.A

29.C解析：

30.D

31.D關于yOz平面對稱的兩點的橫坐標互為相反數，故選D。

32.C本題考查的知識點為定積分的運算。

故應選C。

33.C因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程為r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解為：y=C1e3x+C2e4x

34.B如果y1，y2這兩個特解是線性無關的，即≠C，則C1y1+C2y2是其方程的通解。現在題設中沒有指出是否線性無關，所以可能是通解，也可能不是通解，故選B。

35.D

36.B解析：

37.C本題考查的知識點為函數連續性的概念。

由于y為分段函數，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續性應該利用左連續與右連續的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

38.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

39.C

40.D

41.A

42.A

43.B

44.C解析：

45.D

46.C本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結論。

47.B解析：

48.C

49.A

50.A由f"(x)＞0說明f(x)在[0，1]上是增函數，因為1＞0，所以f(1)＞f(0)。故選A。

51.

52.

53.

本題考查的知識點為不定積分的換元積分法．

54.(01]

55.

56.y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)57.(2x+cosx)dx；本題考查的知識點為微分運算．

解法1利用dy=y'dx．由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx，

可知dy=(2x+cosx)dx．

解法2利用微分運算法則dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx．

58.3

59.

60.

61.y=Ce2x-3/2

62.

63.-sinx

64.

65.

解析：66.e-1/2

67.68.(0，+∞)本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于y=ln(1+x2)，其定義域為(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一駐點x=0．

當x＞0時，總有y'＞0，從而y單調增加．

可知y=ln(1+x2)的單調增加區間為(0，+∞)．

69.

70.

71.

72.

73.

列表：

說明

74.

75.

76.77.由一階線性微分方程通解公式有

78.

79.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

80.

81.82.函數的定義域為

注意

83.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

84.

85.

則

86.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處