本章要點:第6章連續型概率分布均勻概率分布正態概率分布二項概率的正態近似*指數概率分布概率密度函數

連續型隨機變量

X

所有可能取值充滿某個區間或整個實軸。對這種隨機變量，不能象離散型隨機變量那樣,指出其取各個值的概率，給出概率分布列。而是用“概率密度函數”表示隨機變量的概率分布。概率密度例：某工廠生產一種零件，由于生產過程中各種隨機因素的影響，零件長度不盡相同。現測得該廠生產的100個零件長度(單位:mm)如下:引例129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.這100個數據中，最小值是128，最大值是155。經分組計算得頻數分布表如下:子區間頻數頻率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04以小區間

[ti-1，ti]為底，yi=fi/d

(i=1,2,…,m)為高作一系列小矩形，組成了頻率直方圖，簡稱直方圖。

由于概率可以由頻率近似，因此這個直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。

用上述直方圖刻畫隨機變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準確地刻畫X的概率分布情況，應適當增加觀測數據的個數,同時將數據分得更細一些。當數據越來越多,分組越來越細時,直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線,這條曲線稱為隨機變量X的概率密度曲線可用來準確地刻畫X的概率分布情況。

概率密度函數

定義:設X為連續型隨機變量,若存在非負可積函數f(x),使X取值于任一區間(a,b]的概率可表示成則稱f(x)為X

的概率密度函數，簡稱概率密度或密度。f(x)xab

均勻概率分布例：在一個質地均勻的轉盤邊沿連續地標上0至9的刻度(0與9重合),隨機轉動轉盤后讓轉盤自然停止,分析轉盤停止時指針所指向的刻度X的分布情況。均勻概率分布均勻概率分布：一種連續型概率分布，其隨機變量X的取值充滿某一有限區間[a,b]，且取區間內任一點的機會都均等。從而X在[a,b]每一等長度的子區間上取值的概率都相同。稱X服從上的均勻分布，記作均勻概率密度函數均勻分布的概率密度函數均勻概率分布

f(x)均勻概率分布的期望值和方差若隨機變量X服從[a,b]上的均勻分布,則

練習已知隨機變量X服從[10,20]的均勻分布計算P(X<15)；計算P(12≤X≤18)；計算E(X)；計算Var(X)。練習某人搭乘6點出發的火車，他于5點40分出發，乘車到火車站最順利情況下需要10分鐘，最擁擠時需要50分鐘，到達后預留上車時間5分鐘.假定他出發到火車站的時間X服從均勻分布，問此人能趕上火車的概率.

正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布。

正態分布是十九世紀初，由高斯(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱高斯分布。正態分布這條紅色曲線近似我們將要介紹的正態分布的概率密度曲線。正態分布應用場合

若隨機變量X受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態分布.可用正態變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差；工廠產品的尺寸；學生們的考試成績；人的身高,體重；農作物的收獲量；正態分布若隨機變量X的概率密度函數為xf(x)其中μ為實數，σ>0.則稱X服從正態分布.記為X~N(μ,σ2

)。正態分布密度函數的性質關于直線對稱軸，且在處有拐點當曲線以x軸為漸進線f(x)

μ決定了圖形的中心位置,σ決定了圖形峰的陡峭程度。f(x)f(x)正態分布密度函數的性質正態概率分布的性質正態隨機變量的概率由曲線下面積給出。一些常用區間的概率是68.26%，95.44%，99.72%標準正態概率分布均值為0、標準差為1的正態分布N(0,1),密度函數為:

=1Z標準正態分布

標準正態分布有關概率的計算若隨機變量X~N(0,1

),則對任意的z0

f(x)xz00

練習P1457.已知隨機變量Z~N(0,1

),計算下列概率:

練習P1459.已知隨機變量Z~N(0,1

),對以下每種情況分別計算相應的z值:

一般正態分布概率的計算標準正態分布變換定理:若X~N(,2),則有:此結果說明:對于一般正態分布，計算可先轉換為標準正態分布，即當X~N(,2)時，有

例：Grear輪胎公司問題Grear輪胎公司剛剛開發了一種新的鋼絲子午線輪胎，根據對輪胎的實際道路測試，工程小組已估計出輪胎可行駛里程的均值=36

500英里，標準差=5

000。另外，收集的數據表明正態分布是一合理的假設。輪胎預期使用超過40000英里的比率是多少？假設Grear公司正在考慮一項擔保：如果原裝的輪胎沒有超過擔保中設定的里程，公司將折價更換輪胎。如果Grear公司希望符合折價擔保的輪胎不超過10%，則擔保里程應為多少？z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.96331.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.97061.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.98572.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.98902.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.99162.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.99362.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.99522.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.99630.99642.70.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99720.99730.99742.80.99740.99750.99760.99770.99770.99780.99790.99790.99800.99812.90.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99860.99863.00.99870.99870.99870.99880.99880.99890.99890.99890.99900.9990練習P14612.2003年1月，美國工人工作時在因特網上平均用時77小時（CNBC，2003年3月15日）。假設美國工人在因特網上的用時服從正態分布，總體均值為77小時，標準差為20小時。隨機選取一名工人，則他花在因特網上的時間低于50小時的概率是多少？b.在2003年1月，有多大比例的工人花在因特網上的時間超過100小時？c.如果某人在因特網上的用時排名在前20%，則認為他屬于“高頻用戶”。試問，如果某名工人屬于“高頻用戶”，那么他在因特網上的工作時間至少應該有多少小時？

統計圖表30二項概率的正態近似二項分布的圖形xpn=5,p=0.5n=10,

p=0.5xn=20,

p=0.5n=30,

p=0.5n=5,

p=0.3n=10,

p=0.3n=20,

p=0.3n=50,

p=0.3p=0.2,n=50=0.2,n=20p=0.2,n=5p=0.2,n=10p=0.2,n=20二項概率的正態近似在試驗數大于20，np≥5和n(1-p)≥5情況下，正態概率分布給出一易于使用的二項概率近似。例：某公司有10%的發票出錯的歷史。一個有100張發票的樣本已選好，計算有13張發票有錯的概率。連續修正因子：當用連續正態概率分布來近似離散二項概率分布時，從x值加減的0.5值。練習已知一種主要的全國信用卡的所有持卡人中有30%在發生任何利息之前已全額支付了其帳單。利用二項分布的正態近