2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(1)第一試(考試時間：80分鐘總分值：120分)姓名：_____________考試號：______________得分：____________一、填空題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕1.函數(shù)的值域是___________2.設a,b,c為RT△ACB的三邊長,點(m,n)在直線ax+by+c=0上.那么m2+n2的最小值是___________3.假設，且為正整數(shù)，那么4.擲6次骰子,令第次得到的數(shù)為,假設存在正整數(shù)使得的概率，其中是互質(zhì)的正整數(shù).那么=.5.點在曲線y=ex上，點在曲線y=lnx上，那么的最小值是_______6.多項式f(x)滿足：,那么_________7.四面體OABC中,∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300,那么二面角A－OC－B的平面角的余弦值是__________8.設向量滿足對任意和θ∈[0,EQ\F(π,2)],恒成立.那么實數(shù)a的取值范圍是________________.二、解答題〔本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分〕9．設數(shù)列滿足,.求證：當時,.(其中表示不超過的最大整數(shù))．10.過點作動直線交橢圓于兩個不同的點，過作橢圓的切線，兩條切線的交點為，⑴求點的軌跡方程；⑵設O為坐標原點，當四邊形的面積為4時，求直線的方程.11.假設、、，且滿足，求的最大值。2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(2)答案1.解：令sinx+cosx=t,那么t=,2sinxcosx=t2－1,關于t+1在和上均遞增,所以,或,即值域.2.解：因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2,所以m2+n2≥1,等號成立僅當mb=na且am+bn+c=0,解得(m,n)=(),所以m2+n2最小值是1.3.解：由知可能為1,3,11,33,從而解得4.解:當時，概率為;當時,，概率為；當時，，概率為；當時，，概率為；當時，，概率為；當時，概率為；故,即,從而.5.解：因曲線y=ex與y=lnx關于直線y=x對稱．所求的最小值為曲線y=ex上的點到直線y=x最小距離的兩倍,設P(x,ex)為y=ex上任意點,那么P到直線y=x的距離,因,所以,,即min=.6.解:解：用代替原式中的得：解二元一次方程組得，所以：，那么．CAOB〔分析得為一次多項式，可直接求CAOB7.解:不妨設AC⊥OC⊥BC,∠ACB=,∠AOC=∠BOC=,∠AOB=.因=即，兩端除以并注意到,即得,將=450,=300代入得,所以,.8.解:令那么,,因,所以,對任意恒成立或或?qū)θ我夂愠闪⒒?9.證明：對于任何正整數(shù)，由遞推知．由知數(shù)列遞減.又對任意,．即有,從而.于是，當時，；當時，由遞減得.故．所以，.10.解〔1〕依題意設直線方程為，與橢圓聯(lián)立得，，由得設，那么過橢圓的切線分別為……①和……②①②，并且由及得，同理，故點的軌跡方程為〔在橢圓外〕〔2〕，O到PQ的距離為，M到PQ的距離為，，四邊形的面積當時解得或，直線為或11.解:由均值不等式得,∴ABCDEFGABCDEFGM·ON2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(2)第一試(考試時間：80分鐘總分值：120分)姓名：_____________考試號：______________得分：____________一、填空題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕1、某天下午的課程表要排入物理、化學、生物和兩節(jié)自習共5節(jié)課，如果第1節(jié)不排生物，最后1節(jié)不排物理，那么不同的排課表的方法有__________種.2、函數(shù)f(x)的定義域為D，假設滿足①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在[a,b]D，使f(x)在[a,b]上的值域為[a,b]，那么y=f(x)叫做閉函數(shù)，現(xiàn)有是閉函數(shù)，那么的取值范圍是_________3、如圖，在△ABC中，,，那么過點C，以A、H為兩焦點的雙曲線的離心率為 _________4、一個單位正方形的中心和一個圓的圓心重合，并且正方形在圓的內(nèi)部，在圓上隨機選一點，那么由該點可以看到正方形的兩條完整的邊的概率為eq\f(1,2)，那么該圓的半徑為________5、有一個正四棱錐，它的底面邊長與側(cè)棱長均為，現(xiàn)用一張正方形包裝紙將其完全包住(不能裁剪紙，但可以折疊)，那么包裝紙的最小邊長應為____________．6、假設實數(shù)a,b,x,y滿足，，，那么________7、設對于任意滿足的自然數(shù)，有不等式恒成立，那么的最大值為__________8、圓周上有10個等分點，那么以這10個等分點中的四個點為頂點的凸四邊形中，梯形所占的比為_______二、解答題〔本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分〕9．正實數(shù)，設，.〔1〕當時，求的取值范圍；〔2〕假設以為三角形的兩邊，第三條邊長為構成三角形，求的取值范圍.10.數(shù)列{an}：，⑴證明：⑵求出所有的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù).11.設為正實數(shù)，且．證明：．2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(2)答案1、由容斥原理知，有種.2、在[－2,+∞)有兩不等實根．設，那么在[0,+∞)有兩個不等實數(shù)根，那么且解得．3、取AB的中點D,那么,由得,即.故△ABC的底邊AB上的高線與中線重合.從而△ABC是等腰三角形.AC=BC.由知,.由,知,，那么.在Rt△ACH中,不妨設CH=3,那么AH=4,BC=AC==5.故以A、H為兩焦點的雙曲線的離心率為.4、在正方形相鄰邊所夾的劣弧上，可以看到完整的兩條邊。而由題設“可以看到正方形的兩條完整的邊的概率為eq\f(1,2)〞，可知延長正方形的邊與圓的8個交點將圓周8等分．可以得到圓半徑為．5、將正四棱錐的側(cè)面向外展開到底面，那么4個側(cè)面三角形的頂點所構成的正方形即為最小正方形，邊長為．6、因為，所以．所以．即……⑴因為，所以．所以．即……⑵由⑴、⑵,解得，．又因為，所以．所以．所以．注：用遞歸數(shù)列也可求解．7、原不等式．，．∴．8、任選4點，共有個凸四邊形，其中梯形的兩條平行邊可以從5組平行于直徑的5條平行弦中選取，也可以從不平行于直徑的4條平行弦中選取，除去矩形，梯形共有60個，所以，梯形所占的比為．9、解：〔1〕∵，且∴又，結合二次函數(shù)的圖像知，故的取值范圍為另解：=，，得的取值范圍為〔2〕設，那么，恒成立，即，恒成立，令，由于在是增函數(shù)，令，那么又，得的取值范圍為10、解，我們用歸納法證明.〔*〕〔1〕當時，結論成立.〔2〕假設當時，結論成立。即又由于代入上式可得：……①那么當時，〔由①〕故當時，結論成立，即〔*〕式成立.又可知：那么，設那么知：又且故或故或〔舍去〕那么當時，滿足條件.11.證明因為，要證原不等式成立，等價于證明……=1\*GB3①事實上，………=2\*GB3②由柯西不等式知……………=3\*GB3③又由知…………=4\*GB3④由=2\*GB3②，③，④，可知①式成立，從而原不等式成立．2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(3)第一試(考試時間：80分鐘總分值：120分)姓名：_____________考試號：______________得分：____________一、填空題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕1、設a,b是兩個正整數(shù),它們的最小公倍數(shù)是24·33·72·11,那么這樣的有序正整數(shù)對(a,b)有 _組.2、方程16sinπxcosπx＝16x＋eq\f(1,x)的解集合為3、三棱錐是三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，是底面內(nèi)的一點，那么的最小值是______________4、對任意，代數(shù)式的最小值為________5、計算：_______________6、籃球場上有5個人在練球，其戰(zhàn)術是由甲開始發(fā)球〔第一次傳球〕，經(jīng)過六次傳球跑動后〔中途每人的傳球時機均等〕回到甲，由甲投3分球，其中不同的傳球方式為___________種．7、對，函數(shù)都滿足：①；②；③；那么__________________8、設個實數(shù)滿足條件那么的最大值為________________二、解答題〔本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分〕9．設由不超過1000的兩個正整數(shù)組成的數(shù)對滿足條件：．試求所有這樣的數(shù)對的個數(shù)．10.是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一點，是橢圓的焦點，分別交橢圓與兩點，求證：是定值．11.給定大于2023的正整數(shù)，將分別填入的棋盤的方格中，使每個方格恰有一個數(shù)，如果一個方格中填的數(shù)大于它所在行至少2023個方格內(nèi)所填的數(shù)，且大于它所在列至少2023個方格內(nèi)所填的數(shù)，那么稱這個方格為“優(yōu)格〞，求棋盤中“優(yōu)格〞個數(shù)的最大值．2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(3)答案1、設,那么有.故有序正整數(shù)對(a,b)有=945組.2、當x＞0時，16x＋eq\f(1,x)≥8，〔x＝eq\f(1,4)取到等號〕而，(x＝eq\f(1,4)＋k,k∈Z取到等號),于是有當x＞0時，方程只有一個解x＝eq\f(1,4)。由于奇函數(shù)的性質(zhì)，可知x＝eq\f(1,4)是方程的另一解。故方程的解集合為{eq\f(1,4),－eq\f(1,4)}3、解：由，得≥，同理還有兩個不等式，那么W≥．4、解：配方得，設，點關于直線的對稱點為，關于軸的對稱點為，所以：≥．5、解：設，那么是方程的根，那么，，令，那么原式＝6、解：設經(jīng)過次傳球跑動后回到甲的不同傳球方式為〔≥2〕，那么，所以7、解：由①②③可推出．8、解：當≥2時，令那么，所以：≤．9、解：由可得對于每個，在這個范圍內(nèi)的整數(shù)個數(shù)為又，那么≤707,但當時，所以：數(shù)對的總數(shù)為10、證明：如圖，由橢圓的定義知：，，其中為該橢圓的離心率，為該橢圓的焦準距．由相似形及和分比定理得：所以：,同理可得：所以：為定值．11、解：定義一個方格中填的數(shù)大于它所在行至少2023個方格中所填的數(shù)，那么稱此格為行優(yōu)的．又每一行中填較小的2023個數(shù)的格子不是行優(yōu)的，得到每行中有個格子為行優(yōu)的．另外，每一個“優(yōu)格〞一定是行優(yōu)的，所以棋盤中“優(yōu)格〞個數(shù)≤．將棋盤的第行第〔大于時，取模的余數(shù)〕列中的格子填入“*〞，再將填入有“*〞的格子，其余的數(shù)填入沒有“*〞的格子．沒有“*〞的格子中填的數(shù)大于有“*〞的格子中填的數(shù)，所以，棋盤中沒有“*〞的格子都是“優(yōu)格〞，共有個．AQDRCBAQDRCBP2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(4)第一試(考試時間：80分鐘總分值：120分)姓名：_____________考試號：______________得分：____________一、填空題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕1、設a,b是兩個正整數(shù),它們的最小公倍數(shù)是24·33·72·11,那么這樣的有序正整數(shù)對(a,b)有 _組.2、方程16sinπxcosπx＝16x＋eq\f(1,x)的解集合為3、三棱錐是三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，是底面內(nèi)的一點，那么的最小值是______________4、對任意，代數(shù)式的最小值為________5、計算：_______________6、籃球場上有5個人在練球，其戰(zhàn)術是由甲開始發(fā)球〔第一次傳球〕，經(jīng)過六次傳球跑動后〔中途每人的傳球時機均等〕回到甲，由甲投3分球，其中不同的傳球方式為___________種．7、對，函數(shù)都滿足：①；②；③；那么__________________8、設個實數(shù)滿足條件那么的最大值為________________二、解答題〔本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分〕9．設由不超過1000的兩個正整數(shù)組成的數(shù)對滿足條件：．試求所有這樣的數(shù)對的個數(shù)．10.是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一點，是橢圓的焦點，分別交橢圓與兩點，求證：是定值．11.給定大于2023的正整數(shù)，將分別填入的棋盤的方格中，使每個方格恰有一個數(shù)，如果一個方格中填的數(shù)大于它所在行至少2023個方格內(nèi)所填的數(shù)，且大于它所在列至少2023個方格內(nèi)所填的數(shù)，那么稱這個方格為“優(yōu)格〞，求棋盤中“優(yōu)格〞個數(shù)的最大值．2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(4)答案1、設,那么有.故有序正整數(shù)對(a,b)有=945組.2、當x＞0時，16x＋eq\f(1,x)≥8，〔x＝eq\f(1,4)取到等號〕而，(x＝eq\f(1,4)＋k,k∈Z取到等號),于是有當x＞0時，方程只有一個解x＝eq\f(1,4)。由于奇函數(shù)的性質(zhì)，可知x＝eq\f(1,4)是方程的另一解。故方程的解集合為{eq\f(1,4),－eq\f(1,4)}3、解：由，得≥，同理還有兩個不等式，那么W≥．4、解：配方得，設，點關于直線的對稱點為，關于軸的對稱點為，所以：≥．5、解：設，那么是方程的根，那么，，令，那么原式＝6、解：設經(jīng)過次傳球跑動后回到甲的不同傳球方式為〔≥2〕，那么，所以7、解：由①②③可推出．8、解：當≥2時，令那么，所以：≤．9、解：由可得對于每個，在這個范圍內(nèi)的整數(shù)個數(shù)為又，那么≤707,但當時，所以：數(shù)對的總數(shù)為10、證明：如圖，由橢圓的定義知：，，其中為該橢圓的離心率，為該橢圓的焦準距．由相似形及和分比定理得：所以：,同理可得：所以：為定值．11、解：定義一個方格中填的數(shù)大于它所在行至少2023個方格中所填的數(shù)，那么稱此格為行優(yōu)的．又每一行中填較小的2023個數(shù)的格子不是行優(yōu)的，得到每行中有個格子為行優(yōu)的．另外，每一個“優(yōu)格〞一定是行優(yōu)的，所以棋盤中“優(yōu)格〞個數(shù)≤．將棋盤的第行第〔大于時，取模的余數(shù)〕列中的格子填入“*〞，再將填入有“*〞的格子，其余的數(shù)填入沒有“*〞的格子．沒有“*〞的格子中填的數(shù)大于有“*〞的格子中填的數(shù)，所以，棋盤中沒有“*〞的格子都是“優(yōu)格〞，共有個．AQDRCBAQDRCBP2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(5)第一試(考試時間：80分鐘總分值：120分)姓名：_____________考試號：______________得分：____________一、填空題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕__________1.正八邊形邊長為1，任取兩點，那么最大值為__________2.假設，那么＝_________3.假設關于的方程的兩個實數(shù)根滿足那么的最小值為______________,最大值分別為____________4.設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一動點，過向兩條漸近線作垂線，垂足分別為點，假設點始終在第一、第四象限內(nèi)，那么雙曲線離心率的取值范圍是___________.5.對于實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)。對于某個整數(shù)，恰存在2023個正整數(shù)，滿足，并且整除，那么=___________.6.A、B兩隊進行乒乓球團體對抗賽，每隊各三名隊員，每名隊員出場一次。A隊的三名隊員是，B隊三名隊員是B1,B2,B3,，且對的勝率為eq\f(i,i+j)(1≤i,j≤3)，A隊得分期望的最大可能值是________.7.△ABC的三邊長分別為13,14,15,有4個半徑同為的圓O,O1,O2,O3放在△ABC內(nèi)，并且⊙O1與邊AB、AC相切，⊙O2與邊BA、BC相切，⊙O3與邊CB、CA相切，⊙O與⊙O1,O2,O3相切,那么=_________.8.設都是正整數(shù)，且，那么的個位數(shù)字是__________二、解答題〔本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分〕9．：實數(shù)滿足，證明：10.數(shù)列由確定,假設對于任意，恒成立。求得最小值。11.在雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1中，分別為雙曲線C的左右兩個焦點，P為雙曲線上且在第一象限內(nèi)的點，的重心為G，內(nèi)心為I.(1)是否存在一點P,使得IG||；(2)A為雙曲線C的左頂點，直線過右焦點與雙曲線C交于M，N兩點，假設AM，AN的斜率滿足－eq\f(1,2)，求直線的方程.2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(5)答案1、解：根據(jù)向量內(nèi)積的幾何意義，只要看向量在方向上的投影即可。最大值為eq\r(2)+12、令得==，又為展開式中最高次項的系數(shù)，那么3、解：設，那么，整理得，且，在以分別為橫軸和縱軸的坐標系中畫出上面兩個不等式所表示的規(guī)劃區(qū)域。那么，點到規(guī)劃區(qū)域最小值即為到直線的距離eq\f(1,eq\r(2))，那么的最小值為距離的平方eq\f(1,2)；點到規(guī)劃區(qū)域最大值為的圓心的距離與半徑2的和，那么的最大值為=4、解：由對稱性，我們只討論在第一象限情形.設，，那么直線的方程為，與聯(lián)立，得：假設在第一象限顯然滿足，假設在第四象限或坐標軸上，那么，所以，只須5、解：假設，那么，滿足整除，那么可取，共個，所以6、解：討論可知，，最大期望7、解：不妨設。可知與相似，且為的外心，外接圓半徑為，那么，，由正弦定理，同理可得，，又=，所以，8、由二項式定理：，，，故，設，那么，由恒等式得：，的個位數(shù)字依次為1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，0，…，所以≡，≡≡9、證明：原不等式等價于，設，那么，原不等式即為，等價于(*)假設令不變，那么(*)式右邊為，由知時(*)式右邊取最大值。同理知時，(*)式右邊取最大值為，即原不等式成立10、解：由題可知時，，又，不妨設，那么，∴∴那么=＝易知為正數(shù)，且，趨于無窮大時，趨于無窮大，那么的最小值為11、解：(1)假設存在點P坐標為,而G為的重心,故.而I為的內(nèi)心,設的內(nèi)切圓半徑為,那么,于是..由IG∥知,,即.又,.由焦半徑公式知,,那么.故,即.又點P在雙曲線上,那么.解得(舍負).故存在,使得IG∥.(2)假設直線斜率不存在,顯然不合題意.假設直線斜率存在,設過的直線方程為,直線和橢圓交于.將代入中,得到.由韋達定理可知:又,而,從而,即.故所求直線的方程為.2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(6)第一試(考試時間：80分鐘總分值：120分)姓名：_____________考試號：______________得分：____________一、填空題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕1．函數(shù)的最大值是_______2．青蛙在正六邊形ABCDEF上A點處，每次向相鄰頂點跳躍.到達D點或者跳滿五次那么停止.不同跳躍方式有____________種.3．設,那么的最大值為___________4．設數(shù)列的前項和滿足：，，那么通項=______5．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與直線交于M,N兩點,且(為原點),當橢圓的離心率e∈[EQ\F(EQ\R(,3),3),EQ\F(EQ\R(,2),2)]時,橢圓長軸長的取值范圍是__________6．對于每個大于等于2的整數(shù)，令表示在區(qū)間上不同解的個數(shù)，表示在區(qū)間上不同解的個數(shù)，那么=____________7．在平面直角坐標系中，定義點P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“直角距離〞為d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|假設C(x,y)到點A(1,3),B(6,9)的“直角距離〞相等，其中實數(shù)x,y滿足0≤x≤10,0≤y≤10，那么所有滿足條件的點C的軌跡的長度之和為_________8．一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個方向自由運動，那么該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是二、解答題〔本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分〕9．是實數(shù),二次函數(shù)滿足，求證：－1與1中至少有一個是的根.10．設，數(shù)列滿足，．〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕證明：對于一切正整數(shù)，．11．橢圓，過定點兩條互相垂直的動直線分別橢交圓于兩點。分別為左右焦點，為坐標原點。〔1〕求向量的最小值；〔2〕當向量與互相垂直時，求兩點所在直線的斜率。2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(6)答案1、函數(shù)的定義域為[1,5]，且y＞0,當且僅當，等號成立，即x＝eq\f(127,27)時函數(shù)取最大值6eq\r(3)2、跳5步共有32種，其中包含3步跳到D的兩種情形，應減去8種，所以滿足條件的5步跳有24種。在加上2種3步跳，共26種。3、,當時,4.，即2=，由此得2．令，()，有，故，所以．5.由,可得①由得,即,將,代入得,即,因為,得,得,有,解得.6、由得：，即或，又，那么或；但兩組取值可能重復。假設，討論得：時重復一組。同理對于，或，或，時重復一組。比擬兩種解的取值知，為公共局部，為奇數(shù)時，比多一組解，但當時重復一組。只當時重復一組。實質(zhì)只有當時，比多1個解，其余情況解相同。所以=。7.由條件得--------①當y≥9時，①化為，無解；當y≤3時，①化為，無解；當3≤y≤9時，①化為-------②假設x≤1，那么y＝8.5，線段長度為１；假設1≤x≤6，那么x＋y＝9.5，線段長度為5eq\r(2)；假設x≥6，那么y＝3.5，線段長度為４．綜上可知，點C的軌跡的構成的線段長度之和為1＋5eq\r(2)＋4＝5(eq\r(2)＋1)答圖18.如答圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面答圖1//平面，與小球相切于點，那么小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．因，故，從而．記此時小球與面的切點為，連接，那么．考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，答圖2易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，答圖2記為，如答圖2．記正四面體的棱長為，過作于．因，有，故小三角形的邊長．小球與面不能接觸到的局部的面積為〔如答圖2中陰影局部〕．又，，所以．由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為9、由知二次函數(shù)有零點，假設二次函數(shù)只有唯一的零點，那么這個零點就是拋物線的頂點，有，解得，由，有，那么，故拋物線的頂點橫坐標為，所以與1中至少有一個是的根。假設二次函數(shù)有兩個不同的零點，因為：，所以或故與1中至少有一個是的根。10、解：∵，∴，∴①當時，，∴，即②當且時，，當時，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴∴，∴綜上所述〔2〕方法一：證明：①當時，；②當且時，∴對于一切正整數(shù)，．方法二：證明：①當時，；②當且時，要證，只需證，即證，即證即證即證∵，∴原不等式成立。∴對于一切正整數(shù)，．11、解：〔1〕，所以=2.即最小值為當點位于短軸上頂點時，取等號.〔2〕，，所以與互相垂直，那么線段為直角與直角公共斜邊。設線段中點為，那么，即=1\*GB3①設直線方程為，與聯(lián)立得：，由=1\*GB3①得：=2\*GB3②又由與互相垂直知=3\*GB3③直線與合成得：，即，由=3\*GB3③得=4\*GB3④，由=2\*GB3②與=4\*GB3④解得2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(7)第一試(考試時間：80分鐘總分值：120分)姓名：_____________考試號：______________得分：____________一、填空題〔本大題共8小題，每題8分，共64分〕__________1.集合,,,那么的取值范圍是___________2.某人投兩次骰子,先后得到點數(shù),用來作為一元二次方程的系數(shù),那么使方程有CACABDEFMN3.過四面體的頂點作半徑為的球，該球與四面體的外接球相切于點，且與平面相切。假設，那么四面體的外接球的半徑＝________4.如圖,分別為正六邊形ABCDEF的對角線AC,CE的內(nèi)分點,且eq\f(AM,AC)＝eq\f(CN,CE)＝λ,假設B,M,N三點共線,那么=______________5.是偶函數(shù)，那么函數(shù)圖像與軸交點的縱坐標的最大值是6.對所有的實數(shù)及均有＞eq\f(1,8),那么實數(shù)的取值范圍是______.7.定義“n次冪平均三角形〞:如果△ABC的三邊滿足等式：(),那么稱△ABC為“n次冪平均三角形〞.如果△ABC為“3次冪平均三角形〞,那么角B的最大值是______.8.設為復數(shù),其中,,假設,那么當?shù)妮椊侵髦底钚r,的值為_____________二、解答題〔本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分〕9．定義域為實數(shù)集R的函數(shù)f(x)同時滿足以下3個條件：①x＞0時，f(x)＞0，②f(1)＝2，③對任意m，n，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)．設集合，，，假設A∩B≠Ф且A∩C≠Ф，試求實數(shù)a的取值范圍．10.雙曲線方程，是否存在過焦點的直線l，交雙曲線于A、B兩點，使得∠AOB＝EQ\F(π,2)．假設存在，求出l的方程；假設不存在，請說明理由。11.數(shù)列{an}滿足對任意n∈N*，，求的最小值．2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(7)答案1、由條件知,①A＝Ф,2a+1＞3a＋5,②A≠Ф,,解得a＜－4或1≤a≤9.2、由題意知，，那么事件總數(shù)為36，而方程有實根等價于,即：，據(jù)此可列出的值：1,2,3,4,5,6。的個數(shù)為：5,4,3,3,2,2。即5+4+3+3+2+2=19，故概率為eq\f(19,36)3、過作平面的垂線，垂足為，作，垂足為，，垂足為，那么，且有。由于，那么，，，因