第二章軸向拉伸與壓縮

本章研究拉壓桿的內(nèi)力、應(yīng)力、變形以及材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能，并在此基礎(chǔ)上，分析拉壓桿的強度與剛度問題，研究對象涉及拉壓靜定與靜不定問題。此外，本章還研究拉壓桿連接部分的強度計算。§2.1

軸向拉壓的基本概念軸力與軸力圖§2.2

拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理§2.3

材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能§2.4

失效、許用應(yīng)力與強度計算§2.5

胡克定律與拉壓桿的變形§2.7

簡單拉壓靜不定問題

§2.8

溫度應(yīng)力與裝配應(yīng)力*§2.9

應(yīng)力集中的概念§2.6

軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能§2.1

軸向拉壓的基本概念軸力與軸力圖一、工程實例二、概念1、計算簡圖：2、軸向拉壓的受力特點

作用于桿件上的外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合。

3、軸向拉壓的變形特點桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長或縮短。三、軸向拉壓桿件的內(nèi)力計算mnmn由桿件在水平方向的平衡，有mn注意：1）軸向拉壓桿橫截面上的內(nèi)力為軸力2）軸力的正負號規(guī)定：以拉為正，以壓為負3）在列靜力學(xué)平衡方程時是根據(jù)力在坐標系中的方向來規(guī)定力的符號；而材料力學(xué)中，則是根據(jù)構(gòu)件的變形來規(guī)定內(nèi)力的符號的。1、軸力（截面法）2、軸力圖

以軸力FN

為縱坐標，截面位置為橫坐標，桿件的軸力沿軸線方向的變化曲線——軸力圖32KN3KNA312215KNBC例已知桿件的形狀和受力如圖所示，試繪出其軸力圖。分析：由圖可知該桿受有三個外力，各外力作用于不同的橫截面。因此，為了求出各截面的軸力，必先分段求出AB段BC段的軸力。解：（1）AB段：A2KNFN1沿1-1面將桿件截開，假設(shè)軸力為正得由（2）對BC段：A32KN312215KNBFN2設(shè)2-2面將桿件截開，假設(shè)軸力為正223KNCFN2‘得同樣，取右半段也可由由32KN3KNA312215KNBC(3)作軸力圖思考：3-3截面的軸力如何？223KNCFN2得（壓力）注：一般假設(shè)軸力為正由32KN3KNA312215KNBCxFN2KN3KN-+幾點說明：(1)不能在外力作用處截取截面。(2)截面內(nèi)力不一定等于其附近作用的外力。(4)軸力不能完全描述桿的受力強度。(3)軸力與截面尺寸無關(guān)。下面來看幾道思考題：一、應(yīng)力分析的基本方法實驗------假設(shè)

--------理論分析二、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力1、實驗§2.2

拉壓桿的應(yīng)力一、應(yīng)力分析的基本方法二、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力1、實驗2、假設(shè)平面假設(shè)橫截面變形后仍保持為平面，并與軸線垂直。任意兩個橫截面間各條縱線的伸長相同。實驗------假設(shè)

--------理論分析3、理論分析（1）幾何分析所有小元素體（小方格）變形一樣。ΔxΔx+Δu（2）物理分析根據(jù)物理學(xué)知識，當變形為彈性時，變形與力成正比。各纖維變形相同各纖維所受內(nèi)力相等橫截面上的內(nèi)力均勻分布橫截面上的應(yīng)力均勻分布，且垂直于橫截面結(jié)論：橫截面上只有，且均勻分布。（1）幾何分析（2）物理分析（3）靜力學(xué)分析與A的形狀無關(guān)正負號規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負注：3、理論分析圣維南(SaintVenant)原理：

作用于物體某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用一個與之靜力等效的力系來代替。而兩力系所產(chǎn)生的應(yīng)力分布只在力系作用區(qū)域附近有顯著的影響，在離開力系作用區(qū)域較遠處，應(yīng)力分布幾乎相同。分析:

BC桿是拉桿,BC桿的拉力可通過B點的受力平衡求得.

如圖所示,斜桿BC為直徑d=20mm的鋼桿,重物G=15KN,求G在圖示B點時,斜桿BC橫截面上的應(yīng)力.(sinα=0.39)ACBG例解:

B點受力如圖。αGα∴斜桿BC的軸力為:∴桿BC橫截面受的應(yīng)力為:

如圖所示,斜桿BC為直徑d=20mm的鋼桿,重物G=15KN,求G在圖示B點時,斜桿BC橫截面上的應(yīng)力.(sinα=0.39)例ACBGACBG3、應(yīng)力的單位是N/m2,即Pa.計算時要注意單位一致。討論:1、懸臂吊車，懸吊的重物由A點移到B點時，桿BC受拉力逐漸增大，在B點時，BC桿所受拉力最大。2、計算應(yīng)力前必須正確計算軸力。二、軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力——斜截面的面積——斜截面上的應(yīng)力將斜截面上的應(yīng)力分解為：——斜截面上的正應(yīng)力；——斜截面上的切應(yīng)力。而：有：軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力：（1）（2）（4）（3）討論：應(yīng)力正方向如圖示n§2.3

材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能研究材料力學(xué)性質(zhì)的原因：量才使用一、什么是材料的力學(xué)性質(zhì)？材料在外力作用下表現(xiàn)出來的強度與變形方面的宏觀性能，如：彈性、塑性、強度、剛度、斷裂韌性等。（1）不同的材料，甚至同種材料的不同個體，也可能有不同的力學(xué)性質(zhì)。（2）不同的構(gòu)件對材料的力學(xué)性能的要求不同，如：機械上的軸、齒輪要求材料的剛度要好，因此要選用一些優(yōu)質(zhì)合金鋼；機器的底座主要承受壓力，要求抗壓能力要好，因此常選用鑄鐵。（3）為某一構(gòu)件選擇適當?shù)牟牧稀⒊叽缁蛴嬎阕冃蔚榷家啦牧系牧W(xué)性質(zhì)。2、實驗分析的目的二、研究材料的力學(xué)性質(zhì)的方法1、材料的力學(xué)性質(zhì)受很多因素影響a.受力方式：拉、壓、彎、扭、剪，性質(zhì)不同。b.受力性質(zhì)：靜載荷、動載荷c.受力狀態(tài)：單向、二向、三向受力狀態(tài)。d.受力環(huán)境：常溫、低溫、高溫等。

☆本節(jié)是研究軸向拉壓構(gòu)件在常溫、常壓、靜載荷作用下的力學(xué)性質(zhì)。a.測定材料的力學(xué)性質(zhì)c.解決某些復(fù)雜問題d.培養(yǎng)科學(xué)工作的能力。——實驗分析b.驗證理論三、材料的拉伸實驗應(yīng)力應(yīng)變曲線Ⅰ試件：形狀：圓形截面任意形狀截面標準試件的比例尺寸：l——試件的工作段長度，稱為標距。A——其他試件截面積。圓形截面試件長試件：短試件：其他截面試件長試件：短試件：為推薦尺寸為材料尺寸不足時使用萬能試驗機電子試驗機通過該實驗可以繪出載荷—變形圖和應(yīng)力—應(yīng)變圖。Ⅱ

試驗設(shè)備：液壓萬能試驗機或電子萬能試驗機液壓式萬能試驗機底座活動試臺活塞油管Ⅲ

低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能1.

試驗過程：拉伸圖：應(yīng)力應(yīng)變曲線：A——試件原始的截面積l——試件原始標距段長度變形是彈性的，卸載時變形可完全恢復(fù)Oa段——直線段，應(yīng)力應(yīng)變成線性關(guān)系——材料的彈性模量(直線段的斜率)——Hooke定律——直線段的最大應(yīng)力，稱為比例極限；——彈性階段的最大應(yīng)力，稱為彈性極限。一般材料，比例極限與彈性極限很相近，近似認為：2.低碳鋼拉伸的四個階段：（1）彈性階段（ob段）（2）屈服階段（bc段）屈服階段的特點：——屈服階段應(yīng)力的最小值稱為屈服極限；重要現(xiàn)象：在試件表面出現(xiàn)與軸線成45°的滑移線。屈服極限——是衡量材料強度的重要指標；低碳鋼：應(yīng)力變化很小，變形增加很快，卸載后變形不能完全恢復(fù)(塑性變形)。（3）強化階段（ce段）特點：若要繼續(xù)增加變形，須增加拉力，材料恢復(fù)了抵抗變形的能力。——強化階段應(yīng)力的最大值，稱為強度極限；是衡量材料強度另一重要指標。低碳鋼：卸載定律在強化階段某一點d卸載，卸載過程應(yīng)力應(yīng)變曲線為一斜直線，直線的斜率與比例階段基本相同。冷作硬化現(xiàn)象在強化階段某一點d卸載后，短時間內(nèi)再加載，其比例極限提高，而塑性變形降低。dd（4）局部變形階段（ef段）特點：名義應(yīng)力下降，變形限于某一局部出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象，最后在頸縮處拉斷。低碳鋼拉伸的四個階段：（1）彈性階段（ob段）（2）屈服階段（bc段）（3）強化階段（ce段）（4）局部變形階段（ef段）d3.

低碳鋼的強度指標與塑性指標：(1)強度指標：——屈服極限；——強度極限；(2)塑性指標：

設(shè)試件拉斷后的標距段長度為l1，用百分比表示試件內(nèi)殘余變形（塑性變形）為——稱為材料的伸長率或延伸率；是衡量材料塑性性能的重要指標；塑性材料：脆性材料：低碳鋼：典型的塑性材料。

設(shè)試件原始截面的面積為A，拉斷后頸縮處的最小面積為A1，用百分比表示的比值——稱為斷面收縮率；也是衡量材料塑性性能的指標；——伸長率或延伸率；——斷面收縮率。如鑄鐵、巖石等塑性材料、脆性材料并不是絕對的，可以相互轉(zhuǎn)化，如：鋼材在-400C~-500C時，易脆斷，或在三相受拉時也是脆斷；巖石在地殼深處的高溫中也會發(fā)生很大變形，甚至熔化。因此，應(yīng)該說材料在某種條件下是塑性狀態(tài)或脆性狀態(tài)。4、其它塑性材料拉伸時的力學(xué)性能30鉻錳鋼50鋼A3鋼硬鋁青銅名義屈服極限

對于在拉伸過程中沒有明顯屈服階段的材料，通常規(guī)定以產(chǎn)生0.2％的塑性應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力作為屈服極限，稱其為名義屈服極限，用σ0.2來表示。名義屈服極限：EEⅣ、鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能沒有明顯的直線段，拉斷時的應(yīng)力較低；沒有屈服和頸縮現(xiàn)象；拉斷前應(yīng)變很小，伸長率很小；強度極限是衡量強度的唯一指標。四、材料壓縮時的力學(xué)性能常溫、靜載

試件和實驗條件Ⅰ、低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線拉伸壓縮壓縮Ⅱ、鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能1.壓縮強度極限遠大于拉伸強度極限，可以高4-5倍。2.材料出現(xiàn)明顯的塑性變形（壓鼓），并沿450~550方向斷裂，主要是剪應(yīng)力的作用。脆性材料的抗壓強度一般均大于其抗拉強度。拉伸討論：因材使用

1、由于低碳鋼等塑性材料抗拉性能及塑性好，且耐沖擊,故可做機器中許多零部件。特別是受拉構(gòu)件。

2、合金鋼性能好可做主軸、齒輪軸承、彈簧等零件，但價格較貴。3、鑄鐵等脆性材料抗壓性能優(yōu)于抗拉性能，可做機器底座、齒輪箱等受壓部件。§2.4

失效、許用應(yīng)力和強度計算一、失效1、失效的形式：——會引起斷裂——將產(chǎn)生屈服或顯著塑性變形斷裂和屈服是構(gòu)件失效的兩種形式通常將強度極限與屈服極限稱為極限應(yīng)力2、極限應(yīng)力脆性材料：塑性材料：3、工作應(yīng)力根據(jù)分析計算所得構(gòu)件之應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力.

在理想的情況下，為了充分利用材料的強度，似乎可使構(gòu)件的工作應(yīng)力接近于材料的極限應(yīng)力。但實際上不可能，原因：1）主觀設(shè)定的條件與客觀實際之間還存在差距，有可能使構(gòu)件的實際工作條件比設(shè)想的要偏于不安全；2）構(gòu)件需要必要的安全儲備；二、許用應(yīng)力其中[σ]為許用應(yīng)力。

為了保證構(gòu)件能安全地工作，須將其工作應(yīng)力限制在較極限應(yīng)力更低的范圍內(nèi)，即將極限應(yīng)力除以一個大于1的安全系數(shù)n,作為構(gòu)件工作應(yīng)力所不允許超過的數(shù)值。這個應(yīng)力值稱為材料的許用應(yīng)力。其中：σs為塑性材料的屈服極限，σb為脆性材料的強度極限，ns、nb分別為塑脆性材料的安全系數(shù)，ns、nb

>1.三、強度條件

為了保證構(gòu)件在工作時不致因強度不夠而破壞，構(gòu)件內(nèi)的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力，即——強度條件例，對于等截面拉壓桿，其強度條件為：注意：如果工作應(yīng)力超出了許用應(yīng)力，但只要不超出許用應(yīng)力的5%，在工程上仍然是允許的。軸向拉壓桿的強度計算一、強度條件二、強度計算的三類問題1、校核桿的強度2、設(shè)計截面尺寸3、確定許可載荷——強度條件——等截面直桿的強度條件解：（1）計算內(nèi)力（軸力），（2）校核強度故此桿滿足強度要求，安全。例：已知[σ]=160MPa，A1=300mm2

，A2=140mm2試校核該桿的強度。（分段校核）作軸力圖例：圖示結(jié)構(gòu)，ABCD為剛體，受力及尺寸如圖。各桿均由四根相同的等邊角鋼組成：桿1的四根角鋼型號：桿2的四根角鋼型號：桿3的四根角鋼型號：,試校核該結(jié)構(gòu)的強度。解：（1）先求各桿的軸力（截面法）mm123100kNA1m2mBCDHK400kN1m1m123100kNA1m2mBCD400kNxy解得：（2）計算各桿的應(yīng)力，并與[σ]比較由型鋼表查得：綜合上述情況：該結(jié)構(gòu)強度不夠。123100kNA1m2mBCDHK400kN1m1m（3）改進設(shè)計若將桿2改用等邊角鋼的型號：桿2截面積：整個結(jié)構(gòu)滿足強度要求。例：圖示結(jié)構(gòu)。鋼桿1為圓形截面，直徑d=16mm，[σ]1=150MPa；木桿2為正方形截面，面積為100×100mm2

，[σ]2=4.5MPa；尺寸如圖。求節(jié)點B處所能起吊的最大載荷P。解：（1）求兩桿的軸力（用P表示）用截面m-m截結(jié)構(gòu)，取一部分研究由平衡條件，有（2）求許用載荷Pmax（拉力），（壓力）對桿1：ABC2m121.5mBmmxy解得：對桿2：比較P1、P2的大小，應(yīng)取許可最大載荷為：ABC2m121.5mBxy對桿1：即：鋼繩最長不能超過38.46m

如圖所示懸垂鋼絲繩設(shè)全長為l,直徑為d,已知許用應(yīng)力[σ]=300MPa,比重γ=780×103Kg/m3,試求考慮自重時鋼繩最多可懸多長,即l=?例xOx解:（1）求內(nèi)力，確定危險截面如圖確定坐標系,則任一x截面上的內(nèi)力∴

x=0時,即鋼繩的最上端內(nèi)力最大.（2）求l

所求l,即是使x=0的截面在自重作用下不會發(fā)生破壞,即要使其應(yīng)力小于許用應(yīng)力,即xOx解:（1）求內(nèi)力確定危險截面（2）由強度條件求l（1）直徑一定的情況下，

l只與γ,[σ]有關(guān),若要增加l,

只有選高強度或輕質(zhì)的材料才行討論:（2）

作軸力圖

（3）

求任一截面的應(yīng)力xO

如圖所示懸垂鋼絲繩設(shè)全長為l,直徑為d,已知許用應(yīng)力[σ]=300MPa,比重γ=780×103Kg/m3,試求考慮自重時鋼繩最多可懸多長,即l=?例（1）若鐵水包最多容30KN重的鐵水,試校核吊桿的強度.（2）若要鐵水包容納312KN重的鐵水,試重新設(shè)計吊桿的截面尺寸（求出橫截面面積).（3）圖示尺寸最多可使鐵水包盛裝多少鐵水鑄工車間吊運鐵水包的吊桿的橫截面尺寸如圖所示，吊桿材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa,鐵水包自重8KN.例P25mm50mm（1）若鐵水包最多容30KN重的鐵水,試校核吊桿的強度.∴滿足強度條件解:（1）校核強度（A）求軸力（B）求應(yīng)力（C）由強度條件校核鑄工車間吊運鐵水包的吊桿的橫截面尺寸如圖所示，吊桿材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa,鐵水包自重8KN.例P25mm50mm解:（2）設(shè)計尺寸（A）求軸力（B）應(yīng)力（C）由強度條件求橫截面積（2）若要鐵水包容納312KN重的鐵水,試重新設(shè)計吊桿的截面尺寸(只求出橫截面面積).鑄工車間吊運鐵水包的吊桿的橫截面尺寸如圖所示，吊桿材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa,鐵水包自重8KN.例P25mm50mm解:（3）求許可載荷（3）圖示尺寸最多可使鐵水包盛裝多少鐵水?鑄工車間吊運鐵水包的吊桿的橫截面尺寸如圖所示，吊桿材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa,鐵水包自重8KN.例P25mm50mm如圖所示結(jié)構(gòu)，AC為剛性梁，BD為斜撐桿，載荷F可沿梁AC水平移動。已知梁長為L,節(jié)點A和D間的距離為h。試問為使斜撐桿的重量最輕，斜撐桿與梁之間的夾角應(yīng)取何值？解:由得:顯然當時，軸力最大，設(shè)斜撐桿的軸力為載荷的位置用坐標表示例根據(jù)強度條件，斜撐桿所需最小橫截面積為斜撐桿的體積可見，要使體積最小，即得:§2.5

軸向拉伸或壓縮的變形研究軸向拉壓變形的目的1、分析軸向拉壓剛度問題2、求解軸向拉壓靜不定問題——胡克定律疊加法、能量法研究軸向拉壓變形的基礎(chǔ)研究軸向拉壓變形的方法幾何法、bll1b1拉、壓桿件的變形縱向變形橫向變形一、縱向變形、胡克定律縱向變形軸向應(yīng)變橫截面應(yīng)力由材料的拉伸試驗，在彈性階段有——胡克定律——變形和載荷表示的胡克定律說明：當應(yīng)力低于比例極限時，桿件的伸長Δl

與拉力F

和桿原長

l成正比，與橫截面積A

和彈性模量E

成反比。EA——

抗拉剛度橫向變形：橫向應(yīng)變：橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的關(guān)系：——稱為泊松比（橫向變形因數(shù)）μ和E

，是材料的兩個彈性常數(shù)，由實驗測定。μ是一個無量綱量。實驗結(jié)果表明，在彈性范圍內(nèi)有二、橫向變形與泊松比μ碳鋼：μ＝0.24-0.28，鑄鐵：μ＝0.23-0.27

=常數(shù)注：bll1b1三、多力桿的變形與疊加原理方法一1、先求內(nèi)力（截面法）AB段：BC段：AB段：BC段：2、求變形（胡克定律）總變形：——變形疊加法——載荷疊加法分別考慮每一個載荷單獨作用時桿的軸向變形（1）載荷F1單獨作用時桿的軸向變形（2）載荷F2單獨作用時桿的軸向變形（3）總變形方法二圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長△l解:例：圖示圓截面桿，已知F=4KN，l1=l2=100mm,彈性模量E=200GPa。為保證桿件正常工作，要求其總伸長不超過0.01mm，即許用變形

=0.01mm.試確定直徑d。桿段AB與BC的軸力分別為:桿段AB與BC的軸向變形分別為:桿AC的總變形:解:例：由剛度條件，取，得，即，例：圖示桿件，受四個相等的力F作用，BC段的變形應(yīng)等于A.CD或AB段的縮短B.桿件的總變形C.CD、AB段縮短之和D.不產(chǎn)生變形題3四、桁架節(jié)點的位移求法“以切代弧”方法“以切代弧”A4例解：圖示托架，由橫梁AB與斜撐桿CD所組成，并承受集中載荷F1和F2作用。試求梁端A點的鉛垂位移。已知：F1=5KN,F2=10KN,L=1m;斜撐桿CD為鋁管，彈性模量E=70GPa，橫截面面積A=440mm2.橫梁視為剛體。1、計算桿的軸向變形設(shè)斜撐桿所受壓力為得：由胡克定律,得斜撐桿的軸向變形2、計算A點的鉛垂位移圖示結(jié)構(gòu)，抗拉剛度均為EA，1桿長為l,當節(jié)點B處受外力F作用時，節(jié)點B的垂直位移和水平位移分別為:例§2.6

軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能彈性體在外力作用下，因變形而儲存的能量稱為變形能（或應(yīng)變能）。1變形能

●

力的功當應(yīng)力小于比例極限時◆

力的元功FlDl◆

力的總功FdF拉伸曲線FDld(Dl)Dl1F1Dl當應(yīng)力小于比例極限時FlDl◆

力的總功FdF拉伸曲線FDld(Dl)Dl1F1Dl●變形能由能量守恒原理根據(jù)胡克定律，故：單位體積內(nèi)的變形能。2比能(應(yīng)變能密度)d拉伸曲線d11單元體上下兩面的力為:當應(yīng)力有一個增量d時,x方向伸長的增量為:取一單元體：sdxdydzsx方向的伸長為:則元功為:力所作的功為:d拉伸曲線d11sdxdydzs力所作的功為:所以:比能:當應(yīng)力小于比例極限時比能:當應(yīng)力小于比例極限時由胡克定律或:●

由比能求應(yīng)變能◆

應(yīng)力分布均勻時◆

應(yīng)力分布不均勻時推廣到多桿系統(tǒng)由能量守恒原理有◆

應(yīng)力分布均勻時例

(書例2.9)解：已知:

BD桿外徑90mm，壁厚2.5mm，桿長l=3m。E=210GPa。BC是兩條鋼索，每根截面積172mm2，E1=177GPa。P=30kN,不考慮立柱變形。求:B點垂直位移。解三角形得BC=l1=2.20m,CD=1.55mBC、BD的截面積分別為

A1＝344mm2,A=687mm2取B點，受力如圖：PP取B點，受力如圖：ＦＮ１=1.41P,ＦＮ２=1.93P

外力P所作的功等于BC及BD桿的變形能，所以PP§2.7

簡單拉壓靜不定問題一、兩類問題靜定問題：對于桿或桿系結(jié)構(gòu)，其約束反力或桿的內(nèi)力（軸力）均可由靜力學(xué)的平衡方程求出，這類問題稱為靜定問題。

一、兩類問題靜定問題：對于桿或桿系結(jié)構(gòu)，其約束反力或桿的內(nèi)力均可由靜力學(xué)的平衡方程求出，這類問題稱為靜定問題。靜不定問題：對于桿或桿系結(jié)構(gòu)，其約束反力或桿的內(nèi)力僅用靜力學(xué)的平衡方程不能夠求出，這類問題稱為靜不定問題。

靜不定問題靜不定次數(shù)：在靜不定結(jié)構(gòu)中，未知力（桿的內(nèi)力或約束反力）的個數(shù)多于平衡方程的數(shù)目，兩者的差值稱為靜不定次數(shù)。多余約束：對于結(jié)構(gòu)的平衡來說，某些桿件或約束是多余的，稱之為多余約束；相應(yīng)于多余約束的未知力稱為多余約束反力。注：多余約束的個數(shù)等于靜不定次數(shù)二、靜不定問題的解法靜不定系統(tǒng)的變形是系統(tǒng)的，而不是單個的某一個桿件的變形，故為了維護其系統(tǒng)性，組成系統(tǒng)的各個構(gòu)件的變形應(yīng)該是統(tǒng)一的，協(xié)調(diào)的。

由協(xié)調(diào)的變形條件可列出補充方程，謂之變形協(xié)調(diào)條件。（建立補充方程）找出變形協(xié)調(diào)條件、建立補充方程是解決靜不定問題的關(guān)鍵。求解步驟：判定靜不定次數(shù)列靜力學(xué)平衡方程（畫出受力圖）列變形協(xié)調(diào)條件（畫出位移變形圖）列物理條件（力與變形的關(guān)系，即胡克定律）建立補充方程將平衡方程與補充方程聯(lián)立，求解未知量（未知反力或內(nèi)力）例A圖示結(jié)構(gòu)中三桿抗拉剛度均為EA，在外載荷F作用下求三桿軸力？ABCD123解：1、列靜力平衡方程

取節(jié)點A為研究對象，各桿對A的作用力用各自的內(nèi)力代替。可得：（1）（2）ABCD1232、建立變形協(xié)調(diào)條件由變形幾何關(guān)系可得：3、列物理關(guān)系4、建立補充方程（3）（4）（5）將（4）式代入（3）式，可得：5、求解聯(lián)立平衡方程（1）、（2）和補充方程（5），解得：例圖示桁架為幾次靜不定結(jié)構(gòu)？靜力平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程是什么？ABCD123ABD123A圖示的桿件由兩部分組成，在分界處受到P的作用。求A、B處的約束反力。l1l2E1A1E2A2PABCFAFB解：這個問題屬一次靜不定。靜力平衡方程:（1）變形協(xié)調(diào)條件:即由胡克定律:其中建立補充方程:（2）例將方程（1）、（2）聯(lián)立求解，得：應(yīng)如何求解？若：E1A1E2A2δl1l2PABC小結(jié)：靜不定結(jié)構(gòu)是綜合運用了幾何、物理、靜力學(xué)三方面的條件來求解的。

首先，列出靜力平衡方程，判斷靜不定次數(shù)，以確定需要建立的補充方程的個數(shù)；

其次，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程；

再次，利用內(nèi)力和變形之間的物理關(guān)系，即胡克定律，代入幾何方程得到包含各桿內(nèi)力的補充方程。

最后，聯(lián)立求解靜力平衡方程和補充方程，即可求出未知量。圖示結(jié)構(gòu)中，桿AB為剛性桿，設(shè)分別表示桿1和桿2的伸長，表示桿3的縮短，則變形協(xié)調(diào)條件為：練習(xí)圖示結(jié)構(gòu)在節(jié)點C受集中載荷F作用，已知各桿各截面的拉壓剛度均為EA，桿1與桿2的長度均為L。試求各桿的軸力。練習(xí)FAα一、溫度應(yīng)力§2.8

溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力溫度變化引起物體的膨脹或收縮。靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形，不會引起構(gòu)件的內(nèi)力變形量：材料的線脹系數(shù)靜不定結(jié)構(gòu)受到多余約束的作用，往往會引起構(gòu)件的內(nèi)力，亦即引起構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為熱應(yīng)力或溫度應(yīng)力例已知鋼管長為l，抗壓剛度為EA，線脹系數(shù)為，求當溫度升高