1§3.2一階系統分析一、一階系統的數學模型

其閉環傳遞數為T為時間常數一階系統也稱為慣性環節。2

單位階躍輸入的拉氏變換為R(s)=1/s，則系統的單位階躍響應：二、一階系統的單位階躍響應

或寫成穩態分量暫態分量3初始斜率為：

時間常數T是表示響應特性的惟一參數，它與輸出有確定的對應關系:

t=T,h(T)=0.632

t=2T,h(2T)=0.865

t=3T,h(3T)=0.950

t=4T,h(4T)=0.9824由于h(∞)=1，因此一階系統的單位階躍響應沒有穩態誤差。ts=3T(s)5%誤差帶ts=4T(s)2%誤差帶一般?。?穩態誤差為：三、一階系統的單位斜坡響應單位斜坡輸入的拉氏變換為R(s)=1/s2，則系統的單位斜坡響應：注意：時間常數T越小，響應就越快，穩態誤差就越小，輸出量對輸入信號的滯后時間也越小。穩態分量暫態分量6穩態誤差為：四、一階系統的單位拋物線響應單位拋物線輸入的拉氏變換為R(s)=1/s3，則系統的單位拋物線響應：7

時間常數T

反映了響應過程的快速性，T越小，響應的持續時間越短，快速性也越好。五、一階系統的脈沖響應單位脈沖輸入的拉氏變換為R(s)=1，則系統的脈沖響應：8一階系統對典型輸入信號的響應式六、一階系統各輸出響應的關系按脈沖響應、階躍響應、斜坡響應、拋物線響應的順序排列，前者都是后者的導數，而后者是前者的積分。9例：一階系統如下圖所示，試求系統單位階躍響應的調解

時間ts。如果要求ts

＝0.1秒，試問系統的反饋系數應如何

調整？0.1RC解：1.系統閉環傳遞函數為則10將要求ts

＝0.1秒代入上式得0.1RC2.計算ts

＝0.1秒的反饋系數值設反饋系數為KH，則系統閉環傳遞函數為KH則11其中，F為實際阻尼系數。§3.3二階系統分析一、二階系統的數學模型其閉環傳遞函數可以寫成：則二階系統特征方程為：12

當F2=4JK時，系統處于臨界阻尼狀態，即特征方程有一對相等的負實根。其閉環特征方程的根為令Fc為臨界阻尼系數，則引入新的參量:則原閉環系統傳遞函數為：式中ωn稱為無阻尼自然頻率或固有頻率,ξ稱為阻尼比133.當ξ>1時，系統有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼狀態。1.當0<ξ<1時，方程有一對實部為負的共扼復根，系統時間響應具有振蕩特性，稱為欠阻尼狀態。

下面討論ξ的變化對特征根及對系統的影響：2.當ξ=1時，系統有一對相等的負實根，稱為臨界阻尼狀態。臨界阻尼和過阻尼狀態下，系統的時間響應均無振蕩。145.當ξ<0時，系統有一對實部為正的共扼復根，系統時間響應具有發散振蕩的特性，稱為負阻尼狀態。4.當ξ=0時，系統有一對純虛根，稱為零阻尼狀態。系統時間響應為持續的等幅振蕩。15則系統在單位階躍信號作用時，系統的輸出二、二階系統的單位階躍響應下面根據不同ξ值的條件來討論對應的階躍響應。過阻尼ξ>1的情況式中：于是閉環傳遞函數為16右圖是取誤差帶為5%的調節時間特性。由曲線看出:(1).當T1=T2，即ξ=1的臨界阻尼情況，其調節時間ts=4.75T1；(2).當T1=4T2

，即ξ=1.25時，ts≈3.3T1;(3).當T1>4T2

，即ξ>1.25時，ts≈3T1。取C(s)的拉氏反變換，得到單位階躍響應

對于過阻尼二階系統，建議用下式估算：17(對于ξ>2)對其取拉氏反變換，求得單位階躍響應為18一對共軛復根為其中：，稱為阻尼振蕩角頻率。2.臨界阻尼ξ=1的情況這時，系統具有兩個相等的負實根s1,2=-ωn。此時二階系統的單位階躍響應為：3.欠阻尼0<ξ<1的情況此時，系統閉環傳遞函數的一般形式為19式中當輸入信號為單位階躍作用時取C(s)的拉氏反變換，得到單位階躍響應:20來估算調節時間。

當ξ=0.707時可用包絡線:21

由于，因此要使系統單位階躍響應的平穩性好，就要求阻尼比ξ大，自然頻率ωn小。

二階系統單位階躍響應的通用曲線如下圖所示：平穩性：阻尼比ξ越大，超調量越小；阻尼比ξ越小，振蕩越強，平穩性越差。當ξ=0時，零阻尼響應為223.穩態精度:欠阻尼二階系統的單位階躍響應不存在穩態誤差。0.682.快速性:由曲線可看出ξ過大，例如ξ值接近于1，系統響應遲鈍，調節時間過長，快速性差；ξ過小，雖然響應的起始速度較快，但因為振蕩強烈，衰減緩慢，所以調節時間ts也長，快速性差。稱ξ=0.707

為最佳阻尼比。0.7623其中：三、欠阻尼二階系統單位階躍響應性能指標1.上升時間tr按照定義可得：所以：24所以：三、欠阻尼二階系統單位階躍響應性能指標

2.峰值時間tp按照定義可得：25代入得：三、欠阻尼二階系統單位階躍響應性能指標3.超調量σ%輸出的最大值為：26當ξ<0.8時，可采用下列近似公式來計算調節時間:三、欠阻尼二階系統單位階躍響應性能指標4.調節時間ts根據若取△=0.02，則得

若取△=0.05，則得27則振蕩次數：若已知即三、欠阻尼二階系統單位階躍響應性能指標5.振蕩次數N根據定義得：28與標準形式的傳遞函數相比較，得：

求振蕩次數N的另一個表達式表示取整數例：要求系統具有性能指標：，試確定系統參數K和A，并計算單位階躍響應的特征量tr、ts及N。解：由右圖可以求出閉環傳遞函數為：29首先，由要求的求出相應的阻尼比，即由最后，計算：再根據要求條件求取無阻尼自振頻率：另由解得：又由解得：30

31例：設位置隨動系統的原理如右圖所示，其開環傳遞函數當給定位置為單位階躍時，試計算放大器增益KA=200時，輸出位置響應特性的性能指標:峰值時間tp、調節時間ts和超調量σ%。如果將放大器增益增大到KA=l500或減小到KA=13.5，那么響應的動態性能有何影響?對照標準形式：解：系統的閉環傳遞函數：將KA=200代入得：32當KA減小到13.5時:得：故：如果KA增大到KA=1500，同樣可計算出:則33有關幾個問題的說明:1.二階系統其他典型輸入函數下的響應將不再討論。2.系統工作中遇到干擾作用時，分析