第十五章屈服準則塑性力學是建立在實驗基礎之上的。通過對實驗結果的歸納總結，并提出合理的假設和簡化模型，從而可以建立塑性力學基本方程。屈服準則（YieldCriterion）是塑性力學基本方程之一，它是判斷材料從彈性狀態進入塑性狀態的判據。本章主要討論金屬材料最常用的兩個屈服準則——屈雷斯加屈服準則和密塞斯屈服準則。

主要內容

第一節材料真實應力-應變曲線及材料模型

第二節理想塑性材料的屈服準則

第三節屈服準則的幾何表達

第四節兩個屈服準則的統一表達式

第五節應變硬化材料的屈服與加載表面一、拉伸圖和條件應力-應變曲線二、拉伸真實應力-應變曲線三、拉伸真實應力-應變曲線的塑性失穩點特性四、材料模型第一節材料真實應力-應變曲線及材料模型

材料真實應力-應變曲線是建立塑性理論的重要依據，通常采用單向拉伸或單向壓縮實驗來確定這種曲線。一、拉伸圖和條件應力-應變曲線

室溫下在萬能材料拉伸機上準靜態拉伸（/S）標準試樣，記錄下來的拉伸力與試樣標距的絕對伸長之間的關系曲線稱為拉伸圖。<2×10-3若試樣的初始橫截面面積為，標距長為，則條件應力（名義應力）和相對伸長（條件應變）為（15-1）如果用和替代和，曲線形狀不發生變化，只是改變刻度大小，可以很方便地將拉伸圖變化為條件應力-應變曲線。（1）

彈性變形階段Oe

（2）

均勻塑性變形階段eb

（3）

局部塑性變形階段bk

二、拉伸真實應力-應變曲線

由于試樣的瞬時截面面積與原始截面面積有如下關系：1.真實應力試樣瞬時橫截面A上所作用的應力Y稱為真實應力，亦稱為流動應力。所以（15-2）（15-3）

2.真實應變設初始長度為l0的試樣在變形過程中某時刻的長度為l，定義真實變為：)1ln(ln0e+==ll（15-4）∈3.真實應力-應變曲線

在均勻變形階段，根據式（15-3）和（15-4）將條件應力-應變曲線直接變換成真實應力-應變曲線，即Y-∈曲線，如圖15-2所示。在b點以后，由于出現縮頸，不再是均勻變形，上述公式不再成立。因此，b點以后的曲線只能近似作出。一般記錄下斷裂點k的試樣橫截面面積，按下式計算k點的真實應力-應變曲線。（15-5）∈=這樣便可作出曲線的段。

圖15-2拉伸實驗曲線a)條件應力-應變曲線b)真實應力-應變曲線

但由于出現縮頸后，試樣的形狀發生了明顯的變化，縮頸部位應力狀態已變為三向拉應力狀態，實驗表明，縮頸斷面上的徑向應力和軸向應力的分布如圖15-3。

圖15-3縮頸處斷面上的應力分布三、拉伸真實應力-應變曲線的塑性失穩點特性在Y-∈曲線上，由于∈=所以A=A0e-∈在塑性失穩點（如圖15-1的b點），當載荷P有極大值，即dp=0，且由于，則有因此在失穩點b處化簡得

上式的意義如圖15-4，表示在曲線Y-∈上，失穩點所作的切線的斜率為Yb，該斜線與橫坐標軸的交點到失穩點橫坐標的距離為∈=1。

圖15-4曲線的失穩點特性

實驗所得的真實應力-應變曲線一般都不是簡單的函數關系。在解決實際塑性成形問題時，為便于計算，常采用一些簡化的材料模型，如圖

四、材料模型圖15-5真實應力-應變曲線的簡化類型a)指數硬化曲線b)剛塑性硬化曲線c)剛塑性硬化直線d)理想剛塑性水平直線a)b)c)d)（一）指數硬化型大多數工程金屬在室溫下都有加工硬化，其真實應力-應變曲線近似于拋物線形狀，如圖15-5a，可用指數方程表達。

（15-8）Y=B∈n式中，B是強度系數；n是硬化指數。B和n的值可用失穩點的特性確定如下，對上式求導數，得∈∈根據失穩點的特性

∈∈

硬化指數n是表明材料加工硬化特性的一個重要參數，n值越大，說明材料的應變強化能力越強。對金屬材料，n的范圍是0＜n＜1。B與n不僅與材料的化學成分有關，而且與其熱處理狀態有關，常用材料的和可查相關手冊。

又有比較上述兩式，可得Yb=B∈bn（15-9）n=∈b（二）有初始屈服應力的剛塑性硬化曲線型由于與塑性變形相比，彈性變形很小，可忽略，如圖15-5b。所以，該形式為剛塑性硬化曲線型。當有初始屈服應力時，其真實應力-應變曲線可表達為（15-10）式中，、——是與材料性能有關的參數。（三）有初始屈服應力的剛塑性硬化直線型

為了簡化計算，可用直線代替硬化曲線，如圖15-5c，則為線性硬化形式，其真實應力-應變曲線表達式為（15-11）

式中，——是強度系數。這是理想剛塑性材料模型。大多數金屬在高溫低速下的大變形及一些低熔點金屬在室溫下的大變形可采用無加工硬化模型假設。如果要考慮彈性變形，則為理想彈塑性材料模型。高溫低速下的小塑性變形，可近似認為是這種情況。

（四）無加工硬化的水平直線型對于幾乎不產生加工硬化的材料，此時n=0，其真實應力-應變曲線是一水平直線，如圖15-5d，表達式為（15-12）第二節理想塑性材料的屈服準則一、屈服準則的概念二、屈雷斯加（H.Tresca）屈服準則三、密塞斯（VonMises）屈服準則一、屈服準則的概念屈服準則是材料質點發生屈服而進入塑性狀態的判據，也稱為塑性條件。

對于單向拉伸或壓縮的質點，可以直接用屈服應力來判斷。在多向應力作用下，顯然不能用一個應力分量來判斷材料質點是否進入塑性狀態，必須同時考慮所有應力分量。各應力分量之間符合一定關系時，質點才開始屈服，一般可表示為上式稱為屈服函數，式中C是與材料性質有關而與應力狀態無關的常數，可通過實驗測得。

（15-13）對于各向同性材料，由于屈服準則與坐標變換無關，（15-14）

二、屈雷斯加（H.Tresca）屈服準則

1864年法國工程師H.Tresca提出材料的屈服與最大切應力有關，即當材料質點中最大切應力達到某一定值時，該質點就發生屈服?；蛘哒f，質點處于塑性狀態時，其最大切應力是不變的定值，該定值取決于材料的性質，而與應力狀態無關。所以Tresca屈服準則又稱為最大切應力不變條件。

當

則三、密塞斯（VonMises）屈服準則1913年德國力學家VonMises提出另一個屈服準則，表達如下:即當等效應力達到定值時，材料質點發生屈服?；蛘哒f，材料處于塑性狀態時，其等效應力是不變的定值，該定值取決于材料的性質，而與應力狀態無關。

（15-18）

常數C根據單向拉伸實驗確定為，于是Mises屈服準則可寫成（15-19）上式是滿足式（15-14）的另一種形式，可以寫成，將式（15-19）兩邊同乘以常數,（其中E為彈性模量，為泊松比），因此只有應力偏張量第二不變量影響屈服。漢基（H.Henkey）于1924年指出Mises屈服準則的物理意義是：當單位體積的彈性形變能達到某一常數時，質點就發生屈服。故Mises屈服準則又稱為能量準則。則（15-20）上式左端表示變形體在三向應力作用下單位體積的彈性形變能。第三節屈服準則的幾何表達一、主應力空間中的屈服表面二、平面應力狀態的屈服軌跡三、π平面上的屈服軌跡

圖15-15主應力空間一、主應力空間中的屈服表面

1、以主應力為坐標構成一個主應力空間，在主應力空間中，任一應力點用矢量OP來表示。

2、過坐標原點O引等傾線ON，其方向余弦，線上任一點的三個坐標分量均相等，即，表示球應力狀態。

3、由P

點引一直線

PM⊥ON，則矢量

OP可分解為OM

和MP，這時，OM表示應力球張量部分，MP表示應力偏張量部分。

根據Mises屈服準則，當時，材料就屈服，故P點屈服時有：=

圖15-15主應力空間

圖15-16主應力空間中的屈服表面二、平面應力狀態的屈服軌跡

上式是坐標平面上的一個橢圓，如圖15-17。為了清楚起見，把坐標軸旋轉45°，則新老坐標的關系為將代入Mises屈服準則的表達式：得(15-21)得圖15-17兩向應力狀態的屈服軌跡同樣，將代入Tresca屈服準則的表達式（15-17），可得平面應力狀態的Tresca屈服準則：（15-22）任一平面應力狀態都可用平面上一點P表示，并可用矢量

OP來表示。如P

點在屈服軌跡的里面，則材料的質點處于彈性狀態，如P點在軌跡上，該質點處于塑性狀態。對于理想塑性材料，P點不可能在軌跡的外面。

由圖15-17可知，兩個屈服軌跡有六個交點，在六個交點處兩屈服準則是一致的。它們都表示兩向主應力相等的應力狀態，兩準則差別最大的有六個點（B、D、F、H、J、L），兩個屈服準則相差達到15.5％。

圖15-18平面上的屈服軌跡在主應力空間中，通過坐標原點，并垂直于等傾線ON的平面稱為平面。其方程為三、平面上的屈服軌跡

平面與兩個屈服表面都垂直，故屈服表面在平面上的投影是半徑為的圓及其內接正六邊形，這就是平面上的屈服軌跡，如圖15-18。

在平面上，說明平面上任一點無應力球張量的影響，任一點的應力矢量均表示偏張量。

第四節兩個屈服準則的統一表達式為評價σ2對屈服的影響，引入羅德（Lode）應力參數（15-23）上式中的分子是三向應力莫爾圓中到大圓圓心的距離，分母為大圓半徑。當在與之間變化時，則在之間變化。因此，實際上表示了在三向莫爾圓中的相對位置變化。

由式（15-23）可以解出令，稱為中間主應力影響系數，或稱應力修正系數。將代入Mises屈服準則式（15-19），整理后得則（15-24）所以Mises屈服準則與Tresca屈服準則在形式上僅差一個應力修正系數。下面討論的取值，兩準則一致，這時的應力狀態中有兩向主應力相等；當

時，當時，兩準則相差最大，此時為平面變形應力狀態。此時為平面變形應力狀態。

現設K為屈服時的最大切應力，則于是，兩個屈服準則的統一表達式為對于Tresca屈服準則，對于Mises屈服準則屈服準則起初都以假設形式提出的，是否符合實際，還需要通過實驗來驗證。驗證方法很多，復合拉、扭下的薄壁金屬圓管的屈服實驗是一較為簡單的驗證方法。也可用軸向拉力與內壓力聯合作用的屈服實驗。大量實驗表明，Tresca屈服準則和Mises屈服準則都與實驗值比較吻合，除了退火低碳鋼外，一般金屬材料的實驗數據點更接近于Mises屈服準則。第五節應變硬化材料的屈服與加載表面后續屈服表面（加載表面）的詳細討論涉及到一些相當復雜的問題，目前只能提出一些假設，其中最常見的是“各向同性硬化”假設，即“等向強化”模型，其要點如下：

以上所討論的屈服準則只適用于各向同性的理想塑性材料。對于應變硬化材料，可以認為初始屈服仍然服從前述的準則，產生硬化后，屈服準則將發生變化，在變形過程的每一瞬時，都有