等差數列的概念及通項公式.1+2+3+···+100=?

高斯(1777—1855）德國著名數學家

得到數列1，2，3，4，…，100.引例一

.姚明剛進NBA一周訓練罰球的個數：第一天：3000，第二天：3500，第三天：4000，第四天：4500，第五天：5000，第六天：5500，第七天：6000.

得到數列：3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.引例二

.一個梯子共8級，自下而上每一級的寬度（單位：cm）為：89,83,77,71,65,59,53,47.得到數列：89,83,77,71,65,59,53,47.引例三.

姚明罰球個數的數列：

②3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.

梯子寬度的數列：

③89,83,77,71,65,59,53,47.發現？觀察：以上數列有什么共同特點？從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一常數。高斯計算的數列：①1，2，3，4，…，100.觀察歸納

.

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。

遞推公式：an－an－1=d（d是常數，n≥2，n∈N*）等差數列定義②3000，3500，4000，4500，5000，5500,6000；公差d=1公差d=500①1，2，3,…,100；③89,83,77,71,65,59,53,47；公差d=-6.2、常數列a，a，a，…是否為等差數列?若是，則公差是多少?若不是，說明理由

想一想公差是0

3、數列0，1，0，1，0，1是否為等差數列?若是，則公差是多少?若不是，說明理由

不是

公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0

1、數列6，4，2，0,-2,-4…是否為等差數列？若是，則公差是多少?若不是，說明理由

公差是-2.a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=d……a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)d……an=a1+(n-1)d等差數列的通項公式當n=1時，等式也成立。

由遞推公式：an－an－1=d（d是常數，n≥2，n∈N*）可得:通項公式

已知等差數列｛an｝的首項是a1，公差是d.

已知等差數列｛an｝的首項是a1，公差是da2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1）（2）（3）（n-1）通項公式

累加法an=a1+（n-1）d即

由遞推公式：an－an－1=d（d是常數，n≥2，n∈N*）.在等差數列a,A,b中,A與a,b有什么關系？A-a=b-A解:依題得,所以,A=(a+b)/2A為a,b的等差中項

新概念.

例1（1）求等差數列8，5，2，…的第20項（2）－401是不是等差數列－5，－9，－13，…的項？如果是，是第幾項？解：（1）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=(2)由a1=8,d=－9－(－5)=－4,得到這個數列的通項公式為an=－5－4（n－1）由題意知，問是否存在正整數n，使得－401＝－5－4（n－1）成立解關于n的方程，得n＝100即－401是這個數列的第100項.8+(20-1)×（－3）=-49例題講解.例2在等差數列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.解：由題意知，a5=10＝a1+4da12=31＝a1+11d解得:a1=-2d=3即等差數列的首項為-2,公差為3.點評：利用通項公式轉化成首項和公差聯立方程求解..例３

梯子共有5級,從上往下數第1級寬34cm，第5級寬110cm，且各級的寬度依次組成等差數列{an}，求第2,3,4級的寬度．.①求基本量a1和d

：根據已知條件列方程，由此解出a1和d，

再代入通項公式.②像這樣根據已知量和未知量之間的關系，

列出方程求解的思想方法，稱方程思想.

這是數學中的常用思想方法之一.題后點評③巧妙借助等差中項，求解等差數列中間項問題.注重對方法技巧性的掌握..(1)已知a4=10,a7=19,求a1與d.在等差數列{an}中，(2)已知a3=9,a9=3,求d與a12.解：(1)由題意知，a4=10＝a1+3da7=19＝a1+6d解得:a1=11d=3即等差數列的首項為1,公差為3(2)由題意知，a3=9＝a1+2da9=3＝a1+8d解得:a1=1d=-1所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

練一練.

我國古代算書《孫子算經》卷中第25題記有：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆。人分加三顆。問：五人各得幾何？”古題今解分析：此題已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3，∴a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,∴a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18

即為五等諸侯分到橘子的顆數。點評：解等差數列有關問題時轉化為a1和d是常用的基本方法..一個定義：a