2022年遼寧省鞍山市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.級數(k為非零正常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

2.

3.

A.2B.1C.1/2D.0

4.方程y＋2y＋y=0的通解為

A.c1＋c2e-x

B.e-x(c1＋C2x)

C.c1e-x

D.c1e-x＋c2ex

5.函數y=ex+arctanx在區間[-1,1]上

A.單調減少B.單調增加C.無最大值D.無最小值

6.設函數f(x)滿足f'(sin2x=cos2x，且f(0)=0，則f(x)=（）A.

B.

C.

D.

7.

8.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

9.點M(4，-3，5)到Ox軸的距離d=()A.A.

B.

C.

D.

10.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

11.

12.

13.

14.

15.A.A.1/2B.1C.2D.e

16.

17.下面選項中，不屬于牛頓動力學基礎中的定律的是()。

A.慣性定律：無外力作用時，質點將保持原來的運動狀態(靜止或勻速直線運動狀態)

B.運動定律：質點因受外力作用而產生的加速度，其方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比

C.作用與反作用定律：兩個物體問的作用力，總是大小相等，方向相反，作用線重合，并分別作用在這兩個物體上

D.剛化定律：變形體在某一力系作用下，處于平衡狀態時，若假想將其剛化為剛體，則其平衡狀態保持不變

18.

19.

20.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解二、填空題(20題)21.設y=cosx，則y"=________。

22.

23.24.

25.26.27.

28.______。

29.微分方程y"-y'=0的通解為______．

30.

31.

32.

33.

34.設函數y=x3，則y'=________.

35.設，則y'=________。

36.

37.38.設函數y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1確定，則y'=______．39.

40.

三、計算題(20題)41.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．42.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．43.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

44.

45.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．46.求曲線在點(1，3)處的切線方程．47.48.49.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則50.求微分方程的通解．

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

53.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．54.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．55.56.

57.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．58.證明：59.

60.

四、解答題(10題)61.62.

63.

64.求垂直于直線2x-6y+1=0且與曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程．65.求微分方程xy'-y=x2的通解．

66.

67.

68.計算

69.70.五、高等數學(0題)71.F(x)是f(x)的一個原函數，c為正數，則∫f(x)dx=()。

A.

B.F(x)+c

C.F(x)+sinc

D.F(x)+lnc

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性．

由于收斂，可知所給級數絕對收斂．

2.B解析：

3.D本題考查的知識點為重要極限公式與無窮小量的性質．

4.B

5.B本題考查了函數的單調性的知識點，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0處處成立,于是函數在(-∞,+∞)內都是單調增加的，故在[-1,1]上單調增加。

6.D

7.C

8.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

9.B

10.C

11.B

12.B

13.A

14.A

15.C

16.D

17.D

18.C解析：

19.A

20.B如果y1，y2這兩個特解是線性無關的，即≠C，則C1y1+C2y2是其方程的通解。現在題設中沒有指出是否線性無關，所以可能是通解，也可能不是通解，故選B。

21.-cosx

22.23.1；本題考查的知識點為導數的計算．

24.本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．所給級數為缺項情形，由于

25.

26.27.由可變上限積分求導公式可知28.本題考查的知識點為極限運算。

所求極限的表達式為分式，其分母的極限不為零。

因此

29.y=C1+C2exy=C1+C2ex

解析：本題考查的知識點為二階級常系數線性微分方程的求解．

特征方程為r2-r=0，

特征根為r1=0，r2=1，

方程的通解為y=C1+C2ex．

30.1/61/6解析：

31.

32.

33.

本題考查的知識點為二重積分的性質．

34.3x2本題考查了函數的導數的知識點。因為y=x3，所以y'=3x2

35.

36.0

37.

38.

；本題考查的知識點為隱函數的求導．

將x2y+y2x+2y=1兩端關于x求導，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

39.

40.2/32/3解析：

41.

42.

43.

44.

45.

46.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

47.

48.

49.由等價無窮小量的定義可知

50.

51.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

52.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

53.

列表：

說明

54.函數的定義域為

注意

55.

56.

則

57.由二重積分物理意義知

58.

59.由一階線性微分方程通解公式有

60.

61.

62.

63.64.由于直線2x-6y+1=0的斜率k=1/3，與其垂直的直線的斜率k1=-1/k=-3．對于y=x3+3x25，y'=3x2+6x．由題意應有3x2+6x=-3，因此x2+2x+1=0，x=-1，此時y=(-1)3+3(-1)2-5=-3．即切點為(-1，-3)．切線方程為y+3=-3(x+1)，或寫為3x+y+6=0．本題考查的知識點為求曲線的切線方程．

求曲線y=f(x，y)的切線方程，通常要找出切點及函數在切點處的導數值．所給問題沒有給出切點，因此依已給條件找出切點是首要