第1節數列的概念及簡單表示法

最新考綱：1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)；2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.知識梳理1.數列的定義按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.2.數列的分類分類標準類型滿足條件項數有窮數列項數有限無窮數列項數無限項與項間的大小關系遞增數列an＋1＞an其中n∈N*遞減數列an＋1＜an常數列an＋1＝an擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列3.數列的表示法

數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數列的通項公式

(1)通項公式：如果數列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式.

(2)遞推公式：如果已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.注意提醒：1.若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝2.數列是按一定“次序”排列的一列數，一個數列不僅與構成它的“數”有關，而且還與這些“數”的排列順序有關.3.易混項與項數的概念，數列的項是指數列中某一確定的數，而項數是指數列的項對應的位置序號.考點一由數列的前幾項求數列的通項例1．數列0，，…的一個通項公式為()A．an＝(n∈N*)B．an＝(n∈N*)C．an＝(n∈N*)D．an＝(n∈N*)考點突破答案：C[注意到分子0,2,4,6都是偶數，對照選項排除即可．]例2．寫出下面各數列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，…；(2)…；(3)3,33,333,3333，…；(4)－1,1，－2,2，－3,3….[解](1)各項減去1后為正偶數，所以an＝2n＋1.(2)數列中各項的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數列21,22,23,24，…，所以an＝(－1)n＋1

.

.(3)將數列各項改寫為…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．(4)數列的奇數項為－1，－2，－3，…可用－表示，數列的偶數項為1,2,3，…可用表示．

因此an＝方法總結：由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理.考點二由an與Sn的關系求通項例1.若數列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數列{an}的通項公式an＝________.解：當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1

＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．故數列的通項公式為an＝例2.若數列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝________.解：由Sn＝an＋，得當n≥2時，Sn－1＝an－1＋，兩式相減，得an＝an－an－1，∴當n≥2時，an＝－2an－1，即＝－2.又n＝1時，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，∴an＝(－2)n－1.方法總結：1.已知Sn求an的三個步驟（1）.先利用a1＝S1求出a1；（2）.用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1

,n≥2.便可求出當n≥2時an的表達式；（3）.注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并.2.Sn與an關系問題的求解思路,根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化.（1）.利用an＝Sn－Sn－1,n≥2.轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解；（2）.利用Sn－Sn－1＝an,n≥2.轉化為只含an，an－1的關系式，再求解.考點三由數列的遞推關系求通項

考法1形如an＋1＝an＋f(n)，求an例1.在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，則an等于()A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn解：因為an＋1－an＝＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn，且a1＝2也適合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).考法2形如an＋1＝anf(n)，求an例2.若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數列{an}的通項公式an＝________.解：由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2).所以an＝···…···a1＝···…···1＝，又a1也滿足上式，所以an＝.考法3形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.例2.若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項公式an＝________.解：由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.方法總結：

由數列的遞推關系求通項公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累