天津科技大學2016屆本科生畢業(yè)論文從穩(wěn)定性角度分析電動平衡車ANALYZINGSEGWAYFROMTHEASPECTOFSTABILITY專業(yè)：2012信息與計算科學姓名：張芮嘉指導教師：申請學位級別：學士論文提交時間：學位授予單位：天津科技大學摘要電動平衡車已經(jīng)悄然進入了人們的生活，隨著人們出行方式的改變，電動平衡車變得越來越流行起來.但相比于傳統(tǒng)的汽油發(fā)動機的車輛，電動車更加容易操控，動力更加獨立可控.如此，我們需要提高電動車的行駛穩(wěn)定性以提高電動車的安全性.電動平衡車的最簡模型是一個倒立擺模型，通過對此倒立擺進行約束，我們的模型能夠進一步貼合真實的電動平衡車運動，從而達到最優(yōu)控制.本文中第一部分介紹了倒立擺的知識，闡述了電動平衡車是一個簡單的倒立擺模型，介紹了倒立擺的研究歷史，并對現(xiàn)階段倒立擺研究的成果及方法進行了總結(jié).第一部分還闡述了對倒立擺系統(tǒng)進行控制的意義.第二部分我們先將人-平衡車系統(tǒng)簡化成為一個一級倒立擺，即小車-倒立擺系統(tǒng).對小車-倒立擺系統(tǒng)進行受力分析，建立其牛頓力學方程.接下來建立了系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，并求其方程，驗證前面計算的牛頓力學方程正確與否.對拉格朗日函數(shù)進行勒讓德變換，使系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)楣茴D函數(shù)，求其對應的哈密頓方程，得到非線方程組.之后對哈密頓方程進行線性化處理，并對其進行穩(wěn)定性分析，得到系統(tǒng)不穩(wěn)定結(jié)論.接著對不穩(wěn)定的系統(tǒng)增加控制，使系統(tǒng)穩(wěn)定.第三部分我們對真實的人-平衡車系統(tǒng)的參數(shù)進行了測量，并將參數(shù)值帶入前文中得出的系統(tǒng)方程及控制方程，得到只與角度及位移有關的方程.第四部分對這組參數(shù)值下的方程進行Matlab擬合，用兩種方式進行擬合，一種為simulink方法直接擬合，一種用改進的哈密頓方程擬合.擬合結(jié)果表明我們的控制非常有效.關鍵詞：牛頓力學；拉格朗日方程；哈密頓方程；勒讓德變換；線性化；Matlab擬合ABSTRACTSegwayhasquietlyenteredpeople'slives,withthechangeofthewaypeopletravel,Segwayisbecomingmoreandmorepopular.Butcomparedwiththetraditionalgasolineenginevehicles,electricvehiclesismoreeasytocontrol,moreindependentcontrollablepower.So,weneedtoimprovethedrivingstabilityoftheelectriccarinordertoimprovethesafetyoftheelectriccar.

Balanceelectriccarthesimplestmodelisaninvertedpendulummodel,throughtheinvertedpendulumisconstraint,ourmodelcanfurtherjointrealbalanceelectriccarmovement,soastoachieveoptimalcontrol.

Thefirstpartofthisarticleintroducestheknowledgeoftheinvertedpendulum,thispaperexpoundstheelectricbalanceinvertedpendulummodelofcarisasimple,introducestheresearchhistoryofinvertedpendulum,andtheresearchresultsofthepresentstageinvertedpendulumandmethodaresummarized.Thefirstpartalsoelaboratesthesignificancetocontroltheinvertedpendulumsystem.

Thesecondpartofourpeople-firstbalancedcarinvertedpendulumsystemissimplifiedintoalevel,namelythecarinvertedpendulumsystem.Stressanalysiswascarriedoutonthecarinvertedpendulumsystem,establishtheNewtonianmechanicsequations.ThentheLagrangefunctionofthesystem,andtheequationoftheverificationcalculationofNewtonianmechanicsequationcorrectlyornot.InfrontoftheLegendretransformationwascarriedoutontheLagrangefunction,maketheHamiltonianfunctionintoasystem,itscorrespondingHamiltonianequationsofnon-linearequations.AftertheHamiltonianequationsarelinearizedprocessing,stabilityanalysis,andcarriesonthesystemunstableconclusion.Thentocontroltheunstablesystemincrease,makethesystemstable.

Thethirdpartofourrealpeople-balancedcarsystemparametersweremeasured,andtheparametervaluesintothefirstinthispaper,weconcludedthatthesystemequationsandthecontrolequations,onlyrelatedtotheAngleanddisplacementequationisobtained.

ThefourthpartofthisgroupofparametersfittingtheequationwithMatlab,usetwowaysfitting,amethodforthesimulinkdirectfitting,animproved,withtheHamiltonianequationoffitting.Thefittingresultsshowthatourcontrolisveryeffective.Keywords:Newtonianmechanics;lagrangeequation;Hamiltonequation;legendretransformation;linearisation;MatlabFitting目錄1前言 圖首先，我們建立人-電動平衡車系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，q為廣義坐標系，T表示系統(tǒng)的動能，U表示系統(tǒng)的勢能.通過分析模型可知電動平衡車的速度（4-1）由受力分析圖4.1.1-1可知人的速度（4-2）然后計算系統(tǒng)的動能T，表示電動平衡車的動能，表示人的動能，為初始時刻系統(tǒng)的動能，可知（4-3）系統(tǒng)的勢能U（4-4）則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L為（4-5）為了簡便計算我們將拉格朗日函數(shù)化簡，則化簡后的拉格朗日函數(shù)為（4-6）其對應的歐拉-拉格朗日方程為（1）當時：（4-7）當時：（4-8）當時（4-9）當時：（4-10）聯(lián)立（4-7），（4-8），（4-9），（4-10）我們得到不加控制的人-平衡車系統(tǒng)的非線性方程組（4-11）（4-11）4.2平衡車的穩(wěn)定性分析為了方便我們對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，我們求系統(tǒng)的哈密頓方程.4.2.1人-平衡車系統(tǒng)的哈密頓方程首先，我們先回顧一下我們之前求得的化簡后人-平衡車系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L（4-6）然后我們對拉格朗日函數(shù)L進行勒讓德變換（4-12）則拉格朗日函數(shù)L可表示為（4-13）系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H可以表示為（4-14）（4-15）現(xiàn)在，我們考慮用matlab求哈密頓函數(shù)及哈密頓方程，則我們做一個變量替換我們令則公式（4-12）變?yōu)椋?-16）（4-16）系數(shù)矩陣為由matlab求得其逆矩陣，寫出的對應方程為（4-17）將（4-17）帶入哈密頓函數(shù)（4-15），我們得到人-電動平衡車系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)（4-18）以下人-平衡車系統(tǒng)的哈密頓方程為（4-19）（4-19）4.2.2對系統(tǒng)的哈密頓方程進行穩(wěn)定性分析我們看到哈密頓方程（4-19）過于冗長及復雜，但仔細分析發(fā)現(xiàn)，當我們讓方程都等于0，并對此方程求解，解是非常易得的.即，即這個點是系統(tǒng)的平衡點.我們對方程求二階偏導公式過于冗長，我們將其分為三段求二階偏導（4-20），（4-21），（4-22）（4-20）（4-21）（4-22）將平衡點帶入我們得到（4-23）線性化后的系統(tǒng)哈密頓方程（4-23）由給出，且M是一個的矩陣我們利用Matlab軟件直接求出此矩陣的特征值為：0，，，，.其中，矩陣M有一個正特征值.因此系統(tǒng)不是穩(wěn)定的.5Matlab模擬這部分我們將對人-平衡車系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行擬合，在先前的部分我們已經(jīng)給出了反饋控制的形式。這里我們將使用Matlab模擬系統(tǒng)的穩(wěn)定情況.現(xiàn)在考慮平衡.我們的目標是使得平衡車在處，人在處獲得穩(wěn)定.我們根據(jù)前面得出的結(jié)論選取常量.我們設定系統(tǒng)的初始狀態(tài)為.圖5-1隨時間變化曲線圖5-2隨時間變化曲線圖5-3隨時間變化曲線圖5-4隨時間變化曲線圖5-5隨時間變化曲線圖5-6隨時間變化曲線通過上面六個圖我們發(fā)現(xiàn)我們的反饋控制非常有效，因此，通過多次擬合我們將得到其他的使得系統(tǒng)收斂的更快.總結(jié)平衡車現(xiàn)在越來越流行了，新的制造廠家如雨后春筍般，平衡車市場魚龍混雜.不正當?shù)膬r格競爭導致平衡車越來越便宜，一些廠家為了保證利潤使用劣質(zhì)的伺服電機，劣質(zhì)的程序芯片，使得平衡車的安全性大大下降，不僅不能保證其穩(wěn)定，甚至連正常的啟動都成問題.所以要解決這個問題我們必須尋找性價比更高的原材料，以及參數(shù)更少的反饋控制，減少伺服電機對于參數(shù)的處理，從而減少成本.本文研究的電動平衡車是市面上較為高端的電動平衡車，為了便于研究其穩(wěn)定性，我們首先研究了一種普通的電動平衡車，即雙輪平衡車.這種平衡車的模型與一級倒立擺非常相似，我們通過研究一級倒立擺的穩(wěn)定性，得到這種平衡車的穩(wěn)定性.在一級倒立擺這部分中我們建立了系統(tǒng)的牛頓，拉格朗日方程，拉格朗日方程通過勒讓德變換得到了哈密頓方程，我們對哈密頓方程求特征值，存在特征值大于0，得到了這個系統(tǒng)不穩(wěn)定.也就是說在不加任何控制的情況下系統(tǒng)是絕對不穩(wěn)定的，則我們需要對其增加控制.在我們增加了控制后發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的特征值全部小于0，得到了一個穩(wěn)定的系統(tǒng).在人-平衡車這部分我們發(fā)現(xiàn)這種車存在左右的擺動，所以增加了一個坐標y，將系統(tǒng)建立在了球坐標上.而后推導出了系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，并求了其哈密頓方程及其特征值，發(fā)現(xiàn)存在特征值大于0，得到了這個系統(tǒng)也不穩(wěn)定.我嘗試了使用前文中得到的控制方法，但是發(fā)現(xiàn)由于增加了坐標后方程過于復雜，并不適合用前文中方法繼續(xù)求控制，這個問題將在后續(xù)的研究中繼續(xù)解決.參考文獻[1]黃永宣.自動平衡倒置擺系統(tǒng)-一個有趣的經(jīng)典控制理論教學實驗裝置[J].控制理論與應用，1987.4(3):93-96.[2]曹建福，曹福民.平衡倒立擺系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析[J].控制理論與應用，1999.16(4):612-614.[3]黃苑虹，倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制研究[D].廣東:廣東工業(yè)大學，2002.[4]劉騫，倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制研究[D].合肥:合肥工業(yè)大學，2008.[5]王光雪.含參數(shù)倒立擺的穩(wěn)定性研究[D].大連:大連交通大學，2012.[6]葉克寶.基于穩(wěn)定性的獨立驅(qū)動電動車轉(zhuǎn)矩分配研究[D].上海:上海工程技術大學，2014.[7]王迪.一類非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及自適應預見控制[D].北京:北京科技大學，2015.[8]羅昶.雙電機獨立驅(qū)動電動車穩(wěn)定性控制研究與試驗車設計[D].北京:中國科學院研究生院，2004.[9]JamesR.Rice.FoundationsofSolidMechanics[D].HarvardUniversity.[10]AnthonyBloch,LeonardoColombo,RohitGupta.AGeometricApproachtotheOptimalControlofNonholonomicMechanicalSystems.[11]NijmeijerH,SchaftAJvander.NonlinearDynamicalControlSystems[M].NewYork:Springer-Verlag,1990[12]MarsdenJE.LecturesonMechanics[M].NewYork:CambridgeUniversityPress,1992[13]MarsdenJE,RatiuTS.IntroductiontoMechanicsandSymmetry[M].NewYork:Springer-Verlag,1999[14]BlochAM,LeonardNE,MarsdenJE.StabilizationofmechanicalsystemsusingcontrolledLa-grangians[C//Proceedingsofthe36thIEEEConferenceonDecisionandControl,SanDiego,California,1997:2356-2361[15]BlochAM,LeonardNE,MarsdenJE.MatchingandstabilizationbythemethodofcontrolledLa-grangians[C]//Proceedingsofthe37thIEEEConferenceonDecisionandControl,Tampa,Florida,1998:1446-1451[16]BlochAM,LeonardNE,MarsdenJE.StabilizationofthependulumonarotorarmbythemethodofcontrolledLagrangians[C]//ProceedingsofIEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation,Detroit,Michigan,1999:500-505致謝四年的讀書生活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始.四年的求學生涯在老師、親友的大力支持下，走的辛苦卻也收獲滿囊.在論文即將完成之際，思緒萬千，心情久久不能平靜.在這幾個月寫畢業(yè)論文的過程中，讓我不得不感慨學無止境.寫論文過程中的不斷碰壁，也讓我體會到做學問的不容易.感謝張振興老師不厭其煩地指出我論文中的缺失，且總能在我迷惘的時候為我解惑.他像朋友一樣與我們親切地探討論文，糾正論文的錯誤，并在我一籌莫展的時候為我查找參考文獻.當我寫的公式出現(xiàn)錯誤的時候，張老師總能耐心的幫我查錯，并詳細的為我講解我出錯的原因.當論文中需要新的知識的時候張老師總是先講解，然后我在下筆，免去了我許多不必要的錯誤.他從論文框架，內(nèi)容，格式方面都嚴格把關，培養(yǎng)了我科學嚴謹?shù)膽B(tài)度.同時還要感謝我的同學們，在我論文期間對我的幫助.最后，感謝學院的各位老師，在這四年里傳授了我許多知識，讓我受益匪淺.離開學校完成論文，是一個終點，又是另一個起點！喝水不忘挖井人，我將銘記大家對我的幫助！感謝之余，無以為報，唯有更加勤奮努力，升華自己，帶動別人，不求做祖國的棟梁，但求不拖祖國的后腿！再次感謝我大學四年每一個幫助過我的人，也感謝審閱老師的辛苦評閱，謝謝！附錄附錄[1]:求逆矩陣>>symsMmlcosacosbsinasinbAA=[M+m0m*l*cosa*cosb-m*l*sina*sinb;0M+mm*l*cosa*sinbm*l*sina*cosb;m*l*cosa*cosbm*l*cosa*sinbm*l^20;-m*l*sina*sinbm*l*sina*cosb0m*l^2*sina^2]A=[M+m,0,cosa*cosb*l*m,-l*m*sina*sinb][0,M+m,cosa*l*m*sinb,cosb*l*m*sina][cosa*cosb*l*m,cosa*l*m*sinb,l^2*m,0][-l*m*sina*sinb,cosb*l*m*sina,0,l^2*m*sina^2]>>inv(A)ans=[-(-m*cosa^2*sinb^2-m*cosb^2+M+m)/(-M^2+M*cosa^2*cosb^2*m+M*cosa^2*m*sinb^2+M*cosb^2*m+M*m*sinb^2-2*M*m-cosa^2*cosb^4*m^2-2*cosa^2*cosb^2*m^2*sinb^2+cosa^2*cosb^2*m^2-cosa^2*m^2*sinb^4+cosa^2*m^2*sinb^2+cosb^2*m^2+m^2*sinb^2-m^2),(-cosb*m*sinb*cosa^2+cosb*m*sinb)/(-M^2+M*cosa^2*cosb^2*m+M*cosa^2*m*sinb^2+M*cosb^2*m+M*m*sinb^2-2*M*m-cosa^2*cosb^4*m^2-2*cosa^2*cosb^2*m^2*sinb^2+cosa^2*cosb^2*m^2-cosa^2*m^2*sinb^4+cosa^2*m^2*sinb^2+cosb^2*m^2+m^2*sinb^2-m^2),-(cosa*cosb)/(-l*m*cosa^2*cosb^2-l*m*cosa^2*sinb^2+M*l+l*m),sinb/(-l*m*sina*cosb^2-l*m*sina*sinb^2+M*l*sina+l*m*sina)][(-cosb*m*sinb*cosa^2+cosb*m*sinb)/(-M^2+M*cosa^2*cosb^2*m+M*cosa^2*m*sinb^2+M*cosb^2*m+M*m*sinb^2-2*M*m-cosa^2*cosb^4*m^2-2*cosa^2*cosb^2*m^2*sinb^2+cosa^2*cosb^2*m^2-cosa^2*m^2*sinb^4+cosa^2*m^2*sinb^2+cosb^2*m^2+m^2*sinb^2-m^2),-(-m*cosa^2*cosb^2-m*sinb^2+M+m)/(-M^2+M*cosa^2*cosb^2*m+M*cosa^2*m*sinb^2+M*cosb^2*m+M*m*sinb^2-2*M*m-cosa^2*cosb^4*m^2-2*cosa^2*cosb^2*m^2*sinb^2+cosa^2*cosb^2*m^2-cosa^2*m^2*sinb^4+cosa^2*m^2*sinb^2+cosb^2*m^2+m^2*sinb^2-m^2),-(cosa*sinb)/(-l*m*cosa^2*cosb^2-l*m*cosa^2*sinb^2+M*l+l*m),-cosb/(-l*m*sina*cosb^2-l*m*sina*sinb^2+M*l*sina+l*m*sina)][-(cosa*cosb)/(-l*m*cosa^2*cosb^2-l*m*cosa^2*sinb^2+M*l+l*m),-(cosa*sinb)/(-l*m*cosa^2*cosb^2-l*m*cosa^2*sinb^2+M*l+l*m),(M+m)/(m*(M*l^2+l^2*m-cosa^2*cosb^2*l^2*m-cosa^2*l^2*m*sinb^2)),0][sinb/(-l*m*sina*cosb^2-l*m*sina*sinb^2+M*l*sina+l*m*sina),-cosb/(-l*m*sina*cosb^2-l*m*sina*sinb^2+M*l*sina+l*m*sina),0,(M+m)/(m*sina*(l^2*m*sina+M*l^2*sina-cosb^2*l^2*m*sina-l^2*m*sina*sinb^2))]附錄[2]:畫圖>>clear>>[t,y]=ode45('try2',[080],[5;pi/6