年全國統一高考數學試卷〔理科〕〔新課標〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕復數的共軛復數是〔〕A． B． C．﹣i D．i2．〔5分〕以下函數中，既是偶函數又在〔0，+∞〕上單調遞增的函數是〔〕A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|3．〔5分〕執行如圖的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是〔〕A．120 B．720 C．1440 D．50404．〔5分〕有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，那么這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為〔〕A． B． C． D．5．〔5分〕角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，那么cos2θ=〔〕A．﹣ B．﹣ C． D．6．〔5分〕在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下列圖，那么相應的側視圖可以為〔〕A． B． C． D．7．〔5分〕設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，那么C的離心率為〔〕A． B． C．2 D．38．〔5分〕的展開式中各項系數的和為2，那么該展開式中常數項為〔〕A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．409．〔5分〕由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為〔〕A． B．4 C． D．610．〔5分〕與均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個命題P1：|+|＞1?θ∈[0，〕；P2：|+|＞1?θ∈〔，π]；P3：|﹣|＞1?θ∈[0，〕；P4：|﹣|＞1?θ∈〔，π]；其中的真命題是〔〕A．P1，P4 B．P1，P3 C．P2，P3 D．P2，P411．〔5分〕設函數f〔x〕=sin〔ωx+φ〕+cos〔ωx+φ〕的最小正周期為π，且f〔﹣x〕=f〔x〕，那么〔〕A．f〔x〕在單調遞減 B．f〔x〕在〔，〕單調遞減C．f〔x〕在〔0，〕單調遞增 D．f〔x〕在〔，〕單調遞增12．〔5分〕函數y=的圖象與函數y=2sinπx〔﹣2≤x≤4〕的圖象所有交點的橫坐標之和等于〔〕A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕假設變量x，y滿足約束條件那么z=x+2y的最小值為．14．〔5分〕在平面直角坐標系xOy，橢圓C的中心為原點，焦點F1F2在x軸上，離心率為．過Fl的直線交于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為．15．〔5分〕矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，那么棱錐O﹣ABCD的體積為．16．〔5分〕在△ABC中，B=60°，AC=，那么AB+2BC的最大值為．三、解答題〔共8小題，總分值70分〕17．〔12分〕等比數列{an}的各項均為正數，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，〔Ⅰ〕求數列{an}的通項公式；〔Ⅱ〕設bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數列{}的前n項和．18．〔12分〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．〔Ⅰ〕證明：PA⊥BD；〔Ⅱ〕假設PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．〔12分〕某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大說明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品，現用兩種新配方〔分別稱為A配方和B配方〕做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數412423210〔Ⅰ〕分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；〔Ⅱ〕用B配方生成的一件產品的利潤y〔單位：元〕與其質量指標值t的關系式為y=從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X〔單位：元〕，求X的分布列及數學期望．〔以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率〕20．〔12分〕在平面直角坐標系xOy中，點A〔0，﹣1〕，B點在直線y=﹣3上，M點滿足∥，=?，M點的軌跡為曲線C．〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值．21．〔12分〕函數f〔x〕=+，曲線y=f〔x〕在點〔1，f〔1〕〕處的切線方程為x+2y﹣3=0．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕如果當x＞0，且x≠1時，f〔x〕＞+，求k的取值范圍．22．〔10分〕如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合．AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根．〔Ⅰ〕證明：C，B，D，E四點共圓；〔Ⅱ〕假設∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．23．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為〔α為參數〕M是C1上的動點，P點滿足=2，P點的軌跡為曲線C2〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|．24．設函數f〔x〕=|x﹣a|+3x，其中a＞0．〔Ⅰ〕當a=1時，求不等式f〔x〕≥3x+2的解集〔Ⅱ〕假設不等式f〔x〕≤0的解集為{x|x≤﹣1}，求a的值．2023年全國統一高考數學試卷〔理科〕〔新課標〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕〔2023?新課標〕復數的共軛復數是〔〕A． B． C．﹣i D．i【分析】復數的分子、分母同乘分母的共軛復數，復數化簡為a+bi〔a，b∈R〕的形式，然后求出共軛復數，即可．【解答】解：復數===i，它的共軛復數為：﹣i．應選C2．〔5分〕〔2023?新課標〕以下函數中，既是偶函數又在〔0，+∞〕上單調遞增的函數是〔〕A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|【分析】由函數的奇偶性和單調性的定義和性質，對選項一一加以判斷，即可得到既是偶函數又在〔0，+∞〕上單調遞增的函數．【解答】解：對于A．y=2x3，由f〔﹣x〕=﹣2x3=﹣f〔x〕，為奇函數，故排除A；對于B．y=|x|+1，由f〔﹣x〕=|﹣x|+1=f〔x〕，為偶函數，當x＞0時，y=x+1，是增函數，故B正確；對于C．y=﹣x2+4，有f〔﹣x〕=f〔x〕，是偶函數，但x＞0時為減函數，故排除C；對于D．y=2﹣|x|，有f〔﹣x〕=f〔x〕，是偶函數，當x＞0時，y=2﹣x，為減函數，故排除D．應選B．3．〔5分〕〔2023?新課標〕執行如圖的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是〔〕A．120 B．720 C．1440 D．5040【分析】執行程序框圖，寫出每次循環p，k的值，當k＜N不成立時輸出p的值即可．【解答】解：執行程序框圖，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N成立，有k=2P=2，k＜N成立，有k=3P=6，k＜N成立，有k=4P=24，k＜N成立，有k=5P=120，k＜N成立，有k=6P=720，k＜N不成立，輸出p的值為720．應選：B．4．〔5分〕〔2023?新課標〕有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，那么這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為〔〕A． B． C． D．【分析】此題是一個古典概型，試驗發生包含的事件數是3×3種結果，滿足條件的事件是這兩位同學參加同一個興趣小組有3種結果，根據古典概型概率公式得到結果．【解答】解：由題意知此題是一個古典概型，試驗發生包含的事件數是3×3=9種結果，滿足條件的事件是這兩位同學參加同一個興趣小組，由于共有三個小組，那么有3種結果，根據古典概型概率公式得到P=，應選A．5．〔5分〕〔2023?新課標〕角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，那么cos2θ=〔〕A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】根據直線的斜率等于傾斜角的正切值，由直線的斜率得到tanθ的值，然后根據同角三角函數間的根本關系求出cosθ的平方，然后根據二倍角的余弦函數公式把所求的式子化簡后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根據題意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，那么cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．應選：B．6．〔5分〕〔2023?新課標〕在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下列圖，那么相應的側視圖可以為〔〕A． B． C． D．【分析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，根據組合體的結構特征，得到組合體的側視圖．【解答】解：由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，∴側視圖是一個中間有分界線的三角形，應選D．7．〔5分〕〔2023?新課標〕設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，那么C的離心率為〔〕A． B． C．2 D．3【分析】不妨設雙曲線C：，焦點F〔﹣c，0〕，由題設知，，由此能夠推導出C的離心率．【解答】解：不妨設雙曲線C：，焦點F〔﹣c，0〕，對稱軸y=0，由題設知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．應選B．8．〔5分〕〔2023?新課標〕的展開式中各項系數的和為2，那么該展開式中常數項為〔〕A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【分析】給x賦值1求出各項系數和，列出方程求出a；將問題轉化為二項式的系數和；利用二項展開式的通項公式求出通項，求出特定項的系數．【解答】解：令二項式中的x為1得到展開式的各項系數和為1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展開式中常數項為的的系數和∵展開式的通項為Tr+1=〔﹣1〕r25﹣rC5rx5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展開式中常數項為8C52﹣4C53=40應選D9．〔5分〕〔2023?新課標〕由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為〔〕A． B．4 C． D．6【分析】利用定積分知識求解該區域面積是解決此題的關鍵，要確定出曲線y=，直線y=x﹣2的交點，確定出積分區間和被積函數，利用導數和積分的關系完成此題的求解．【解答】解：聯立方程得到兩曲線的交點〔4，2〕，因此曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為：S=．應選C．10．〔5分〕〔2023?新課標〕與均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個命題P1：|+|＞1?θ∈[0，〕；P2：|+|＞1?θ∈〔，π]；P3：|﹣|＞1?θ∈[0，〕；P4：|﹣|＞1?θ∈〔，π]；其中的真命題是〔〕A．P1，P4 B．P1，P3 C．P2，P3 D．P2，P4【分析】利用向量長度與向量數量積之間的關系進行轉化求解是解決此題的關鍵，要列出關于夾角的不等式，通過求解不等式得出向量夾角的范圍．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈〔，π]，故P3錯誤，P4正確．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，〕，故P2錯誤，P1正確．應選A．11．〔5分〕〔2023?新課標〕設函數f〔x〕=sin〔ωx+φ〕+cos〔ωx+φ〕的最小正周期為π，且f〔﹣x〕=f〔x〕，那么〔〕A．f〔x〕在單調遞減 B．f〔x〕在〔，〕單調遞減C．f〔x〕在〔0，〕單調遞增 D．f〔x〕在〔，〕單調遞增【分析】利用輔助角公式將函數表達式進行化簡，根據周期與ω的關系確定出ω的值，根據函數的偶函數性質確定出φ的值，再對各個選項進行考查篩選．【解答】解：由于f〔x〕=sin〔ωx+?〕+cos〔ωx+?〕=，由于該函數的最小正周期為T=，得出ω=2，又根據f〔﹣x〕=f〔x〕，得φ+=+kπ〔k∈Z〕，以及|φ|＜，得出φ=．因此，f〔x〕=cos2x，假設x∈，那么2x∈〔0，π〕，從而f〔x〕在單調遞減，假設x∈〔，〕，那么2x∈〔，〕，該區間不為余弦函數的單調區間，故B，C，D都錯，A正確．應選A．12．〔5分〕〔2023?新課標〕函數y=的圖象與函數y=2sinπx〔﹣2≤x≤4〕的圖象所有交點的橫坐標之和等于〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【分析】的圖象由奇函數的圖象向右平移1個單位而得，所以它的圖象關于點〔1，0〕中心對稱，再由正弦函數的對稱中心公式，可得函數y2=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點〔1，0〕，故交點個數為偶數，且每一對對稱點的橫坐標之和為2．由此不難得到正確答案．【解答】解：函數，y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心〔1，0〕，作出兩個函數的圖象如圖當1＜x≤4時，y1＜0而函數y2在〔1，4〕上出現1.5個周期的圖象，在和上是減函數；在和上是增函數．∴函數y1在〔1，4〕上函數值為負數，且與y2的圖象有四個交點E、F、G、H相應地，y1在〔﹣2，1〕上函數值為正數，且與y2的圖象有四個交點A、B、C、D且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標之和為8應選D二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕〔2023?新課標〕假設變量x，y滿足約束條件那么z=x+2y的最小值為﹣6．【分析】在坐標系中畫出約束條件的可行域，得到的圖形是一個平行四邊形，把目標函數z=x+2y變化為y=﹣x+，當直線沿著y軸向上移動時，z的值隨著增大，當直線過A點時，z取到最小值，求出兩條直線的交點坐標，代入目標函數得到最小值．【解答】解：在坐標系中畫出約束條件的可行域，得到的圖形是一個平行四邊形，目標函數z=x+2y，變化為y=﹣x+，當直線沿著y軸向上移動時，z的值隨著增大，當直線過A點時，z取到最小值，由y=x﹣9與2x+y=3的交點得到A〔4，﹣5〕∴z=4+2〔﹣5〕=﹣6故答案為：﹣6．14．〔5分〕〔2023?新課標〕在平面直角坐標系xOy，橢圓C的中心為原點，焦點F1F2在x軸上，離心率為．過Fl的直線交于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為+=1．【分析】根據題意，△ABF2的周長為16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，結合橢圓的定義，有4a=16，即可得a的值；又由橢圓的離心率，可得c的值，進而可得b的值；由橢圓的焦點在x軸上，可得橢圓的方程．【解答】解：根據題意，△ABF2的周長為16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根據橢圓的性質，有4a=16，即a=4；橢圓的離心率為，即=，那么a=c，將a=c，代入可得，c=2，那么b2=a2﹣c2=8；那么橢圓的方程為+=1；故答案為：+=1．15．〔5分〕〔2023?新課標〕矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，那么棱錐O﹣ABCD的體積為8．【分析】由題意求出矩形的對角線的長，結合球的半徑，球心到矩形的距離，滿足勾股定理，求出棱錐的高，即可求出棱錐的體積．【解答】解：矩形的對角線的長為：，所以球心到矩形的距離為：=2，所以棱錐O﹣ABCD的體積為：=8．故答案為：816．〔5分〕〔2023?新課標〕在△ABC中，B=60°，AC=，那么AB+2BC的最大值為2．【分析】設AB=cAC=bBC=a利用余弦定理和條件求得a和c的關系，設c+2a=m代入，利用判別大于等于0求得m的范圍，那么m的最大值可得．【解答】解：設AB=cAC=bBC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3設c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0故m≤2當m=2時，此時a=，c=符合題意因此最大值為2另解：因為B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin〔120°﹣A〕+4sinA=2〔sin120°cosA﹣cos120°sinA〕+4sinA=cosA+5sinA=2sin〔A+φ〕，〔其中sinφ=，cosφ=〕所以AB+2BC的最大值為2．故答案為：2三、解答題〔共8小題，總分值70分〕17．〔12分〕〔2023?新課標〕等比數列{an}的各項均為正數，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，〔Ⅰ〕求數列{an}的通項公式；〔Ⅱ〕設bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數列{}的前n項和．【分析】〔Ⅰ〕設出等比數列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比數列的通項公式化簡后得到關于q的方程，由等比數列的各項都為正數，得到滿足題意q的值，然后再根據等比數列的通項公式化簡2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比數列的首項，根據首項和求出的公比q寫出數列的通項公式即可；〔Ⅱ〕把〔Ⅰ〕求出數列{an}的通項公式代入設bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用對數的運算性質及等差數列的前n項和的公式化簡后，即可得到bn的通項公式，求出倒數即為的通項公式，然后根據數列的通項公式列舉出數列的各項，抵消后即可得到數列{}的前n項和．【解答】解：〔Ⅰ〕設數列{an}的公比為q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由條件可知各項均為正數，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故數列{an}的通項式為an=．〔Ⅱ〕bn=++…+=﹣〔1+2+…+n〕=﹣，故=﹣=﹣2〔﹣〕那么++…+=﹣2[〔1﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕]=﹣，所以數列{}的前n項和為﹣．18．〔12分〕〔2023?新課標〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．〔Ⅰ〕證明：PA⊥BD；〔Ⅱ〕假設PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】〔Ⅰ〕因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據線面垂直的判定定理和性質定理，可證PA⊥BD；〔Ⅱ〕建立空間直角坐標系，寫出點A，B，C，P的坐標，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可．【解答】〔Ⅰ〕證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD〔Ⅱ〕如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz，那么A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕，C〔﹣1，，0〕，P〔0，0，1〕．=〔﹣1，，0〕，=〔0，，﹣1〕，=〔﹣1，0，0〕，設平面PAB的法向量為=〔x，y，z〕，那么即，因此可取=〔，1，〕設平面PBC的法向量為=〔x，y，z〕，那么，即：可取=〔0，1，〕，cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：﹣．19．〔12分〕〔2023?新課標〕某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大說明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品，現用兩種新配方〔分別稱為A配方和B配方〕做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組[90，94〕[94，98〕[98，102〕[102，106〕[106，110]頻數412423210〔Ⅰ〕分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；〔Ⅱ〕用B配方生成的一件產品的利潤y〔單位：元〕與其質量指標值t的關系式為y=從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X〔單位：元〕，求X的分布列及數學期望．〔以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率〕【分析】〔I〕根據所給的樣本容量和兩種配方的優質的頻數，兩個求比值，得到用兩種配方的產品的優質品率的估計值．〔II〕根據題意得到變量對應的數字，結合變量對應的事件和第一問的結果寫出變量對應的概率，寫出分布列和這組數據的期望值．【解答】解：〔Ⅰ〕由試驗結果知，用A配方生產的產品中優質的頻率為∴用A配方生產的產品的優質品率的估計值為0.3．由試驗結果知，用B配方生產的產品中優質品的頻率為∴用B配方生產的產品的優質品率的估計值為0.42；〔Ⅱ〕用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區間[90，94〕，[94，102〕，[102，110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，∴P〔X=﹣2〕=0.04，P〔X=2〕=0.54，P〔X=4〕=0.42，即X的分布列為X﹣224P0.040.540.42∴X的數學期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820．〔12分〕〔2023?新課標〕在平面直角坐標系xOy中，點A〔0，﹣1〕，B點在直線y=﹣3上，M點滿足∥，=?，M點的軌跡為曲線C．〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值．【分析】〔Ⅰ〕設M〔x，y〕，由得B〔x，﹣3〕，A〔0，﹣1〕并代入∥，=?，即可求得M點的軌跡C的方程；〔Ⅱ〕設P〔x0，y0〕為C上的點，求導，寫出C在P點處的切線方程，利用點到直線的距離公式即可求得O點到l距離，然后利用根本不等式求出其最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕設M〔x，y〕，由得B〔x，﹣3〕，A〔0，﹣1〕．所=〔﹣x，﹣1﹣y〕，=〔0，﹣3﹣y〕，=〔x，﹣2〕．再由題意可知〔〕?=0，即〔﹣x，﹣4﹣2y〕?〔x，﹣2〕=0．所以曲線C的方程式為y=﹣2．〔Ⅱ〕設P〔x0，y0〕為曲線C：y=﹣2上一點，因為y′=x，所以l的斜率為x0，因此直線l的方程為y﹣y0=x0〔x﹣x0〕，即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．那么o點到l的距離d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0時取等號，所以O點到l距離的最小值為2．21．〔12分〕〔2023?新課標〕函數f〔x〕=+，曲線y=f〔x〕在點〔1，f〔1〕〕處的切線方程為x+2y﹣3=0．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕如果當x＞0，且x≠1時，f〔x〕＞+，求k的取值范圍．【分析】〔I〕求出函數的導數；利用切線方程求出切線的斜率及切點；利用函數在切點處的導數值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上，列出方程組，求出a，b值．〔II〕將不等式變形，構造新函數，求出新函數的導數，對參數k分類討論，判斷出導函數的符號，得到函數的單調性，求出函數的最值，求出參數k的范圍．【解答】解：由題意f〔1〕=1，即切點坐標是〔1，1〕〔Ⅰ〕由于直線x+2y﹣3=0的斜率為，且過點〔1，1〕，故即解得a=1，b=1．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，所以〕．考慮函數〔x＞0〕，那么．〔i〕設k≤0，由知，當x≠1時，h′〔x〕＜0．而h〔1〕=0，故當x∈〔0，1〕時，h′〔x〕＜0，可得；當x∈〔1，+∞〕時，h′〔x〕＜0，可得h〔x〕＞0從而當x＞0，且x≠1時，f〔x〕﹣〔+〕＞0，即f〔x〕＞+．〔ii〕設0＜k＜1．由于當x∈〔1，〕時，〔k﹣1〕〔x2+1〕+2x＞0，故h′〔x〕＞0，而h〔1〕=0，故當x∈〔1，〕時，h〔x〕＞0，可得h〔x〕＜0，與題設矛盾．〔iii〕設k≥1．此時h′〔x〕＞0，而h〔1〕=0，故當x∈〔1，+∞〕時，h〔x〕＞0，可得h〔x〕＜0，與題設矛盾．綜合得，k的取值范圍為〔﹣∞，0]．22．〔10分〕〔2023?新課標〕如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合．AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根．〔Ⅰ〕證明：C，B，D，E四點共圓；〔Ⅱ〕假設∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．【分析】〔I〕做出輔助線，根據所給的AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根，得到比例式，根據比例式得到三角形相似，根據相似三角形的對應角相等，得到結論．〔II〕根據所給的條件做出方程的兩個根，