乘法原理乘法原理知識框架圖7計數綜合7-2乘法原理7-2-1簡單乘法原理的應用7-2-2較復雜的乘法原理應用教學目標教學目標1.使學生掌握乘法原理主要內容，掌握乘法原理運用的方法；2.使學生分清楚什么時候用乘法原理，分清有幾個必要的步驟，以及各步之間的關系．3.培養學生準確分解步驟的解題能力；乘法原理的數學思想主旨在于分步考慮問題，本講的目的也是為了培養學生分步考慮問題的習慣．知識要點知識要點一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學們上課，首先得從家出發到長寧上8點的課，然后得趕到黃埔去上下午1點半的課．如果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再從長寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學們，你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個示意圖，老師必須先的到長寧，然后再到黃埔．這幾個環節是必不可少的，老師是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的．在沒學乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數，把線路找出來，顯而易見一共是10條路線．但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，并且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數，恐怕是要耗費很多的時間了．這個時候我們的乘法原理就派上上用場了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個事情可以分成n個必不可少的步驟（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那么一共可以分成兩個必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n步有N種不同的方法．那么完成這件事情一共有A×B×……×N種不同的方法．結合上個例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個步驟，第1步是從家到長寧，一共5種選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有5×2個可選擇的路線了，即10條．三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個必要步驟；2、每步找種數（每步的情況都不能單獨完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題——比如說老師舉的這個例子就是個路線種類問題；2、字的染色問題——比如說要3個字，然后有5種顏色可以給每個字然后，問3個字有多少種染色的方法；3、地圖的染色問題——同學們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊問題——比如說6個同學，排成一個隊伍，有多少種排法；5、數碼問題——就是對一些數字的排列，比如說給你幾個數字，然后排個幾為數的偶數，有多少種排法．例題精講例題精講模塊一、簡單乘法原理的應用郵遞員投遞郵件由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條，那么郵遞員從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法？（2級）把可能出現的情況全部考慮進去．第一步第二步由分析知郵遞員由A村去B村是第一步，再由B村去C村為第二步，完成第一步有3種方法，而每種方法的第二步又有2種方法．根據乘法原理，從A村經B村去C村，共有3×2=6種方法．如下圖所示，從A地去B地有5種走法，從B地去C地有3種走法，那么李明從A地經B地去C地有多少種不同的走法？（2級）從A地經B地去C地分為兩步，由A地去B地是第一步，再由B地去C地為第二步，完成第一步有5種方法，而每種方法的第二步又有3種方法．根據乘法原理，從A地經B地去C地，共有5×3=15種方法．如下圖中，小虎要從家沿著線段走到學校，要求任何地點不得重復經過．問：他最多有幾種不同走法？（2級）從家到中間結點一共有2種走法，從中間結點到學校一共有3種走法，根據乘法原理，一共有3×2=6種走法．在下圖中，一只甲蟲要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？（2級）甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，需要經過兩步，第一步是從A點到C點，一共有3種走法；第二步是從C點到B點，一共也有3種走法，根據乘法原理一共有3×3=9種走法．在右圖中，一只甲蟲要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？（4級）從A點沿著線段爬到B點需要分成三步進行，第一步，從A點到C點，一共有3種走法；第二步，從C點到D點，有1種走法；第三步，從D點到B點，一共也有3種走法．根據乘法原理，一共有3×1×3=9種走法．在右圖中，一只螞蟻要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復經過．問：這只螞蟻最多有幾種不同走法？（4級）解這道題時千萬不要受鋪墊題目的影響，第一步，A點到C點的走法是3種；第二步，從C點到D點，有1種走法；但第三步，從D點到B點的走法并不是3種，由D出去有2條路選擇，到下一岔路口又有2條路選擇，所總共有2×2=4（種）走法，根據乘法原理，這只螞蟻最多有（種）不同走法．在右圖中，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何點不得重復經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？（4級）從A點沿著線段爬到B點需要分成三步進行，第一步，從A點到C點，一共有3種走法；第二步，從點到點，一共也有3種走法；第三步，從點到點，一共也有3種走法．根據乘法原理，一共有種走法．在右圖中，一只甲蟲要從點沿著線段爬到點，要求任何點不得重復經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法?（6級）解這道題時千萬不要受鋪墊題目的影響，點到點的走法不是3種，而是4種，點到點的走法也是4種，根據乘法原理，這只甲蟲最多有種走法．按下表給出的詞造句，每句必須包括一個人、一個交通工具，以及一個目的地，請問可以造出多少個不同的句子？（4級）1、造一個句子必須包含三個部分，即人、交通工具、目的地．2、那么這個句子可以分成三個部分；第一個步——選擇人物，有三種選擇；第二步——選擇交通工具，有三種選擇；第三個步——選擇目的地，有三種選擇．3、根據乘法原理：3×3×3=27．題庫中有三種類型的題目，數量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的題目中各取一道組成一張試卷．問：由該題庫共可組成多少種不同的試卷？（4級）從該題庫每一類試卷中分三步各選一道題，每一步分別有30、40、45種選法．根據乘法原理，一共有30×40×45=54000種不同的選法，所以一共可以組成54000種不同試卷．文藝活動小組有3名男生，4名女生，從男、女生中各選1人做領唱，有多少種選法？（4級）完成這件事需要兩步：一步是從女生中選1人，有4種選法；另一步是從男生中選1人，有3種選法．因此，由乘法原理，選出1男1女的方法有種．還可以用乘法的意義來理解這道題：男生有3種選法，每選定1個男生，再選1個女生，對應著4種選法，即3個男生，每個男生對應4種選女生的方法，因此選出1男1女共有種方法．小丸子有許多套服裝，帽子的數量為5頂、上衣有10件，褲子有8條，還有皮鞋6雙，每次出行要從幾種服裝中各取一個搭配．問：共可組成多少種不同的搭配(帽子可以選擇戴與不戴)？（4級）小丸子搭配服裝分四步．第一步選帽子，由于不戴帽子可以看作戴了頂空帽子，所以有種選法；第二步選上衣，有10種選法；第三步選褲子，有8種選法；第四步選皮鞋，有6種選法．根據乘法原理，四種服裝中各取一個搭配．一共有種選法，所以一共可以組成2880種不同搭配．要從四年級六個班中評選出學習、體育、衛生先進集體，有多少種不同的評選結果？（4級）第一步選出學習先進集體一共有6種方法，第二步選出體育先進集體一共有6種方法，第三步選出衛生先進集體一共有6種評選方法，根據乘法原理，一共有種評選方法．從四年級六個班中評選出學習、體育、衛生先進集體，如果要求同一個班級只能得到一個先進集體，那么一共有多少種評選方法？（4級）第一步選出學習先進集體共有6種方法，第二步從剩下班級中選出體育先進集體共有5種方法，第三步選出衛生先進集體只剩有4種評選方法，根據乘法原理，共有6×5×4=120種評選方法．從全班20人中選出3名學生排隊，一共有多少種排法？（4級）分三步，分別挑選第一人，第二人，第三人，分別有20，19，18種挑選法，一共有種排法．五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節目．如果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？（6級）五位同學的排列方式共有5×4×3×2×1=120（種）．如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（種）；因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×2=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48=72（種）．10個人圍成一圈，從中選出三個人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？（6級）兩人相鄰的情況有10種，第三個人不能與他們相鄰，所以對于每一種來說，只剩6個人可選，10×6=60（種）共有60種不同的選法．“數學”這個詞的英文單詞是“MATH”．用紅、黃、藍、綠、紫五種顏色去分別給字母染色，每個字母染的顏色都不一樣．這些顏色一共可以染出多少種不同搭配方式？（4級）為了完成對單詞“MATH”的染色，我們可以按字母次序，把這個染色過程分四步依次完成：第1步——對字母“M”染色，此時有種顏色可以選擇；第2步——對字母“A”染色，由于字母“M”已經用過一種顏色，所以對字母“A”染色只有4種顏色可以選擇；第步——對字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已經用去了2種顏色，所以對字母“T”染色只剩種顏色可以選擇；第4步——對字母“H”，染色，由于字母“M”、“A”和“T”已經用去了3種顏色，所以對字母“H”染色只有2種顏色可以選擇．由乘法原理，共可以得到種不同的染色方式．【小結】下面的這棵枚舉樹清晰地揭示了利用乘法原理分步計數的過程：思考一下，如果不要求“每個字母染的顏色都不一樣”，會有多少種不同的染色方式？每個字母都有５種顏色可選，那么染色方式一共有5×5×5×5=625種染色方式．“IMO”是國際數學奧林匹克的縮寫，把這3個字母用3種不同顏色來寫，現有5種不同顏色的筆，問共有多少種不同的寫法？（4級）第一步寫“I”有5種方法，第二步寫“M”有4種方法，第三步寫“O”有3種方法，共有種方法．“學習改變命運”這六個字要用6種不同顏色來寫，現只有6種不同顏色的筆，問共有多少種不同的寫法？（4級）第一步寫“學”有6種方法，第二步寫“習”有5種方法，第三步寫“改”有4種方法，第四步寫“變”有3種方法，第五步寫“命”有2種方法，第六步寫“運”有1種方法，根據乘法原理，一共有種方法．有6種不同顏色的筆，來寫“學習改變命運”這六個字，要求相鄰字的顏色不能相同，有多少種不同的方法？（4級）寫第一個字有6種選擇，以后每寫一個字，只要保證不與前一個字相同就行了，都有5種選擇，所以，有種寫法．用5種不同顏色的筆來寫“智康教育”這幾個字，相鄰的字顏色不同，共有多少種寫法？（4級）第一個字有5種寫法，第二個字有4種寫法，第三個字也是4種寫法，同理后面的字也是4種寫法，共有5×4×4×4=320種．模塊二、較復雜的乘法原理應用北京到上海之間一共有6個站，車站應該準備多少種不同的車票？(往返車票算不同的兩種)（6級）京滬線上中間六個站連北京上海兩站一共有8個站，不同的車票上起點站可以有8種，相同的起點站又可以配7種不同的終點站，所以一共要準備8×7=56種不同的車票．（難度等級※※※）一條線段上除了兩個端點還有6個點，那么這段線段上可以有多少條線段？（6級）將這條線段看作是京滬線，點是車站，那么，每一條線段都對應兩張來回車票，所以線段的總數是56÷2=28條線段．某次大連與莊河路線的火車，一共有6個停車點，鐵路局要為這條路線準備多少種不同的車票？（6級）不同的車票上起點站可以有6種，相同的起點站又可以配5種不同的終點站，所以一共要準備種不同的車票．北京到廣州之間有10個站，其中只有兩個站是大站(不包括北京、廣州)，從大站出發的車輛可以配臥鋪，那么鐵路局要準備多少種不同的臥鋪車票？（6級）京廣線上一共有12個站，其中有四個大站，臥鋪車的起點可以有四種，不同的起點站都可以配11個不同的終點站，所以鐵路局要準備4×11=44種不同的車票．⑴由數字1、2可以組成多少個兩位數？⑵由數字1、2可以組成多少個沒有重復數字的兩位數？（6級）⑴．⑵組成沒有重復數字的兩位數要分兩步來完成：第一步，確定十位上的數字，有2種方法；第二步確定個位上的數字，因為要組成沒有重復數字的兩位數，因此十位上用的數字個位上不能再用，因此第二步只有1種方法，由乘法原理，能組成2×1=2個兩位數，即12，21．用數字0，1，2，3，4可以組成多少個：⑴三位數？⑵沒有重復數字的三位數？（6級）⑴組成三位數可分三步完成．第一步，確定百位上的數字，因為百位不能為0，所以只有4種選．⑵也分三步完成．第一步，百位上有4種選擇；第二步確定十位，除了百位上已使用的數字不能用，其他四個數字都可以，所以有4種方法；第三步確定個位，除了百位和十位上已使用過的數字，還有3種選擇．根據乘法原理，可以組成個沒有重復數字的三位數．⑴由3、6、9這3個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數？⑵由3、6、9這3個數字可以組成多少個三位數？（6級）⑴分三步完成：第一步排百位上的數，有3種方法；第二步排十位上的數，有2種方法；第三步，排個位上的數，有1種方法，由乘法原理，3、6、9這3個數字可以組成個沒有重復數字的三位數．⑵分三步完成，即分別排百位、十位、個位上的數字，每步有3種方法，由乘法原理，由3、6、9這3個數字一共可以組成個三位數．有五張卡，分別寫有數字1、2、4、5、8．現從中取出3張卡片，并排放在一起，組成一個三位數，問：可以組成多少個不同的偶數？（6級）分三步取出卡片．首先因為組成的三位數是偶數，個位數字只能是偶數，所以先選取最右邊的也就是個位數位置上的卡片，有2、4、8三種不同的選擇；第二步在其余的4張卡片中任取一張，放在最左邊的位置上，也就是百位數的位置上，有4種不同的選法；最后從剩下的3張卡片中選取一張，放在中間十位數的位置上，有3種不同的選擇．根據乘法原理，可以組成3×4×3=36個不同的三位偶數．有5張卡，分別寫有數字2，3，4，5，6．如果允許6可以作9用，那么從中任意取出3張卡片，并排放在一起．問⑴可以組成多少個不同的三位數？⑵可以組成多少個不同的三位偶數？（6級）⑴先考慮6只能當6的情況最后總的個數只要在這個基礎上乘以2就可以了，分三步取出卡片:第一步確定百位，有5種選擇；第二步確定十位，除了百位上已使用的數字不能用，其他4個數字都可以，所以有4種方法；第三步確定個位，除了百位和十位上已使用過的數字，還有3種選擇．根據乘法原理，考慮6可以當作9，可以組成（個）不同的三位數．⑵先考慮6只能當6的情況，分三步取出卡片．首先因為組成的三位數是偶數，個位數字只能是偶數，所以先選取最右邊的也就是個位數位置上的卡片，有2、4、6三種不同的選擇；第二步在其余的4張卡片中任取一張，放在十位數的位置上，有4種不同的選法；最后從剩下的3張卡片中選取一張，放在百位數的位置上，有3種不同的選擇．根據乘法原理，6只是6時，可以組成（個）不同的三位偶數．這時候算所求的三位偶數并不是簡單乘以2就可以的，因為如果個位是6的話變成9就不再是偶數，多乘的還需要減去，個位是6一共有（個）不同的三位偶數，所以，可以組成（個）不同的三位偶數．用1、2、3這三個數字可以組成多少個不同的三位數？如果按從小到大的順序排列，213是第幾個數？（6級）排百位、十位、個位依次有3種、2種、1種方法,故一共有3×2×1=6(種)方法,即可以組成6個不同三位數.它們依次為123,132,213,231,312,321．故213是第3個數．有一些四位數，它們由4個互不相同且不為零的數字組成，并且這4個數字和等于12.將所有這樣的四位數從小到大依次排列，第35個為．（6級）4個互不相同且不為0的數字之和等于12，只有兩種可能：1+2+3+6或者1+2+4+5．根據乘法原理，每種情況可組成4×3×2×1=24個不同的四位數，一共可組成48個不同的四位數．要求從小到大排列的第35個數，即求從大到小排列的第14個數．我們從千位最大的數開始往下數：千位最大可以取6，而千位是6的數共有3×2=6個；接下來是5，千位為5的數也有6個．所以第13個數應為4521，第14個是4512，答案為4512．將1332，332，32，2這四個數的10個數碼一個一個的劃掉，要求先劃位數最多的數的最小數碼，共有多少種不同的劃法？（8級）從小到大一步一步的分步劃，遇到出現岔路的情況分類考慮．從位數最多的1332開始：⑴劃掉1332中的1，剩下332，332，32，2四個數；⑵劃掉位數最多的332中的2，有2種不同的順序，劃掉后剩下33，33，32，2四個數；⑶劃掉32中的2，剩下33，33，3，2；⑷兩個33中，各劃掉一個3，有4×2=8種劃掉的順序，之后剩下3，3，3，2四個數；⑸劃掉2后，剩下3，3，3，有3×2=6種劃掉的順序．根據乘法原理，共有不同的劃法：2×8×6=96種．一個三位數，如果它的每一位數字都不小于另一個三位數對應數位上的數字，就稱它“吃掉”另一個三位數，例如：532吃掉311，123吃掉123，但726與267相互都不被吃掉．問：能吃掉678的三位數共有多少個？（6級）．如果一個四位數與一個三位數的和是，并且四位數和三位數是由個不同的數字組成的，那么，這樣的四位數最多能有多少個？（8級）四位數的千位數字是．由于這個四位數與三位數的相同位數上的數字之和小于，所以這個四位數與三位數的相同位數上的數字之和均等于．這兩個數的其他數字均不能為．四位數的百位數字可在、、、、、、中選擇(不能是9)，有7種選擇，這時三位數的百位數字是；四位數的十位數字可在剩下的個數字中選擇，三位數的十位數字是．四位數的個位數字可在剩下的個數字中選擇，三位數的個位數字是．因此，根據乘法原理，這樣的四位數有個．用1～9可以組成______個不含重復數字的三位數：如果再要求這三個數字中任何兩個的差不能是1，那么可以組成______個滿足要求的三位數？（8級）1)9×8×7=504個．2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210個；（減去有2個數字差是1的情況，括號里8個數分別表示這2個數是12，23，34，45，56，67，78，89的情況，×6是對3個數字全排列，7×6是三個數連續的123、234、345、456、567、789這7種情況）．電子表用表示點分，用表示點分，那么點到點之間電子表中出現無重復數字的時刻有________次．（8級）根據題意，在2點到10點之間，表示小時數的二位數字前一位只能為0，后一位可以為2～9；表示分鐘數的二位數字前一位可以為0～5，后一位可以為0～9，再考慮到無重復數字，當時間為2點多、3點多、4點多或5點多時，每一種情況下，表示分鐘數的兩位數字中前一位有種選擇，后一位數字有種選擇，此時有種可能，比如時，可以為1，3，4，5，就剩下種可以選擇．所以這幾種情況下共有種．類似分析可知，當時間為6點多、7點多、8點多、9點多時，每種情況下都有種，共有種．所以共種．(2008年西城實驗考題)在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相鄰兩數互質的排列方式共有______種．（8級）這8個數之間如果有公因子，那么無非是2或3．8個數中的4個偶數一定不能相鄰，對于這類多個元素不相鄰的排列問題，考慮使用“插入法”，即首先忽略偶數的存在，對奇數進行排列，然后將偶數插入，但在偶數插入時，還要考慮3和6相鄰的情況．奇數的排列一共有種，對任意一種排列4個數形成5個空位，將6插入，可以有符合條件的3個位置可以插，再在剩下的四個位置中插入2、4、8，一共有種，所以一共有種．在右圖的每個區域內涂上、、、四種顏色之一，使得每個圓里面恰有四種顏色，則一共有__________種不同的染色方法．（8級）因為每個圓內個區域上染的顏色都不相同，所以一個圓內的個區域一共有種染色方法．如右圖所示，當一個圓內的、、、四個區域的顏色染定后，由于號區域的顏色不能與、、三個區域的顏色相同，所以只能與號區域的顏色相同，同理號區域只能與號區域的顏色相同，號區域只能與號區域的顏色相同，所以當、、、四個區域的顏色染定后，其他區域的顏色也就相應的只有一種染法，所以一共有種不同的染法．如圖，地圖上有A，B，C，D四個國家，現用五種顏色給地圖染色，要使相鄰國家的顏色不相同，有多少種不同染色方法?（6級）為了按要求給地圖上的這四個國家染色，我們可以分四步來完成染色的工作：第一步：給染色，有種顏色可選．第二步：給染色，由于不能與同色，所以有種顏色可選．第三步：給染色，由于不能與、同色，所以有種顏色可選．第四步：給染色，由于不能與、同色，但可以與同色，所以有種顏色可選．根據分步計數的乘法原理，用種顏色給地圖染色共有種不同的染色方法．如圖，一張地圖上有五個國家，，，，，現在要求用四種不同的顏色區分不同國家，要求相鄰的國家不能使用同一種顏色，不同的國家可以使用同—種顏色，那么這幅地圖有多少著色方法？（6級）第一步，給國上色，可以任選顏色，有四種選擇；第二步，給國上色，國不能使用國的顏色，有三種選擇；第三步，給國上色，國與，兩國相鄰，所以不能使用，國的顏色，只有兩種選擇；第四步，給國上色，國與，兩國相鄰，因此也只有兩種選擇；第五步，給國上色，國與，兩國相鄰，有兩種選擇．共有種著色方法．如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下邊的區塊劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區塊分為相等的兩塊，四、用豎線將最右下方的區塊劃為相等的兩塊……，如此進行8步操作，問：如果用四種顏色對這一圖形進行染色，要求相鄰區塊顏色不同，應該有多少種不同的染色方法？（6級）對這張紙的操作一共進行了8次，每次操作都增加了一個區塊，所以8次操作后一共有9個區塊，我們對這張紙，進行染色就需要9個步驟，從最大的區塊從大到小開始染色，每個步驟地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：種．用三種顏色去涂如圖所示的三塊區域，要求相鄰的區域涂不同的顏色，那么共有幾種不同的涂法？（6級）涂三塊毫無疑問是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂B部分，由于要求相鄰的區域涂不同的顏色，A和B相鄰，當A確定了一種顏色后，B只有兩種顏色可選擇了；第三步，涂C部分，C和A、B都相鄰，A和B確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了．然后再根據乘法原理．（難度等級※※※）如圖，有一張地圖上有五個國家，現在要用四種顏色對這一幅地圖進行染色，使相鄰的國家所染的顏色不同，不相鄰的國家的顏色可以相同．那么一共可以有多少種染色方法？這一道題實際上就是例題，因為兩幅圖各個字母所代表的國家的相鄰國家是相同的，如果將本題中的地圖邊界進行直角化就會轉化為原題，所以對這幅地圖染色同樣一共有種方法．【討論】如果染色步驟為,那么應該該如何解答？答案：也是種方法．如果染色步驟為那么應該如何解答？答案：染色的前兩步一共有4×3種方法，但染第三步時需要分類討論，如果與顏色相同，那么有2種染法，也有2種方法，如果與染不同的顏色，那么有2種染法那么只有一種染法，有2種染法，所以一共應該有種方法，(教師應該向學生說明第三個步驟用到了分類討論和加法原理，加法原理在下一講中將會講授)，染色步驟選擇的經驗方法：每一步驟所染的區塊應該盡量和之前所染的區塊相鄰．某沿海城市管轄7個縣，這7個縣的位置如右圖．現用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色給右圖染色，要求任意相鄰的兩個縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方法?（8級）為了便于分析，把地圖上的7個縣分別編號為、、、、、、(如左下圖)．為了便于觀察，在保持相鄰關系不變的情況下可以把左圖改畫成右圖．那么，為了完成地圖染色這件工作需要多少步呢?由于有7個區域，我們不妨按、、、、、、的順序，用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色依次分7步來完成染色任務．第1步：先染區域，有5種顏色可供選擇；第2步：再染區域，由于不能與同色，所以區域的染色方式有4種；第3步：染區域，由于不能與、同色，所以區域的染色方式有3種；第4步：染區域，由于不能與、同色，所以區域的染色方式有3種；第5步：染區域，由于不能與、同色，所以區域的染色方式有3種；第6步：染區域，由于不能與、同色，所以區域的染色方式有3種；第7步：染區域，由于不能與、同色，所以區域的染色方式有3種．根據分步計數的乘法原理，共有種不同的染色方法．右圖中共有16個方格，要把A，B，C，D四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現一個棋子．問：共有多少種不同的放法？（6級）由于四個棋子要一個一個地放入方格內，故可看成是分四步完成這件事．第一步放棋子，可以放在16個方格中的任意一個中，故有16種不同的放法；第二步放棋子，由于已放定，那么放的那一行和一列中的其他方格內也不能放，故還剩下9個方格可以放，有9種放法；第三步放，再去掉所在的行和列的方格，還剩下四個方格可以放，有4種放法；最后一步放，再去掉所在的行和列的方格，只剩下一個方格可以放，有1種放法．由乘法原理，共有種不同的放法．在下圖的方格內放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少種放法？（6級）要放五枚棋子，肯定需要分五步完成．觀察到圖中的表格正好是五列的，剛好在每列放一個棋子．于是，我們不妨按第列、第列、第列、第列、第列的順序依次擺放棋子．第一步：在第1列填入一個棋子．因為第1列只有兩個格，所以有2種放法．第二步：在第2列填入一個棋子．因為第2列共有三個格，可是剛剛放在第一列的那個棋子占了其中的一行，所以有3-1=2種放法．第三步：在第列填入一個棋子．因為第列共有四個格，可是被放在第一列、第二列的那兩個棋子各占了一行，所以有4-2=2種放法．第四步：在第列填入一個棋子．同理推得有5-3=2種放法．第五步：在第列填入一個棋子．同理推得有5-4=1種放法．根據乘法原理，往方格內放入枚棋子，每行每列只有一枚棋子，共有種放法．用3種顏色把一個的方格表染色，要求相同行和相同列的3個格所染的顏色互不相同，一共有種不同的染色法．（6級）根據題意可知，染完后這個的方格表每一行和每一列都恰有3個顏色．用3種顏色染第一行，有種染法；染完第一行后再染第一列剩下的2個方格，有2種染法；當第一行和第一列都染好后，再根據每一行和每一列都恰有3個顏色對剩下的方格進行染色，可知其余的方格都只有唯一一種染法．所以，根據乘法原理，共有種不同的染法．下圖是一個中國象棋盤，如果雙方準備各放一個棋子，要求它們不在同一行，也不在同一列，那么總共有多少種不同的放置方法？（6級）第一個棋子有90種放法，第二個棋子有72種放法，根據乘法原理，共有（種）不同的放置方法．國際象棋棋盤是8×8的方格網，下棋的雙方各有16個棋子位于16個區格中，國際象棋中的“車”同中國象棋中的“車”一樣都可以將位于同一條橫行或豎行的對方棋子吃掉，如果棋局進行到某一時刻，下棋的雙方都只剩下一個“車”，那么這兩個“車”位置有多少種情況？（8級）對于如果只有一只“車”的情況，它可以有64種擺放位置，如果在棋盤中再加入一個“車”，那么它不能在原來那個“車”的同行或同列出現，他只能出現在其他七行七列，所以它只有7×7=49中擺放，所以這兩個“車”的擺放位置有64×49=3136種方法．奧運吉祥物中的個“福娃”取“北京歡迎您”的諧音：貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮．如果在盒子中從左向右放個不同的“福娃”，那么，有種不同的放法．【第六屆小學“希望杯”全國數學邀請賽（6級）可得（種）．一臺晚會上有6個演唱節目和4個舞蹈節目．問：⑴如果4個舞蹈節目要排在一起，有多少種不同的安排順序?⑵如果要求每兩個舞蹈節目之間至少安排一個演唱節目，一共有多少種不同的安排順序?【仁華試題】（6級）⑴將4個舞蹈節目視為1個節目，七個節目一起排列一共有個，但舞蹈節目還有種排列．所以一共有種．優先安排將6個演唱節目順序，一共有種方法，然后將4個舞蹈節目按順序安插到6個演唱節目前后不同位置，包括首尾一共有個位置可供4個舞蹈節目安插，共有個安插方式，所以一共有種排列方式．四對夫婦圍一圓桌吃飯，要求每對夫婦兩人都要相鄰，那么一共有多少安排座位的方法？(如果某種排法可以通過旋轉得到另一種排法，那么這兩種排法算作同一種．)（6級）方法一：