二次函數定義

1.自變量的最高次數是2。2.二次項的系數a≠0。3.二次函數解析式必須是整式。注意:當二次函數表示某個實際問題時,還必須根據題意確定自變量的取值范圍.二次函數的解析式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數，a≠0)想一想:函數的自變量x是否可以取任何值呢?駛向勝利的彼岸函數當m取何值時，（1）它是二次函數？（2）它是反比例函數？（1）若是二次函數，則且∴當時，是二次函數。（2）若是反比例函數，則且∴當時，是反比例函數。

解析式

使用范圍一般式已知任意三個點頂點式已知頂點（h,k)及另一點交點式已知與x軸的兩個交點及另一個點y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函數的三種解析式1、一般二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象特點和函數性質返回主頁前進(1)是一條拋物線；(2)對稱軸是:x=-(3)頂點坐標是:(-,)(4)開口方向:a>0時,開口向上；

a<0時,開口向下.2ab4a4ac-b22ab（1）a>0時，對稱軸左側(x<-)，函數值y隨x的增大而減小

；對稱軸右側(x>-)，函數值y隨x的增大而增大。

a<0時，對稱軸左側(x<-)，函數值y隨x的增大而增大；對稱軸右側(x>-)，函數值y隨x的增大而減小。（2）a>0時，ymin=a<0時，ymax=2ab2ab2ab2ab4a4ac-b24a4ac-b2(二)函數性質：返回目錄二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直線x=h直線x=h由h和k的符號確定由h和k的符號確定向上向下當x=h時,最小值為k.當x=h時,最大值為k.在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而增大.

在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而減小.

根據圖形填表：xy0a<0(1)a確定拋物線的開口方向：a、b、c、△、的符號與圖像的關系a>0x0xy0

(2)c確定拋物線與y軸的交點位置:c>0x0?(0,c)c=0xy0?(0,0)c<0xy0?(0,c)(3)a、b確定對稱軸的位置:

xy0x=-b2aab>0x=-b2aab=0xy0x=-b2aab<0xy0x=-b2axy0?(x,0)xy0?(x1,0)?(x2,0)Δ>0Δ=0Δ<0(4)Δ確定拋物線與x軸的交點個數：xy0?xy0?(x,0)1、拋物線y=ax2+bx+c關于x軸對稱的拋物線的解析式為y=-ax2-bx-c2、拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱的拋物線的解析式為y=ax2-bx+c思考：

求拋物線Y=X2-2X+3關于X軸對稱的拋物線的解析式，關于Y軸的拋物線的解析式小結二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:(1)有兩個交點(2)有一個交點(3)沒有交點二次函數與一元二次方程b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點,則b2–4ac≥0(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1,x2,則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點坐標是(x1,0),(x2,0)小結（2）拋物線Y=ax2+bx+c與X軸的交點坐標是（X1,0)(X2,0)，則一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為X1,X2X1+X2=X1X2=題型分析:(一)拋物線與x軸、y軸的交點及所構成的面積例1:填空：(1)拋物線y＝x2－3x＋2與y軸的交點坐標是____________，與x軸的交點坐標是____________；(2)拋物線y＝－2x2＋5x－3與y軸的交點坐標是____________，與x軸的交點坐標是____________．

(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和(,0)23前進例2:已知拋物線y=x2-2x-8，

（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；

（2）若該拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B，且它的頂點為P，求△ABP的面積。(1)證明:∵△=22-4×(-8)=36>0∴該拋物線與x軸一定有兩個交點(2)解:∵拋物線與x軸相交時

x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6而P點坐標是(1,-9)∴S△ABC=27xyABP前進xyOAxyOBxyOCxyOD

例3:在同一直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖象大致為(二)根據函數性質判定函數圖象之間的位置關系答案:B前進

例4、已知二次函數y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點在直線y=x+1上，并且圖象經過點（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函數的最大值是2∴拋物線的頂點縱坐標為2又∵拋物線的頂點在直線y=x+1上∴當y=2時，x=1∴頂點坐標為（1，2）∴設二次函數的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經過點（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函數的解析式為y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x(三)根據函數性質求函數解析式前進例5：

已知二次函數y=—x2+x-—（1）求拋物線開口方向，對稱軸和頂點M的坐標。（2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，求C，

A，B的坐標。（3）畫出函數圖象的示意圖。（4）求ΔMAB的周長及面積。（5）x為何值時，y隨的增大而減小，x為何值時，y有最大（?。┲担@個最大（小）值是多少？（6）x為何值時，y<0？x為何值時，y>0？1232解:（1）∵a=—>0

∴拋物線的開口向上

∵y=—(x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2

∴對稱軸x=-1，頂點坐標M（-1，-2）121212前進

(2)由x=0，得y=--—拋物線與y軸的交點C（0，--—）

由y=0，得—x2+x-—=0x1=-3x2=1

與x軸交點A（-3，0）B（1，0）32323212解0x(3)④連線①畫對稱軸x=-1②確定頂點?(-1,-2)??(0,-–)③確定與坐標軸的交點及對稱點??(-3,0)(1,0)32解0?M(-1,-2)??C(0,-–)??A(-3,0)B(1,0)32yxD

：（4）由對稱性可知MA=MB=√22+22=2√2AB=|x1-x2|=4∴ΔMAB的周長=2MA+AB=2√2×2+4=4√2+4ΔMAB的面積=—AB×MD=—×4×2=41212前進解解0xx=-1??(0,-–)??(-3,0)(1,0)32:(5)?(-1,-2)當x=-1時，y有最小值為y最小值=-2當x≤-1時，y隨x的增大而減小;前進解:0?(-1,-2)??(0,-–)??(-3,0)(1,0)32yx由圖象可知(6)

當x<-3或x>1時，y>0當-3<x<1時，y<0鞏固練習:1、填空：（1）二次函數y=x2-x-6的圖象頂點坐標是___________對稱軸是_________。（2）拋物線y=-2x2+4x與x軸的交點坐標是___________（3）已知函數y=—x2-x-4，當函數值y隨x的增大而減小時，x的取值范圍是___________（4）二次函數y=mx2-3x+2m-m2的圖象經過原點，則m=____。12（—，-—）125

24x=—12（0，0）（2，0）x<122.選擇拋物線y=x2-4x+3的對稱軸是_____________.A直線x=1B直線x=-1C直線x=2D直線x=-2(2)拋物線y=3x2-1的________________A開口向上,有最高點B開口向上,有最低點

C開口向下,有最高點D開口向下,有最低點(3)若y=ax2+bx+c(a0)與軸交于點A(2,0),B(4,0),

則對稱軸是_______A直線x=2B直線x=4C直線x=3D直線x=-3(4)若y=ax2+bx+c(a0)與軸交于點A(2,m),B(4,m),

則對稱軸是_______A直線x=3B直線x=4C直線x=-3D直線x=2cBCA