上海民辦滬北高級中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0），直線y=x﹣1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為﹣，則此雙曲線的方程是(

) A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：D考點：雙曲線的標準方程．分析：先設出雙曲線的方程，然后與直線方程聯立方程組，經消元得二元一次方程，再根據韋達定理及MN中點的橫坐標可得a、b的一個方程，又雙曲線中有c2=a2+b2，則另得a、b的一個方程，最后解a、b的方程組即得雙曲線方程．解答： 解：設雙曲線方程為﹣=1．將y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韋達定理得x1+x2=，則==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以雙曲線的方程是．故選D．點評：本題主要考查代數方法解決幾何問題，同時考查雙曲線的標準方程與性質等．2.中，，則邊AC上的高是

（）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B由余弦定理cosA===，∴sinA=.

∴S△ABC=AB·AC·sinA=×3×4×=3.

設邊AC上的高為h，則S△ABC=AC·h=×4×h=3.

∴.3.現有四個函數：①；②；③；④的圖象（部分）如下：則按照從左到右圖象對應的函數序號安排正確的一組是 A．①④②③ B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①參考答案：A4.過平面區域內一點作圓的兩條切線，切點分別為，記，則當最小時的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C5.已知直線m,n和平面，那么m∥n的一個必要但非充分條件是A.m∥,n∥

B.m⊥,n⊥

C.m∥且n

D.m,n與成等角參考答案：答案：D解析：若m∥n,則m,n與平面成相等的角，若m,n與平面成等角，不一定有m∥n,故選D.

6.下面程序框圖運行后，如果輸出的函數值在區間[－2，]內，則輸入的實數x的取值范圍是

()

A．(－∞，0)∪[，]

B．(－∞，－1]∪[，]

C．(－∞，－1]

D．[，]參考答案：B略7.若方程的根在區間上，則的值為（

）

A．

B．1

C．或2

D．或1參考答案：D8.已知，則=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】GH：同角三角函數基本關系的運用．【分析】把已知等式化弦為切，求出tanα，然后展開兩角和的正切得答案．【解答】解：∵，∴，解得tanα=﹣5，∴=．故選：D．9.已知數列，若點在經過點的定直線上，則數列的前15項和A.12 B.32 C.60 D.120參考答案：C可設定直線為,知,則是等差數列且，所以，選C.10.在中，AB=1，AC=3，D是BC邊的中點，則=（

）

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果執行下圖所示的框圖，輸入，則輸出的數等于（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略12.《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的外接球的表面積為

．參考答案：16π【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知可得該“塹堵”是一個以俯視圖為底面的直三棱柱，求出棱柱外接球的半徑，進而可得該“塹堵”的外接球的表面積．【解答】解：由已知可得該“塹堵”是一個以俯視圖為底面的直三棱柱，底面外接球的半徑r==，球心到底面的距離d==，故該“塹堵”的外接球的半徑R==2，故該“塹堵”的外接球的表面積：S=4πR2=16π，故答案為：16π【點評】本題考查的知識點是棱柱的體積和表面積，棱錐的體積和表面積，球的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度基礎．13.已知

在[-2，2]上有最小值3，那么在[-2，2]上的最大值是

參考答案：4314.設,集合則的值是

參考答案：-115.如右圖所示，在一個坡度一定的山坡的頂上有一高度為的建筑物，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的處測得，沿山坡前進到達處，又測得，根據以上數據計算可得參考答案：試題分析：在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，即.所以，所以.考點：解三角形.【思路點晴】本題主要考查解三角形應用問題.在中，有正弦定理求出，在中，由正弦定理解出，則.應熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷就用哪一個定理．16.已知向量，，若∥，則實數的值為

.參考答案：17.雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上，若，則點到軸的距離為_________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，其一條漸近線方程是，且雙曲線過點.(1)

求此雙曲線的方程；(2)

設直線過點，其方向向量為，令向量滿足.雙曲線的右支上是否存在唯一一點，使得.若存在，求出對應的值和的坐標；若不存在，說明理由.參考答案：解析：（1）設雙曲線的方程為，將點代入可得，

雙曲線的方程為.（2）依題意，直線的方程為

.設是雙曲線右支上滿足

的點，結合，得，即點到直線的距離

①

若，則直線與雙曲線的右支相交，此時雙曲線的右支上有兩個點到直線的距離為1，與題意矛盾；②若，則直線在雙曲線右支的上方，故，從而

.又因為，所以

.當時，方程有唯一解，則；當時，由得，此時方程有唯一解，則綜上所述，符合條件的值有兩個：，此時；，此時.19.已知的三內角、、所對的邊分別是，，，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a+c，b)，且⊥.（1）求角的大小；（2）若，求的范圍參考答案：解：∵m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n.∴cosB(2a+c)+bcosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分∴cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分∴cosB=－1／2∵0≤B≤180∴B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分（2）由余弦定理，得

當且僅當時，取等號.。。。。10分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分又

。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

略20.（本小題滿分10分）已知函數（I）求的解集；（Ⅱ）若關于的不等式有解，求實數的取值范圍．參考答案：21.（本小題滿分12分）

已知向量，求：

（1）；

（2）的值.參考答案：22.(本小題滿分12分)某高校在2011年自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80)，第2組[80，85)，第3組[85，90)，第4組[90，95)，第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)分別求第3，4，5組的頻率；(2)若該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，(ⅰ)已知學生甲和學生乙的成績均在第三組，求學生甲和學生乙同時進入第二輪面試的概率；(ⅱ)學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受考官D的面試，設第4組中有名學生被考官D面試，求的分布列和數學期望.參考答案：解：(1)

第三組的頻率為0.065=0.3；

第四組的頻率為0.045=0.2；第五組的頻率為0.025=0.1.

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