第七章趨勢外推預測方法§7.1趨勢外推預測法概述§7.2多項式曲線法§7.3指數曲線法§7.4修正指數曲線法和雙指數曲線法§7.5生長曲線法§7.6增長型曲線模型的識別方法§7.7增長型曲線模型的參數估計§7.8包絡曲線法1§7.1趨勢外推預測法概述統計資料表明，大量社會經濟現象的發展主要是漸進型的，其發展相對于時間具有一定的規律性。趨勢外推預測方法是根據事物的歷史和現實數據，尋求事物隨時間推移而發展變化的規律，從而推測其未來狀況的一種常用的預測方法。趨勢外推法的假設條件是：

(1)假設事物發展過程沒有跳躍式變化，即事物的發展變化是漸進型的。

(2)假設所研究系統的結構、功能等基本保持不變，即假定根據過去資料建立的趨勢外推模型能適合未來，能代表未來趨勢變化的情況。2由以上兩個假設條件可知，趨勢外推預測法是事物發展漸進過程的一種統計預測方法。簡言之，就是運用一個數學模型，擬合一條趨勢線，然后用這個模型外推預測未來時期事物的發展。趨勢外推預測法主要利用描繪散點圖的方法(圖形識別)和差分法計算進行模型選擇。主要優點是：可以揭示事物發展的未來，并定量地估價其功能特性。趨勢外推預測法比較適合中、長期新產品預測，要求有至少5年的數據資料。3趨勢外推法首先由R.賴恩（Rhyne）用于科技預測。他認為，應用趨勢外推法進行預測，主要包括以下6個步驟：

（1）選擇預測參數；

（2）收集必要的數據；

（3）擬合曲線；

（4）趨勢外推；

（5）預測說明；

（6）研究預測結果在制訂規劃和決策中的應用。趨勢外推法是在對研究對象過去和現在的發展作了全面分析之后，利用某種模型描述某一參數的變化規律，然后以此規律進行外推。為了擬合數據點，實際中最常用的是一些比較簡單的函數模型，如線性模型、指數曲線、生長曲線、包絡曲線等。4趨勢外推預測可以分為兩大類：時間序列趨勢外推預測增長型曲線外推預測本章主要講述增長型曲線外推預測，并對時間序列趨勢外推預測進行簡單回顧（§7.1）。時間序列趨勢外推預測又可以分為：樣本序列具有水平趨勢的外推預測法樣本序列具有非水平趨勢的外推預測法樣本序列具有線性趨勢的外推預測法樣本序列具有線性趨勢和季節波動的外推預測法51、樣本序列具有水平趨勢的外推預測法（1）樸素預測法（2）平均數預測法2、樣本序列具有非水平趨勢的外推預測法（1）加權移動平均法式中，為加權因子，滿足6（2）一次指數平滑預測法3、樣本序列具有線性趨勢的外推預測法（1）二次移動平均值預測法（即趨勢移動平均法）7(2)二次指數平滑預測法84、樣本序列具有線性趨勢和季節波動的外推預測法經濟時間序列一般可以分解為四個因素：長期趨勢T、周期變動C、季節因素S和隨機因素I，并有如下三種模型：乘法模型：Y=TCSI

加法模型：T=T+C+S+I

混合模型：Y=TC+SI

下面分別介紹加法型和乘法型序列的趨勢外推預測方法。9（1）加法型序列的外推預測法假設樣本序列為序列yt是加法型，即10求yn+T的預測值，預測步驟如下：第一步，對樣本序列做時段長為3的滑動平均，消去隨機干擾，記滑動平均后的序列為第二步，對求出趨勢線第三步，將序列yt消除線性趨勢因素的影響，求出消去趨勢影響后的序列值Mt

第四步，將Mt值按季節次序重排，如下表1所示，在此假定t=1代表春季，n=20.11對表7.1.1各列算出平均值，依序記為，分別表示樣本序列的季節指數。表7.1.112第五步，對樣本季節指數進行檢驗，若，則符合季節指數的條件，否則，則需對樣本季節指數進行修正。

修正的方法是：若，則將每個減去3/4，即令標準化的季節指數為Si：那么有第六步，運用已求得的Tt，Si即可進行預測，由于是不可預測的隨機干擾，由此得到13例：某市的啤酒銷售量有如表7.1.2的數據序列，試求出第21，22，23，24季度的啤酒銷售量的預測值。表7.1.214解：第一步，按滑動時段長N=3，求出序列的滑動平均值，削去隨機干擾，顯出趨勢求出趨勢線的方程第二步，計算，并將Mt按季節排列，如表7.1.3所示，由于，故需對進行修正，修正后的，即第三步，進行預測，15表7.1.316（2）乘法型序列的外推預測法

設樣本序列為，外推預測公式可表示為現介紹求估計值的傳統分解方法。第一步，對yt序列值分解出長期趨勢因素。假設季節長度為4，只要將序列作滑動長度為4的滑動平均時，即可消除隨機干擾和季節波動影響。記滑動平均值為則滑動平均后的序列，即為線性趨勢因素，故有（2-1）（2-2）17第二步，對yt分解出季節因素與隨機因素，根據以去除yt，得到該式只含季節因素和隨機因素兩個分量。第三步，從中分解出季節因素St。由于，故可采用平均的方法可以消除隨機性影響。但簡單的平均可能把季節影響也消除掉，因此，為保留季節性影響，可將序列(2-3)式按春、夏、秋、冬順序逐年逐季排列，然后，將各年相同季節的相加起來進行平均，這就達到了保留季節性，消除隨機性的目的。

（2-3）18表7.1.4例如，有表7.1.4的數值表，將該表的春季這一欄的值相加求平均值，就得到了消除隨機性的春季季節指數。類似可以求出夏、秋、冬各季的季節指數。分別記為：將這些值相加，得到，與標準的季節指數和有差異，這是由于樣本的隨機性所致。為使所求的季節指數比較接近標準的季節指數，必須對上述樣本季節指數進行調整，使調整后的季節指數總和恰為400。通過調整，季節指數的含義更加明顯了。19第四步，運用(2-2)式的滑動平均后得到的數據序列，建立線性趨勢方程，記為第五步，根據第三、四兩步得到的季節指數St和Tt，即可按要求進行預測，預測公式是20例：某地某種服裝的銷售量有下述季度銷售數據，見表7.1.5。根據表5的數據，繪制出銷售量依時間變化的圖形(見圖7.1.1)。從圖形可以明顯地看出，序列呈季節性變化，季節長度為4。此外，序列有線性長期趨勢，按乘法型序列外推預測法的基本原理，其模式為試求2000年春、夏、秋、冬各季某種服裝的銷售量預測值。21表7.1.522圖7.1.123解：第一步，根據表7.1.5的數據，進行滑動時段長為4的滑動平均，得到如表7.1.6的滑動平均值。這些數值消除了季節波動與隨機干擾的影響，顯示出序列的趨勢變化，見表7.1.6中Tt列中的數據。第二步，將表7.1.6中yt列中的數據除以Tt列中的數據，即得到列的數據，這表示已將從yt中分離出來。第三步，從序列中消除隨機性的影響，分離出季節因素。24表7.1.625表7.1.726將表7.1.6中列的數據，按年、季重排，如表7.1.7，然后，分別計算各季度的均值，這樣便消去了隨機性，保留了季節性。各列的平均值，即為各季的季節指數，又稱為樣本季節指數，對各樣本季節指數求總得與標準季節指數有差異，因此，要作必要的調整，調整的方法是將乘以修正系數由此，得到調整后的季節指數為27第四步，求出趨勢直線方程參數的求估，可用目估法或最少二乘法求出。用目估法求得，則有第五步，進行預測，2000年春季相當于第37季度，由此得到2000年各季度某種服裝的銷售量預測值為28時間序列的基本特征是：其數值是依時間的變化而變化，起伏交替，有起有伏的，有些有某種變化趨勢。增長型曲線是描繪技術或經濟領域中的某些指標依時間變化而呈現出增長(下降)規律性的一種曲線。在取得技術、經濟指標的樣本序列之后，通過建模，進行外推預測，是一種常用的預測方法。如新技術、新產品的發展和更新換代過程，需求增長規律等均可以增長型曲線來描繪。從第二節開始將介紹增長曲線的基本類型和特征，增長曲線模型的識別方法及其參數估計，最后給出預測的案例。29

§7.2多項式曲線法這種增長曲線是一些不同次數的多項式。一般的k次多項式為：上列多項式中，均是模型參數，t是時間變量，yt是經濟指標值。若k不超過3，則參數有明顯的經濟意義，a0為t=0時序列的初始值，a1可解釋為增長的變化速度，a2為加速度，a3為加速度的變化率。301、若增長曲線是一次多項式，則由是常量，表明yt依時間變化過程是一個均衡發展過程。2、若增長曲線為二次多項式，其圖像是二次拋物線。它分為兩支，一支增長為正，一支增長為負。如圖7.2.1所示。因為則，ut是一直線方程，相應地是一常數，說明它的二階增長與時間變化無關。31圖7.2.1（a）（b）32若以一階差分代替一階微分，二階差分代替二階微分，并記類似地以三階差分代替三階微分，那么，對三次多項式，就得到由此得到以下基本規律：若增長曲線為一次曲線，則一階差分為常量；若為二次拋物線，則二階差分為常量，余此類推。33§7.3指數曲線法許多系統特征數據序列，如反映技術進步或經濟增長的時間序列數據，在其未達到飽和狀態之前的成長期內，往往遵循指數曲線增長規律。因此，對發展中的事物，可以考慮用指數曲線進行預測。指數曲線預測模型為：其中，a，b為模型參數；t為時間變量；yt為經濟目標值。341、對于模型當a>0時，若b>0，那么增長曲線yt隨著t的增加無限制的增大；若b<0，那么增長曲線yt隨著t的增加而下降；當t趨向無窮時，yt趨向零。yt以yt=0為其漸近線。如圖7.3.1所示。其特征為：（1）其本質是具有不變增長速度的線性型增長曲線。對模型兩邊取對數，即得：令則（2）是一個常數。352、對于模型當a>0時，若b>1，那么增長曲線yt隨著t的增加無限制的增大；若0<b<1，那么增長曲線yt隨著t的增加而下降；當t趨向無窮時，yt趨向零。yt以yt=0為其漸近線。如下圖示：其特征為：（1）其本質是具有不變增長速度的線性型增長曲線。（2）

是一個常數。36或者，判斷依據可為：當時間序列各期觀測值的一階差比率大致相等，就可以用此指數曲線進行預測。指數曲線模型差分計算表見下表：37例7.3.1：某商品1995—2003年投入市場以來，社會總需求量統計資料如表7.3.2所示，試預測該商品2004年的社會總需求量。38解：第一步，選擇預測模型。(1)描繪散點圖，根據散點圖分布來選擇模型(見圖7.3.2)。可以初步確定選用指數曲線預測模型：39(2)計算一階差比率(如表7.3.3所示)，并結合散點圖最后確定選用哪一種模型。由表7.3.3可知，觀測值yt的一階差比率大致相等，符合指數曲線模型的數字特征。通過以上分析可知，所給統計數據的圖形和數字特征都與指數曲線模型相符，所以，可選用模型40年份199519961997199819992000200120022003時序（t）1234567897.117.606.116.617.117.618.058.619.11表7.3.4觀測值數據轉換表經計算后得：第二步，求模型參數。先對觀測值yt的數據進行變換，使其滿足其變換數據如表7.3.4所示。41根據直線模型，用OLS法可求得：所求指數模型為：第三步，預測2004年的需求量為42§7.4修正指數曲線法和雙指數曲線法一、修正指數曲線法采用指數曲線外推預測，存在預測值隨著時間推移無限增大的問題。這與客觀實際是不一致的，因為任何事物的發展都有其一定的限度，不可能無限增長。例如，一種商品的銷售量，在其市場成長期內可能會按指數曲線增長。但隨著時間的推移，其增長的趨勢可能會減緩以至于停滯。對于這種情況，可以考慮改用修正指數曲線進行預測。修正指數曲線預測模型為（7.4.1）式中：a，b，c均為待定參數。43式（7.4.1）描繪了發展過程有飽和現象的一種增長規律，其中a為飽和值或極限值。

y=a為yt的漸近線，當b>0，yt以a為下漸近線；當b<0，yt以a為上漸近線。參數c可能大于1，也可能小于1，但大于0。這種曲線的主要特征是：線性地變化。對式（7.4.1）兩邊對t求微商，則有令，則由此可見是t的線性函數。44修正指數曲線模型差分計算表見表7.4.1。45為求出a，b和c三個參數，可應用分組法，通常的做法是：

先把整個時間序列數據分成三組，使每組數據個數相等，然后通過各組數據之和求出參數的具體數值。設數據序列（能夠被3整除）為：將其分成每組數據個數相等的3組

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：各組數據之和分別記為：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。46將第Ⅰ組數據分別代入式（7.4.1），有對上述各式兩端求和，得47同理，可得48通過求Ⅱ-Ⅰ、Ⅲ-Ⅱ，并令二者相除，整理得c、b、a為49例7.4.1：某商品1995—2003年的銷售量資料如表7.4.2所示，試預測2004年的銷售量。解：

第一步，選擇模型。

(1)描散點圖，初步確定模型形式。由散點圖7.4.2可以初步確定選用修正指數曲線預測模型50(2)計算一階差比率(如表7.4.3所示)。由表7.4.3可知，yt的一階差比率大致相等。所以，結合散點圖分析，最后確定選用修正指數曲線模型進行預測比較適宜。第二步，求模型的參數(計算表如表7.4.4所示)。5152由表7.4.4有所求模型為第三步，進行預測。即53二、雙指數曲線法雙指數曲線模型其中a、b、c均為參數，t為時間變量。將上式兩邊取對數，得到令則有故稱此種曲線為對數拋物線。由(7.4.2)兩邊對t求微商，得到若令，則得到雙指數曲線的增長特征是呈線性變化。（7.4.2）（7.4.3）54§7.5生長曲線法生物的生長過程一般經歷發生、發展、成熟到衰老幾個階段，在不同的生長階段，生物生長的速度也不一樣。發生初期成長速度較慢，由慢到快；發展時期生長速度則較快；成熟時期，生長速度達到最快而后逐漸變慢；衰老期則幾乎停止生長。指數曲線模型不能預測接近極限值時生物生長的特性值，因為趨近極限值時，生物生長特性值已不按指數規律增長。描述生物生長過程可以考慮運用形狀近似于S型的曲線(稱為S曲線)。本節主要介紹兩種最為常用的生長曲線，即龔珀茲曲線和皮爾曲線（也叫邏輯增長曲線）。55一、龔珀茲曲線模型及其應用龔珀茲曲線和皮爾曲線，均屬于生長曲線回歸預測方法。龔珀茲曲線多用于新產品的研制、發展、成熟和衰退分析。工業產品壽命一般可分為四個時期：一是引入期；二是成長期；三是成熟期；四是衰退期。龔珀茲曲線特別適宜于對處在成熟期的商品進行預測。龔珀茲曲線預測模型為（7.5.1）式中：a，b，k——待定參數，k又稱極限參數，t為時間變量。隨a，b取值的不同，曲線有四種類型，如圖7.5.1所示。56圖7.5.1

龔珀茲曲線一般形狀57對（7.5.1）式兩邊取對數，得到令則可見，它是一種修正的指數曲線，其參數k1，a1，b的求法同前，可用分組法求得。（7.5.2）（7.5.3）581、曲線的性質可通過對（7.5.2）式求一階和二階導數得到：由此可知：當b>1，>0時，有均大于零，所以與均是增函數，增長曲線是yt是凸的。參見圖7.5.1中的曲線Ⅳ，它說明了預測目標值隨時間的延長而不斷地增加。當1>b>0，<0時，有>0，<0，這說明了是時間t的增函數，但則是減函數。由此可知，目標值y雖然隨著時間的推移仍保持增長，但增長的速度卻在下降，因此，y的圖像時凹的，參見圖7.5.1中的曲線Ⅰ。59當b>1，<0時，有<0，<0，說明與均隨t的增大而下降，因此，y隨t的增大而不斷下降，參見圖7.5.1中的曲線Ⅱ。當0<b<1，>0時，有<0，>0，從而不斷下降，其圖像如圖7.5.1中的曲線Ⅲ所示。2、龔珀茲曲線的增長變化特征由(7.5.1)式兩邊對t求微商，得令，代入上式，并兩邊取對數，即得是t的線性函數。60龔珀茲曲線對數一階差的比率表見表7.5.2，當一組統計數據對數一階差的比率大致相等時，就可選用龔珀茲曲線進行預測。

61例7.5.1：某公司1995—2003年的實際銷售額資料如表7.5.1所示。試利用龔珀茲曲線預測2004年的銷售額。62第一步，計算參數k，a和b。即第二步，把k，a和b代入公式，即可得預測模型第三步，進行預測，即63二、皮爾曲線模型（邏輯增長曲線模型）皮爾曲線多用于生物繁殖、人口發展統計，也適用于對產品生命周期進行分析預測，尤其適用于處在成熟期的商品的市場需求飽和量(或稱市場最大潛力)的分析和預測。皮爾曲線函數模型為其中k，a，b是參數，k稱為極限參數，它意味著yt處于飽和狀態時的值。其圖像如圖7.5.2所示。（7.5.4）64圖7.5.21、曲線性質如圖7.5.2這種曲線以其轉折點為中心，兩邊是對稱數，當；當。因此它有上、下兩條漸近線y=k與y=0。圖7.5.2描繪了這樣一種發展過程：初始階段發展是緩慢的，接著是急劇的增長階段，然后是一個平穩的發展時期，最后達到飽和狀態。這是許多技術的發展或某些產品銷售特性的表現形式。例如，企業集團形成發展行為，技術創新擴散的基本規律，電視機、縫紉機的普及過程等均遵從這種S型曲線的增長規律。

652、邏輯曲線的增長變化特征為求出邏輯曲線的增長變化特征，首先對(7.5.4)求導數，得到從而令，對上式兩邊取對數，得到由此可見，是t的線性函數。66參數k，a，b的求取：最常用的方法是倒數和法。對式(7.5.4)兩端取倒數，得式(7.5.5)在形式上已與式(7.2.1)表示的修正指數曲線相同。用倒數和法確定參數k，a，b的具體步驟為：(1)收集的歷史統計數據的樣本數要能夠被3整除，設為(2)將收集到的數據分成每組數據個數相等的3組（7.5.5）Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：67(3)對各組中的樣本數據yt取倒數，用前述分組法步驟可進一步求得k，a，b的值。Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：記：則：68生長曲線模型（Growthcurvemodels）可以描述事物發生、發展和成熟的全過程，是情報研究中常用的一種方法。生物群體的生長，例如人口的增加、細胞的繁延，開始幾乎都是按指數函數的規律增長的。在達到一定的生物密度以后，由于自身和環境的制約作用，逐漸趨于一穩定狀態。通過對技術發展過程的研究，發現也具有類似的規律。由于技術性能的提高與生物群體的生長存在著這種非嚴謹的類似，因而可用生長曲線模擬技術的發展過程。生長曲線法幾乎可用來研究每個技術領域的發展，它不僅可以描述技術發展的基本傾向，而更重要的是，它可以說明一項技術的增長由高速發展變為緩慢發展的轉折時期，為規劃決策確定開發新技術的恰當時機提供依據。有些經濟現象也符合或近似生長曲線的變化規律，因而它也完全可以用來研究經濟領域的問題。69§7.6增長型曲線模型的識別方法在實際預測工作中，通過調查收集到按時間序列變化的系列數據之后，如何根據這些數據，建立增長曲線模型?即在上述6種曲線中，選擇哪一種模型最合適?這就是增長曲線模型的識別問題。下面介紹幾種識別方法。701．目估法（或圖形識別法）這種方法的基本做法是：將調查觀測得到的數據點繪在以時間t為橫軸，觀測值或它的對數值為縱軸的坐標紙上，根據其變化動態構成的圖像，選擇合適的曲線。一般說來，若動態序列接近一條直線，則選配直線模型；若其對數值在半對數坐標紙上構成的圖像接近一直線則選配簡單指數曲線。這種直觀方法的優點是：簡單方便，缺點是：主觀因素較多，而且在很大程度上依賴于圖形的大小。但是，在序列的發展趨勢及其構造比較簡單的情況下，目估法也常常能得到比較滿意的結果。712．殘差平方和最小的識別方法這種方法是以殘差平方和最小作為識別增長曲線模型的最優準則。即：最小。這種方法看起來是比較科學的，排除了目估法中的主觀因素，但在多項式曲線的模型識別中，用這種方法識別的曲線就不一定是“最優”的。因為，它的“最優”，只能說明歷史數據的擬合情況，而不能說明它的未來發展趨勢，因此，這種曲線在預測的前提下不一定是最優的。723．增長特征法所謂增長特征法就是以研究動態序列的增長變化特征與增長曲線的相應特征為基礎的一種識別方法。其基本點就是選擇增長曲線在理論上的變化規律與樣本序列的實際變化規律最接近的一種曲線作為選擇的最優曲線。此法的應用步驟如下：(1)計算樣本序列的滑動平均值。采取這一步驟的主要目的是消除樣本序列的隨機干擾成分，以突出序列本身的固有趨勢。滑動平均值的計算公式是：2p+1稱為滑動時段長，其大小由實際經驗確定。73(2)計算序列的平均增長。平均增長的計算公式為當直線方程中，b表示平均增長，故它的計算公式是74(3)計算樣本序列的增長特征。在§7.2-7.5節中，介紹了增長曲線的不同類型及其特征，我們可以根據這些特征，識別樣本序列屬于何種增長曲線類型。為消除隨機干擾的影響，序列值應以經過滑動平均后的值代替，序列的增長值應以平均增長值代替。根據§7.2-7.5介紹的增長曲線特征，得到如下的增長曲線模型識別表(見表7.6.1)。75表7.6.176例：已知某地的卷煙生產有如下的產量記錄(見表7.6.2)，識別其增長曲線類型。表7.6.2解：采用增長特征法進行識別。首先，以三年滑動平均值作值，然后以計算平均增長，得到如表7.6.3所列的序列與。從表7.6.3可見，(5)，(7)，(8)三列均有線性變化的特征，那么選取何種曲線是最優的選擇?通常的辦法是比較這三者的線性關系的密切程度，也就是分別計算出與時間t的線性相關系數，從中選取最大相關性函數。

77表7.6.378

4、差分法：利用差分法把數據修勻，使非平穩序列達到平穩序列。一階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為：

79差分法識別標準：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型一階差分比率相等或大致相等指數曲線模型一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數曲線模型對數一階差分比率相等或大致相等龔珀茲曲線80§7.7增長型曲線模型的參數估計根據統計數據對曲線模型參數作出估計的方法多種多樣，不同的模型有不同的方法。一般說來，對于多項式曲線、簡單指數曲線和雙指數曲線，只要將曲線適當變形，把它線性化，即可使用線性回歸分析方法，求得待估的參數值。而龔珀茲曲線、修正指數曲線和邏輯曲線的參數估計方法有所不同，現介紹如下。811．邏輯分析法所謂邏輯分析法，就是根據預測對象的自然發展規律，如某些食品消費的已知物理與生理的常規界限，或資源限制與法律限制等，運用邏輯分析的方法，以確定待估參數值。例如，制冷技術的極限參數是-273℃，家用縫紉機最多是一戶購買一臺，其家庭普及率充其量是100％。2．三和法或分組法所謂三和法（或分組法）就是將整個增長序列分為三個相等的時間周期，并對每一個時間周期的數據求和以估計參數。823．三點法所謂參數估計的三點法就是假定曲線通過已知的三個點，即增長序列的始點、中間點和終點。同時，要求相鄰兩點的時間距離相等。現以邏輯曲線的參數估計為例介紹此法。設曲線模型為設增長序列的始點為y0，中間點為y1，終點為y2，相鄰兩點的時間距離均為n。由于這三點均在增長曲線上，故它們均滿足方程，由此得到83聯立求解上式，得：化簡上述k的等式得到一個關于k的二次方程，求出k的兩個根，取其較合理者代入a，b的等式即得a，b的估計值。值得注意的是：利用三點法作參數估計時，只利用了增長序列的三個值，它們只是整個序列的一部分信息，因此難免會產生一些誤差。844．參數估計的優選法前面介紹的三和法和三點法，其優點是應用方便，計算程序簡單，但估計精度比較差。應用最小二乘法于上述參數估計雖然可以把精度提高，但若遇到非線性問題，計算程序就顯得十分繁瑣，不便于應用。為此，介紹一種在優選法的基礎上使用的最小二乘法，并稱這種估計方法為參數模型法。下面以龔珀資曲線為例介紹此法。設曲線模型為若通過某種方式能先估出參數k的值，則（7.7.1）式可以線性化。（7.7.1）85將模型變形為則有若令則模型化為線性模型（7.7.2）86因此，問題歸結為參數點k的選擇問題。現在介紹選擇k的優選方法（又稱0.618法）。優選的標準是使預測值與實測值之差的平方和最小，即以殘差平方和最小為原則。這里的Zt含有參數點k，這是(7.7.2)與普通的線性方程不同的地方。但是，對于每個給定的k，(7.7.2)又是普通的線性方程，因而可以應用線性最小二乘法求出待估參數A、B，從而可得到參數a、b的估計值。87§7.8包絡曲線法科學技術發展過程既有漸進技術進步的成分又有突變因素的影響，對于復雜的技術系統的預測，采用指數曲線和生長曲線均不能勝任，因為它們僅能預測技術發展的量變過程而不能預測出質的飛躍。分析和預測復雜的技術系統，特別是從事長遠預測時，不僅要預測技術發展的量變過程，同時要預測技術發展的質變過程。若用一條相切于這些S形生長曲線的平滑的包絡線來描述這一過程，則可以得到表示一種技術特性發展總體趨勢的曲線，這就是包絡曲線法。88一、概念生長曲線描述一項單元技術的發展過程，而包絡曲線（Envelopcurve）描述整個技術系統的發展過程。一項單元技術有功能特性上限，而由一系列先后相繼的單元技術構成的整個技術系統，不會因單元技術達到性能上限而停止發展。例如，把計算機作為整個技術系統，則分別以電子管→晶體管→中小規模集成電路到大規模集成電路作為邏輯元件的相應計算機就是它的單元技術。隨著單元技術的更替，計算機技術性能在不斷提高。由于單元技術的連續更替，在時間—特性圖上表現為一系列的S曲線，隨時間的推移，后一條S曲線的性能比前一條S曲線的性能有所提高。如果把這一系列S曲線邊成一條包絡曲線，其形狀也往往是一條S曲線。（如圖7.8.1）89包絡曲線有可能揭示預測變量的總趨勢，估計預測變量的可能極限，描述其極限的性質。同時包絡曲線往往要越過現有技術的極限參數，預見或揭示即將出現的新技術。因此，它不僅可以用于預測漸變過程，更主要的是可以用來預測科學和技術發展的突變，即跳躍式發展過程，以及揭示原理上新的發明等。