關于晶體的對稱元素第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日一、對稱的概念是宇宙間的普遍現象。是自然科學最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密碼。對稱是指物體或圖形中相同部分作有規律的重復。對于晶體外形而言，就是晶面與晶面、晶棱與晶棱、角頂與角頂的有規律重復。第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、晶體的對稱1.由于晶體都具有格子狀構造，而格子狀構造就是質點在三維空間周期重復的體現，因此，所以的晶體都是對稱的。2.晶體的對稱受格子構造規律的限制。即只有符合格子構造規律的對稱才能在晶體上出現，因此，晶體對稱又是有限的。3.晶體的對稱既然取決于格子構造，因此晶體的對稱不僅體現在外形上，也體現在物理性質上（光學、力學、熱學、電學性質）。4.是晶體的基本性質之一。5.是晶體科學分類的依據。第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日三、晶體的對稱操作和對稱要素

在對晶體的對稱研究中，為使晶體上相同部分作有規律重復，必須借助一定的幾何要素（點、線、面）進行一定的操作（如反映、旋轉、反伸等）才能實現，這些操作稱為對稱操作(symmetryoperation)，在操作中所借助的幾何要素，稱為對稱要素(symmetryelement)。對稱面(symmetryplane)對稱軸(symmetryaxis)對稱中心(centerofsymmetry)倒轉軸(rotoinversionaxis)第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日對稱面（P）

對稱面是一個假想的平面，亦稱鏡面。與之相應的對稱操作是此平面的反映。由這個平面將圖形平分后成互為鏡像的兩個相等部分，分別相當于物體本身和它的像。對稱面必通過晶體的中心。m對稱面非對稱面第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日對稱操作：對于此平面的反映標志：兩部分上對應點的連線是否與對稱面垂直等距

垂直并平分晶面

垂直晶棱并通過它的中心

包含晶棱可能出現的位置：數目：0

P

9第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日對稱軸（Ln）定義：通過晶體幾何中心的一根假想的直線

對稱操作：是圍繞此直線的旋轉

特征：當圖形圍繞此直線旋轉一定角度后，可使相同部分重復（圖形復原）

重復時所旋轉的最小角度稱基轉角()旋轉一周重復的次數稱為軸次(n)n=360

第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日二次對稱軸(two-foldrotation)(L2)α=360°/2=180°ASymmetricalPattern66180°rotation－toreproduceamotifinasymmetricalpatternMotifElementOperation－thesymbolforatwo-foldrotationfirstoperationstepsecondoperationstep第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日三次對稱軸(Three-foldrotation)(L3)α=360°/3=120°666step1step2step3ASymmetricalPattern120°rotation－toreproduceamotifinasymmetricalpatternOperation－thesymbolforathree-foldrotation第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日6666666666666662-fold3-fold4-fold6-fold其他的對稱軸(沒有5-fold和>6-fold的)第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日A.過一對平行晶面的中心B.過一對晶棱的中心C.相對兩角頂的連線D.角頂、晶面中心和棱中點任意兩個的連線數目0

L2

60

L3

40

L4

30

L6

1對稱軸可能出現的位置為第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義：位于晶體幾何中心的一個假想的點對稱操作：是對此點的反伸

特點：如果通過此點作任意直線，則在此直線上距對稱中心等距離的兩端上必定可以找到對應點識別標志：兩兩成對對對平行同形等大方向相反對稱中心（C）所有晶面第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日旋轉反伸軸（Lin）定義：一根過晶體幾何中心假想的直線對稱操作：圍繞此直線的旋轉和對此直線上的一個點反伸的復合操作第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關系如下：Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，Li6=L3+P但一般我們在寫晶體的對稱要素時，保留Li4和Li6，而其他旋轉反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因為Li4不能被代替，Li6在晶體對稱分類中有特殊意義。但是，在晶體模型上找Li4往往是比較困難的，因為容易誤認為L2。我們不能用L2代替Li4，就像我們不能用L2代替L4一樣。因為L4高于L2，Li4也高于L2。在晶體模型上找對稱要素，一定要找出最高的。第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日由于晶體是具有格子構造的固體物質，這種質點格子狀的分布特點決定了晶體的對稱軸只有n=1，2，3，4，6這五種，不可能出現n=5，n>6的情況。為什么呢？1、直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對稱軸的平面結構不能構成面網，且不能毫無間隙地鋪滿整個空間,即不能成為晶體結構。晶體對稱定律第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.晶體對稱定律數學證明方法：內容：只能出現軸次(n)為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對稱軸。軸次n的確定:

n=360/a

a+2acosa=macosa=(m-1)/2-2m-12由于平行行列的結點間距相等，m只能取整數m=3,2,1,0,-1 a=0°,60°,90°,120°,180°

n=1,6,4,3,2（但是，在準晶體中可以有5、8、10、12次軸）第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日1、至少有一端通過晶棱中點的對稱軸只能是幾次對稱軸？2、一對正六邊形的平行晶面之中點的連線，可能是幾次對稱軸的方位？3、在只有一個高次軸的晶體中，能否有與高次軸斜交的P或L2存在？為什么？思考題第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日四、對稱要素的組合◆對稱要素組合不是任意的，必須符合對稱要素的組合定律；◆當對稱要素共存時，也可導出新的對稱要素。第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日對稱要素組合定理：定理1：如果有一個L2垂直于Ln，則必有n個L2垂直于Ln，LnL2LnnL2

(任意兩個相鄰的L2的夾角是Ln基轉角的一半)。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2逆定理：如果兩個相鄰的L2相交，在交點上垂直兩個L2方向必會產生一個Ln，其基轉角是兩個L2夾角的兩倍。并導出其他n個在垂直Ln平面內的L2。思考:兩個L2相交30°,交點處并垂直L2所在平面會產生什么對稱軸?第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理2：如果一個對稱面P垂直于偶次對稱軸Ln(偶)，交點必為對稱中心：

Ln(偶)PLnPC。如L4PL4PC

逆定理：如果有一個偶次對稱軸Ln(偶)與對稱中心C共存，則過C且垂直于該對稱軸必有一對稱面P，即

Ln(偶)CLnPC?；?，如果有一個對稱面P與對稱中心C共存，則過C且垂直于P必有一個Ln(偶)，即PCLn(偶)PC這一定理說明了L2、P、C三者中任兩個可以產生第三者。因為偶次軸包含L2。第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理3：如果有一個對稱面P包含對稱軸Ln，則必有n個P同時包含Ln，即LnP//LnnP//（相鄰的兩個P的夾角為Ln基轉角的一半）；如L3

P//L33P//逆定理：兩個對稱面P相交，其交線必為一對稱軸Ln，其基轉角為相鄰兩對稱面夾角的兩倍，并導出其他n個包含Ln的P。（定理3與定理1類似）思考:兩個對稱面相交60°,交線處會產生什么對稱軸?第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理4：如果有一個二次軸L2垂直于旋轉反伸軸Lin，或有一個對稱面P包含Lin，當n為奇數時，必有n個L2垂直Lin或n個P包含Lin：當n為偶數時，必有和n/2個L2垂直Lin或n/2個P包含Lin；

LinL2

LinnL2

或LinP//

LinnP//（n為奇數）LinL2

Linn/2L2

或LinP//Linn/2P//

（n為偶數）

第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理5如果兩個對稱軸Ln和Lm以δ角斜交時，圍繞Ln必有n個共點且對稱分布的Lm；同時，圍繞Lm必有m個共點且對稱分布的Ln：Ln

Lm=nLmmLn。且任二相鄰的Ln與Lm之間的交角均等于δ。補充第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日有了對稱要素組合定理，我們就可以判斷一個晶體上的對稱要素組合形式的正確與否。請大家根據上述對稱要素組合定理判斷下列對稱要素組合形式是否正確：1、L43P2、L22P3、L32L24、3L25、L3PC

6、L6PC

怎么樣？你的成績如何？×應該為L44P，根據組合定理3，4個P包含L4√根據組合定理3，2個P包含L2×應該為L33L2，根據組合定理1，3個L2垂直L3√其中一個L2直立，另外兩個L2垂直這個直立的L2×應該為L33P，因為L3不是偶次軸，所以不能產生C√P垂直L6，L6是偶次軸，所以產生C對稱要素組合測試第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日五、32個對稱型（點群）及其推導各種晶體的對稱程度有很大的差別，主要表現在它們所具有的對稱要素的種類、軸次和數目上。晶體形態中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態的對稱型或點群。一般來說，當強調對稱要素時稱對稱型，強調對稱操作時稱點群。經過數學推導，證明對稱型只有32種。我們將屬于同一對稱型的所有晶體，歸為一類，稱為晶類。晶類也只有32個。在32個晶類中，按它們所屬的對稱型特點劃分為七個晶系。再按高次對稱軸的有無和高次對稱軸的數目，將七個晶系并為三個晶族。第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日對稱型的書寫順序一般是首先寫從高到低不同軸次的對稱軸或旋轉反伸軸，其次寫對稱面，最后寫對稱心。但在等軸晶系中，不論一個對稱型中有無大于3次的對稱軸，3次對稱軸L3應當始終放在第2位。第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日請同學們自己分析一下課本第34頁“圖4-14常見對稱型中對稱要素在晶體上的空間配置”各個圖的對稱型如第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導：A類對稱型共有27種，根據對稱要素對其推導1）對稱軸Ln單獨存在（原始式對稱型

），可能的對稱型為L1；L2；L3；L4；L6

。2）對稱軸與對稱軸的組合（軸式對稱型）

。在這里我們只考慮Ln與垂直它的L2的組合。根據上節所述對稱要素組合規律LnL2

→LnnL2

，可能的對稱型為：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2與Ln斜交有可能出現多于一個的高次軸，這時就不屬于A類對稱型了。第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日3）對稱軸Ln與垂直它的對稱面P的組合（中心式對稱型）

?？紤]到組合規律Ln(偶)P⊥→Ln(偶)PC，則可能的對稱型為L2PC；L4PC；L6PC。4）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合（平面式對稱型）。根據組合規律Ln

P∥→LnnP，可能的對稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日？5）對稱軸Ln與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合（軸面式對稱型

）。垂直Ln的P與包含Ln的P的交線必為垂直Ln的L2，即LnP⊥P∥=LnP⊥P∥L2⊥=LnnL2(n+1)P(C)（C只在有偶次軸垂直P的情況下產生)，可能的對稱型為：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日6）旋轉反伸軸單獨存在（倒轉原始式對稱型）?？赡艿膶ΨQ型為：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。7）旋轉反伸軸Lin與垂直它的L2（或包含它的P）的組合（倒轉軸面式對稱型

）。根據組合規律，當n為奇數時LinnL2⊥nP∥，可能的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；當n為偶數時Lin(n/2)L2⊥(n/2)P∥

，可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。

第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：如果晶體中有一個L4，同時又有一個L2垂直于它和一個對稱面垂直它，則L4L2⊥

→L44L2（組合定律1），L4

P⊥→L4PC（組合定律2），因為垂直L4的P與L2是包含關系，所以：L2

P∥→L22P（組合定律3），這兩個P中，有一個是垂直L4包含L2的，而另一個是包含L4垂直L2，這個包含L4的P以及垂直L4的P與L4組合（根據推導5）：LnP⊥P∥=LnP⊥P∥L2⊥

=LnnL2(n+1)PC，最后產生對稱型L44L25PC，金紅石就是這種對稱型。第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日7個組合類型中共導出35個對稱型，其中重復的有8個，故實際導出的A類對稱型共27種。

。請同學們將表中空格的內容填上，空格中的內容與表中其他內容是重復的。LnLnnL2LnCLnPCLnnPLnnL2(n+1)P(C)LinLinnL2nPLinn/2L2n/2PL1Li1=

CL23L2L2PCL22P3L2

3PCLi2=

PL3L33L2L33PLi3=L3

CL33L23PCL4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22PL6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi63L23P=L33L24P第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日還有5個是B類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導。此外還有3L44L36L29PC，3L24L33PC，3Li44L36P第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日對稱型符號

習慣符號按一定的順序表示出晶體所有對稱要素的符號

mLnmPC(n-對稱軸軸次，從高到低排列，m-對稱軸或對成面的數目）國際符號（反映對稱要素及其在空間的取向）第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日

n－單獨一個對稱軸Ln－單獨一個LinN/m－Ln垂直它的P的組合N22或N2－Ln和垂直它的L2的組合（N＝1時，1省略）Nmm－Ln和包含它的P的組合（N＝1時，1省略，N=2時，特寫為mm2）N2m－Lin和包含它的P以及垂直它的L2的組合N/mmm－Ln和包含它的P以及垂直它的P的組合X3Y或X3－第二位上為3者表示4L3說明第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日六、晶體的對稱分類32晶類高、中、低級晶族7大晶系屬于同一對稱型的晶體高次軸的有無及多少軸次的高低及