[課時作業(yè)][A組基礎(chǔ)牢固]1．設(shè)函數(shù)y＝excosx，則y′等于()A．excosxB．－exsinxC．excosx＋exsinxD．excosx－exsinx分析：y′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx.答案：D2．曲線f(x)＝1x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為( )3π3πA.6B.4ππC.4D.3分析：∵f′(x)＝x2－2x，∴f′(1)＝1－2＝－1，∴在x＝1處的切線的傾斜角為3π4.答案：B3．曲線y＝ex在(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為( )922A.4eB．2e22eC．eD.2分析：y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時，y＝－e2；當(dāng)y＝0時，x＝1.∴三角形的面積S＝1×1×|－e2|＝e2，應(yīng)選D.22答案：D4．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝( )A．0B．1C．2D．3分析：y′＝a－1，由題意得y′|x＝0＝2，x＋1即a－1＝2，因此a＝3.答案：D5．設(shè)函數(shù)

f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)數(shù)為

f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列

{

1fn

}(n∈N*)的前

n項(xiàng)和是

(

)n

n＋2A.n＋1

B.n＋1nn＋1C.n－1D.n分析：∵f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝1*n(n＋1)，∴數(shù)列{fn}(n∈N)的前n項(xiàng)和為：＝1＋1＋1＋＋1＝1＋1－1＋＋1－1＝1－1＝nSn1×22×33×4nn＋11－223nn＋1n＋1n＋1.答案：A6．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，則x0的值為________．分析：f′(x0)＝3x02＝3，x0＝±1.答案：±127．函數(shù)f(x)＝2x＋x的導(dǎo)數(shù)為________．分析：設(shè)u＝2x＋x2，故f(x)＝2x＋x2就由f(u)＝u，u＝2x＋x2復(fù)合而成，1111＋x2·(2＋2x)＝u∴f′(x)＝fu′·ux′＝u2(1＋x)＝2.22x＋x1＋x答案：2x＋x28．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝________.分析：f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：－29．(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)；設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值．分析：(1)f(x)＝6x3＋11x2＋5x＋3，∴f′(x)＝18x2＋22x＋5，f′(－1)＝18－22＋5＝1.(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋5，f′(x)＝3x2－4x＋1，2由f′(x0)＝0，得3x0－4x0＋1＝0，解得x0＝1或x0＝1.310．曲線y＝e2xcos3x在(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為5，求直線l的方程．2x2x2x′分析：y′＝(ecos3x)′＝(e)′cos3x＋e(cos3x)2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)e2x(2cos3x－3sin3x)y′|x＝0＝2.則切線方程為y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.若直線l與切線平行可設(shè)直線l方程為2x－y＋c＝0，兩平行線間距離d＝|c－1|＝5?c＝6或c＝－4.5故直線l方程為2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.[B組能力提高]1．已知f(x)＝1x2＋cosx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(x)的圖象是( )4分析：函數(shù)f(x)＝1x2＋cosx，f′(x)＝x－sinx，42－x－sin(－x)＝－x－sinx＝－f′(x)，f′(－x)＝22故f′(x)為奇函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，消除B，D，f′π＝1πππ16·－sin＝12－<0.故C不對，答案為A.2662答案：A2．若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線3215都相切，則a等于()y＝x和y＝ax＋4x－9A．－25B．－1或211或－644C．－7或－25D．－7或74644分析：設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線3332y＝x相切于點(diǎn)(x0，x0)，則切線方程為y－x0＝3x0(x－x0)，即y33x0x－2x0.3又點(diǎn)(1,0)在切線上，代入以上方程得x0＝0或x0＝2.當(dāng)x0＝0時，直線方程為y＝0.由y＝0與y＝ax2＋15254x－9相切，可得a＝－64.32727當(dāng)x0＝2時，直線方程為y＝4x－4.由y＝2727與y＝ax2＋154x－44x－9相切，可得a＝－1.答案：A3．函數(shù)y＝x＋1x在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率等于________．11分析：y′＝(x＋)′＝1－2，xx∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝1－112＝0.答案：04．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________.分析：f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，5πf(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin3x＋φ＋6.5π5π若f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，則f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sinφ＋6，∴φ＋6＝kπ(k∈Z)．π又∵φ∈(0，π)，∴φ＝6.答案：π65．拋物線C1：y＝x2－2x＋2與拋物線C2：y＝－x2＋ax＋b在它們的一個交點(diǎn)處的切線相互垂直．求a，b之間的關(guān)系；若a>0，b>0，求ab的最大值．分析：(1)設(shè)兩拋物線的交點(diǎn)為M(x0，y0)，由題意知x20－2x0＋2＝－x20＋ax0＋b，整理得2x20－(2＋a)x0＋2－b＝0①由導(dǎo)數(shù)可得拋物線C1，C2在交點(diǎn)M處的切線斜率為k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a.因兩切線相互垂直，則有k1k2＝－1，即(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，整理得2[2x20－(2＋a)x0]＋2a－1＝0②5聯(lián)立①和②，消去x0，得a＋b＝2.5(2)由(1)知a＋b＝2，又a>0，b>0，5ab≤(a＋b)2＝(2)2＝25.2216525當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時，取等號，故ab的最大值為16.16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋x＋b(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.求f(x)的分析式；證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求出此定值．1分析：(1)f′(x)＝a－x＋b2，2a＋1＝3，a＝1，9，2＋ba＝4于是1解得或＝0.b＝－1，8a－2＋b2b＝－3.1由于a，b∈Z，故f(x)＝x＋.1(2)證明：在曲線上任取一點(diǎn)x0，x0＋x0－1，1由f′(x0)＝1－x0－12知，過此點(diǎn)的切線方程為y－x02－x0＋1＝1－12(x－x0)．x0－1x0－1令x＝1，得y＝x0＋1，x0－1x0＋1切線與直線x＝1的交點(diǎn)為1，x0－1；令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1