山西省長治市民辦中學2021-2022學年高一數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0，1}，則實數a的值為()A．－1 B．0C．1

D．2參考答案：A解析：由題意，x2＋ax＝0的解為0，1，利用根與系數的關系得0＋1＝－a，所以a＝－1.2.函數的值域是（

）、

、

、

、參考答案：D3.若函數為奇函數，則必有(

)（A）

（B）（C）

（D）參考答案：B4.已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的等邊三角形，SC為球O的直徑，若三棱錐S－ABC的體積為，則球O的表面積是A. B.

C.

D. 參考答案：A5.已知函數y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函數，且在區間（﹣1，0）上是單調遞增的，A，B，C是銳角三角形△ABC的三個內角，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（sinA）＞f（sinB） B．f（sinA）＞f（cosB） C．f（cosC）＞f（sinB） D．f（sinC）＞f（cosB）參考答案：C【考點】奇偶性與單調性的綜合；解三角形．【專題】計算題；函數的性質及應用；三角函數的圖像與性質．【分析】由于f（x）定義在（﹣1，1）上的偶函數，且在區間（﹣1，0）上單調遞增，可得f（x）在（0，1）上是減函數．而銳角三角形中，任意一個角的正弦要大于另外角的余弦，由此對題中各個選項依此加以判斷，可得本題的答案．【解答】解：對于A，由于不能確定sinA、sinB的大小，故不能確定f（sinA）與f（sinB）的大小，可得A不正確；對于B，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個內角，∴A+B＞，得A＞﹣B注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取正弦，得sinA＞sin（﹣B），即sinA＞cosB∵f（x）定義在（﹣1，1）上的偶函數，且在區間（﹣1，0）上單調遞增∴f（x）在（0，1）上是減函數由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正確對于C，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個內角，∴B+C＞，得C＞﹣B注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取余弦，得cosC＜cos（﹣B），即cosC＜sinB∵f（x）在（0，1）上是減函數由cosC＜sinB，可得f（cosC）＞f（sinB），得C正確；對于D，由對B的證明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正確故選：C【點評】本題給出抽象函數，求用銳角三角形的內角的正、余弦作為自變量時，函數值的大小關系．著重考查了函數的單調性、奇偶性和銳角三角形中三角函數值的大小比較等知識，屬于中檔題．6.函數在上的最大值與最小值之和為

.參考答案：3略7.設全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為()A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.（4分）sinα=，α∈（，π），則cos（﹣α）=（） A． B． C． D． 參考答案：A考點： 兩角和與差的余弦函數．專題： 計算題；三角函數的求值．分析： 運用同角的平方關系，求得cosα，再由兩角差的余弦公式，即可得到所求值．解答： sinα=，α∈（，π），則cosα=﹣=﹣，則cos（﹣α）=coscosα+sinsinα=×（）=﹣．故選A．點評： 本題考查同角的平方關系，兩角差的余弦公式及運用，考查運算能力，屬于基礎題．9.設，且，則m的值是（

）A．

B．10

C．20

D．100參考答案：A由已知得，a=log2m，b=log5m，因此=logm2+logm5=logm10=2，解之得m=.10..已知則

（）A． B． C． D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數為增函數的區間是

.參考答案：略12.函數的值域是___________.

參考答案：(0，1)

略13.如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長為

． 參考答案：【考點】余弦定理． 【分析】先根據余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根據正弦定理可得答案． 【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理得cos∠ADC==﹣， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60° 在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得， ∴AB= 故答案為：． 【點評】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用，在解決問題的過程中要靈活運用正弦定理和余弦定理．屬基礎題． 14.計算：=_______________.參考答案：略15.（5分）如圖是一個正方體紙盒的展開圖，在原正方體紙盒中有下列結論：①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．其中，正確命題的序號是

．參考答案：③④考點： 異面直線及其所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系．專題： 證明題．分析： 先利用正方體紙盒的展開圖，畫出它的直觀圖，特別注意特殊點的位置，再在正方體中證明線線位置關系以及求異面直線所成的角即可解答： 如圖為正方體紙盒的直觀圖：由圖可知：BM與ED異面且垂直，①錯誤；CN與BE平行，②錯誤；異面直線CN與BM所成的角即∠EBM，由于△EBM為等邊三角形，故∠EBM=60°，③正確；因為DM⊥NC，DM⊥BC，NC∩BC=C，所以DM⊥平面NCB，所以DM⊥BN，④正確故答案為③④點評： 本題考查了空間幾何體的展開圖與直觀圖間的關系，空間的線線位置關系及其證明，異面直線所成的角及其求法，將平面圖準確的轉化為直觀圖是解決本題的關鍵

16.（5分）點A（1，﹣2）關于直線x+y﹣3=0對稱的點坐標為

．參考答案：（5，2）考點： 點到直線的距離公式；直線的一般式方程與直線的垂直關系．專題： 直線與圓．分析： 設點A（1，﹣2）關于直線x+y﹣3=0對稱的點坐標為B（a，b），則，由此能求出結果．解答： 解：設點A（1，﹣2）關于直線x+y﹣3=0對稱的點坐標為B（a，b），則，解得a=5，b=2，∴點A（1，﹣2）關于直線x+y﹣3=0對稱的點坐標為B（5，2）．故答案為：（5，2）．點評： 本題考查滿足條件的點的坐標的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對稱問題的合理運用．17.（5分）已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，這個球的表面積是4π，則這個三棱柱的體積是

．參考答案：考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題： 空間位置關系與距離．分析： 如圖所示，設球心為O，上下底面的中心分別為O1，O2，球O與三個側面相切的切點分別A，B，C．設球的半徑為R，由球的表面積是4π，可得4πR2=4π，R=1．可得O1O2=2，為三棱柱的高．在等邊三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB，可得三棱柱的底面邊長=2AB．利用等邊三角形的面積計算公式可得三棱柱的底面面積S，即可得出三棱柱的體積．解答： 如圖所示，設球心為O，上下底面的中心分別為O1，O2，球O與三個側面相切的切點分別A，B，C．設球的半徑為R，∵球的表面積是4π，∴4πR2=4π，解得R=1．∴O1O2=2，為三棱柱的高．在等邊三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB==，可得三棱柱的底面邊長=．∴三棱柱的底面面積S==3．∴這個三棱柱的體積=S?O1O2=6．故答案為：6．點評： 本題考查了正三棱柱及其內切球的性質、體積計算公式、等邊三角形的性質，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如果函數f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數，且滿足f(xy)=f(x)+f(y)（1）求f(1)的值。（2）已知f(3)=1且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范圍。（3）證明：f()=f(x)-f(y)參考答案：（3）由知

.19.（本小題滿分12分）某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為萬元，并且每生產百臺的生產成本為萬元（總成本=固定成本+生產成本）；銷售收入（萬元）滿足：，假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規律:（Ⅰ）要使工廠有贏利，產量應控制在什么范圍？（Ⅱ）工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？參考答案：解：依題意，設成本函數.利潤函數為，則

……………….4分

(Ⅰ)要使工廠有贏利，即解不等式，當時，解不等式。即.∴

∴。

………………….

7分當x>5時，解不等式，得。∴。綜上所述，要使工廠贏利，應滿足，即產品應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內?！?分(Ⅱ)時，故當時，有最大值3.6.

…………………..10分而當時，所以，當工廠生產400臺產品時，贏利最多.………..13分略20.（16分）已知數列，滿足，其中.（1）若，求數列的通項公式；（2）若，且.記，求證：數列為等差數列；參考答案：解（1）當時，有

…………4分.

…………6分又因為也滿足上式，所以數列的通項為.………………7分（2）由題設知：，對任意的有得，

于是又，

故

…………………9分

∴，，∴，所以數列為等差數列.

…………1略21.已知函數f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）．（1若關于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，求a，m的值；（2）設關于x的不等式f（x）≤0的解集是A，集合B={x|0≤x≤1}，若A∩B=?，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】3W：二次函數的性質．【分析】（1）應用一元二次不等式和方程的關系結合根與系數的關系得到關于a，m的方程組，求出a，m的值即可；（2）問題轉化為a+1＜x+對于x∈（0，1]恒成立（當x=0時，1＞0恒成立）；求出a的范圍即可．【解答】解：（1）∵關于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，∴對應方程x2﹣（m+1）x+1=0的兩個實數根為m、2，由根與系數的關系，得，解得a=，m=；（2）∵關于x的不等式f（x）≤0的解集是A，集合B={x|0≤x≤1}，當A∩B=φ時，即不等式f（x）＞0對x∈B恒成立；即x∈時，x2﹣（a+1）x+1＞0恒