2022年湖南省長沙市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

3.A.

B.

C.

D.

4.A.等價無窮小

B.f(x)是比g(x)高階無窮小

C.f(x)是比g(x)低階無窮小

D.f(x)與g(x)是同階但非等價無窮小

5.

6.函數f(x)=lnz在區間[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

7.

8.設函數f(x)在區間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量9.設f(x)為連續函數，則等于()．A.A.f(x2)B.x2f(x2)C.xf(x2)D.2xf(x2)

10.

11.當x→0時，2x+x2與x2比較是A.A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價無窮小D.等價無窮小

12.下列反常積分收斂的是（）。

A.

B.

C.

D.

13.f(x)在[a，b]上連續是f(x)在[a，b]上有界的()條件。A.充分B.必要C.充要D.非充分也非必要14.A.A.0

B.

C.

D.∞

15.設f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

16.設函數f(x)=2sinx，則f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

17.若級數在x=-1處收斂，則此級數在x=2處

A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.不能確定

18.

19.微分方程y''-7y'+12y=0的通解為（）A.y=C1e3x+C2e-4x

B.y=C1e-3x+C2e4x

C.y=C1e3x+C2e4x

D.y=C1e-3x+C2e-4x

20.

二、填空題(20題)21.22.23.

24.

25.

26.

27.

28.設函數x=3x+y2,則dz=___________

29.

30.設，且k為常數，則k=______．31.

32.

33.二階常系數線性微分方程y-4y＋4y=0的通解為__________．

34.

35.

36.設y=f(x)可導，點xo=2為f(x)的極小值點，且f(2)=3．則曲線y=f(x)在點(2，3)處的切線方程為__________．

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.

43.證明：44.求微分方程的通解．45.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則46.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．47.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

48.

49.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

50.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．51.52.53.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．54.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

56.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．57.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．58.

59.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.

四、解答題(10題)61.設y=sinx/x，求y'。

62.

63.

64.求由曲線y2=(x-1)3和直線x=2所圍成的圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積.

65.求fe-2xdx。

66.

67.

68.

69.

70.五、高等數學(0題)71.∫f(x)dx=F(x)+則∫c-xf(e-x)dx=__________。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A解析：

2.D

3.B

4.D

5.A

6.D由拉格朗日定理

7.A

8.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

9.D解析：

10.A

11.B

12.D

13.A定理：閉區間上的連續函數必有界；反之不一定。

14.A本題考查的知識點為“有界變量與無窮小量的乘積為無窮小量”的性質．這表明計算時應該注意問題中的所給條件．

15.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質。由于所給定積分的積分區間為對稱區間，被積函數f(x)=x3+x為連續的奇函數。由定積分的對稱性質可知

可知應選A。

16.B本題考查的知識點為導數的運算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知應選B．

17.C由題意知，級數收斂半徑R≥2，則x=2在收斂域內部，故其為絕對收斂.

18.C解析：

19.C因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程為r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解為：y=C1e3x+C2e4x

20.A21.1．

本題考查的知識點為二元函數的極值．

可知點(0，0)為z的極小值點，極小值為1．

22.23.1

24.2/5

25.

26.-2-2解析：

27.

28.

29.

30.本題考查的知識點為廣義積分的計算．

31.

32.

33.

34.2

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

則

42.由一階線性微分方程通解公式有

43.

44.45.由等價無窮小量的定義可知

46.47.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.

49.

50.

51.

52.

53.函數的定義域為

注意

54.由二重積分物理意義知

55.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

56.

57.

列表：

說明

58.

59.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25