第3章動量原理與動量守恒

Momentum

內容提要動量原理動量守恒定律質心及其運動§3-1動量定理上式表明:質點所受合外力的沖量等于質點動量的增量。這一結論稱為質點動量定理。一.質點動量定理沖量,

對恒力F,(3-1)定義:說明：1.動量定理表示：力在一段時間過程內的累積效果，僅適用于慣性系統；3.動量定理的分量式2.沖量是矢量，其大小和方向由微分沖量的和矢量決定，是過程量，而是狀態量之差；4.平均沖力的概念FxOt(s)Fx(N)t1t2

例題3-1煤粉自高h=0.8m處的料斗口自由落在傳送帶A上。設料斗口連續卸煤的流量為qm=40kg/s,傳送帶A的速度=3m/s。求卸煤的過程中，煤粉對傳送帶A的平均作用力的大小和方向。(不計相對傳送帶靜止的煤粉質量，取g=10m/s2）

取在時間dt內落下的煤粉dm=qmdt為研究對象,由動量定理有解煤粉下落h時的速度Ah圖3-20(1)單位矢量法xyo

根據牛頓第三定律，煤粉對傳送帶A的平均作用力與此力大小相等而方向相反。F=40(-o)=40(3i+4j)=3,o=4=53.1o

大小:F=200N,與x軸正方向的夾角:Ah圖3-20由圖可求得煤粉對傳送帶A的平均作用力的大小:畫出=-0的

矢量三角形如右圖所示。(2)三角形法方向與圖中的方向相反。oFAh圖3-20=3,o=4=53.1o

*例題3-2一質量均勻分布的柔軟的細繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。

此時落在桌面上的繩m=h受力:

證設繩的線密度為。任意時刻t(下落h時),繩的速度為重力mg、桌面的支持力N、落下繩的沖力F。由右下圖可知:N=mg+F。圖3-3mNFmgm取時間t~t+dt內落下的繩dm=.dt為研究對象，由動量定理得F.dt=dm.=.2dt所以F=.2

N=mg+F所以F=.2=.2gh=2mg最后得:N=mg+F=3mg即:作用于桌面的壓力是重量的三倍。已知圖3-3NFmgmmFdmdmg練習：勻速圓錐擺運動，速率為v、半經為R,當質量為m質點從a點繞行半周到b點，求此過程中繩中張力的沖量。解：重力的沖量（恒力的沖量）張力的沖量（變力的沖量）由動量定理vavbab共有N個粒子，外力用F，內力（即粒子之間的相互作用）用f表示，則第i粒子的運動方程對所有粒子求和二、質點系動量定理········ij牛頓第三定律若質點系所受合外力為零，則總動量不隨時間改變.質點系所受合外力為零，總動量不隨時間改變，即1.合外力為零，或外力與內力相比小很多；2.合外力沿某一方向為零，則3.只適用于慣性系；§3-2動量守恒定律例3-4：炮車以角發射一炮彈，炮車質量為M，炮彈質量為m，炮彈出口速度為v（對炮車）求：炮車反沖速度V（炮車與地面磨擦力忽略不計）解：炮車與炮彈為一系統，在水平方向動量守恒炮彈對地速度的x分量：由動量守恒定律（對地）反沖速度：MmXvVu例3-5：船長L=4m，質量M=150kg，靜止浮在水面，有質量m=50kg的人從船頭走到船尾。求：人和船對岸各移動的距離（水阻力不計）。解：與分別表示任一時刻船和人相對于岸的速度，水平方向（x）動量守恒可得：OXYVLx2x0x1Ss

例題3-6

兩個質量分別為M和m的三棱柱體如圖靜止放置，其水平尺寸如圖，各處光滑。求當m的下邊緣滑到水平面時，M在水平面上移動的距離。

解系統(M和m):水平方向不受外力，故水平方向動量守恒。設M與m相對地面的速度分別是V和，m相對于M的速度為,則

mx-MV=0(1)由相對運動公式有

x=a圖3-7bmMxoVx-V

(2)

(M+m)Vx=mx

將上式對時間t積分，有:所以M在水平面上移動的距離：是m相對于M在水平方向移動的距離。=S

是M相對水平地面移動的距離；將

x=x-Vx代入mx-MVx=0得：a圖3-7bmMxoV例3-7.炮彈爆炸后的運動一炮彈飛行到其拋物線軌道的頂點時爆炸成質量相等的兩塊,如圖所示.爆后一秒鐘,解：由于爆炸力遠大于重力，所以炮彈爆炸前后動量守恒：Hx1x2Lα笫一塊落到爆炸點正下方的地面上,此處距拋出點的水平距離為L.問第二塊落在距拋出點多遠的地面上.設不計空氣阻力。H=19.6m,L=100m。可求得：爆炸后第一塊和第二塊的運動方程Hx1x2Lα例3-8質量為M的人手里拿著一個質量為m的物體。此人用與水平面成角的速率v0向前跳去。當他達到最高點時,他將物體以相對于人為u的水平速率向后拋出。問由于人拋出物體,他跳的距離增加了多少?設人可視為質點。解:以人和物為系統,跳躍過程只受重力作用,系統水平方向動量守恒．U是m相對于地的絕對速度：x人從最高點到地面的運動時間所以人跳躍的距離增加為水平方向速度增加了注意這兩個例題的差別，什么情況下動量守恒，什么情況下動量的分量守恒。N個粒子系統，可定義質量中心質心xyzmi§3-3質心及其運動對連續分布的物質，可以將其分為N個小質元說明：

1.質心是物體運動中由其質量分布所決定的一個特殊點。2.質心與重心是不同概念，質量中心或稱質心，指物質系統上被認為質量集中于此的一個假想點。與重心不同的是，質心不一定要在有重力場的系統中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質系統的質心與重心不通常在同一假想點上。

-------->質心運動定律說明：1.質心的運動可看成一個質點的運動（質量與合外力集中在質心上）2.內力不能使質心產生加速度，當質點系所受外力為零時，系統動量守恒。

物體中質心的運動是豎直上拋.物體中質心的運動是斜上拋.例題:求:半經為R，所夾圓心角為2α的均質圓弧的質心。

例題3-9如圖3-10所示，開始時人和船都靜止,當人從船的一端走到另一端時,船移動的距離。(設船的質量為M,人的質量為m,船長為l,并忽略水的阻力)。

解(M+m):系統所受合外力為零,質心不動:s圖3-10yxo沖量