2022年吉林省遼源市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

2.A.A.

B.

C.

D.不能確定

3.A.2/5B.0C.-2/5D.1/2

4.A.A.sin(x－1)＋C

B.－sin(x－1)＋C

C.sinx＋C&nbsbr;

D.－sinx＋C

5.

6.

7.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

8.

9.=（）。A.

B.

C.

D.

10.

11.輥軸支座(又稱滾動支座)屬于()。

A.柔索約束B.光滑面約束C.光滑圓柱鉸鏈約束D.連桿約束

12.

13.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.極大值f(4，1)=63B.極大值f(0，0)=20C.極大值f(-4，1)=-1D.極小值f(-4，1)=-1

14.

15.

16.設等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

17.

18.設f(x)為連續函數，則()'等于()．A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)

19.

20.A.A.2

B.

C.1

D.－2

二、填空題(20題)21.設y=e3x知，則y'_______。

22.

23.24.

25.

26.設曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，則該切線方程為．

27.設f(x，y)=x+(y-1)arcsinx，則f'x(x，1)=__________。

28.

29.已知∫01f(x)dx=π，則∫01dx∫01f(x)f(y)dy=________。

30.微分方程y"+y'=0的通解為______．

31.

32.33.34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.三、計算題(20題)41.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．42.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．43.求微分方程的通解．

44.

45.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

46.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

47.

48.證明：49.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

50.

51.52.

53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

54.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則55.56.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．57.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．58.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．59.求曲線在點(1，3)處的切線方程．60.四、解答題(10題)61.設y=x2ex，求y'。

62.

63.設y=x2=lnx，求dy。

64.

65.

66.

67.

68.將f(x)=ln(1+x2)展開為x的冪級數．

69.

70.五、高等數學(0題)71.設z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

六、解答題(0題)72.(本題滿分8分)

參考答案

1.B本題考查了已知積分函數求原函數的知識點

2.B

3.A本題考查了定積分的性質的知識點

4.A本題考查的知識點為不定積分運算．

可知應選A．

5.A

6.D

7.D

8.D解析：

9.D

10.B

11.C

12.D

13.D

14.B

15.B

16.B本題考查的知識點為可變上限的積分．

由于，從而知

可知應選B．

17.D解析：

18.C本題考查的知識點為可變上限積分的求導性質．

這是一個基本性質：若f(x)為連續函數，則必定可導，且

本題常見的錯誤是選D，這是由于考生將積分的性質與牛頓-萊布尼茨公式混在了一起而引起的錯誤．

19.D解析：

20.C本題考查的知識點為函數連續性的概念．

21.3e3x

22.y=1/2y=1/2解析：23.124.0

本題考查的知識點為無窮小量的性質．

25.

26.y＝f(1)．

本題考查的知識點有兩個：－是導數的幾何意義，二是求切線方程．

設切點為(x0，f(x0))，則曲線y＝f(x)過該點的切線方程為

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由題意可知x0＝1，且在(1，f(1))處曲線y＝f(x)的切線平行于x軸，因此應有f(x0)＝0，故所求切線方程為

y—f(1)＝0．

本題中考生最常見的錯誤為：將曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程寫為

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而導致錯誤．本例中錯誤地寫為

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)為抽象函數，－些考生不習慣于寫f(1)，有些人誤寫切線方程為

y－1＝0．

27.1

28.

本題考查的知識點為直線的方程和直線與直線的關系．

由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，－1)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

29.π2因為∫01f(x)dx=π，所以∫01dx∫01(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=(∫01f(x)dx)2=π2。30.y=C1+C2e-x，其中C1，C2為任意常數本題考查的知識點為二階線性常系數齊次微分方程的求解．

二階線性常系數齊次微分方程求解的一般步驟為：先寫出特征方程，求出特征根，再寫出方程的通解．

微分方程為y"+y'=0．

特征方程為r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所給微分方程的通解為

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2為任意常數．

31.32.本題考查的知識點為重要極限公式。33.本題考查的知識點為重要極限公式。34.1

35.036.1．

本題考查的知識點為反常積分，應依反常積分定義求解．

37.38.對已知等式兩端求導，得

39.e-3/2

40.解析：41.函數的定義域為

注意

42.

43.

44.

45.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

46.

47.

48.

49.

50.由一階線性微分方程通解公式有

51.

52.

則

53.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

54.由等價無窮小量的定義可知

55.

56.

57.由二重積分物理意義知

58.

列表：

說明

59.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

60.

61.y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=ex(x2+2x)。y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=ex(x2+2x)。

62.

63.

64.

65.

66.

67.68.由于

因此

本題考查的知識點為將函數展開為冪級數．

綱中指出“會運用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麥克勞林展開式，將一些簡單的初等函數展開為x或(x-x0)的冪級數．”這表明本題應該將ln(1+x2)變形認作ln(1+x)的形式，利用間接法展開為x的冪級數．

本題