如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠F＝90°）是否全等，在括號里填寫理由；如果不全等，在括號里打“×”：（1）AC＝DF,∠A＝∠D（）（2）AC＝DF,BC＝EF（）（3）AB＝DE，∠B＝∠E（）（4）∠A＝∠D，∠B＝∠E（）ACBDEFASASASAAS×如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是AC上的兩點，且AE＝CF.求證：BF＝DE.證明：在△ABC和△CDA中

AB＝CD(已知),BC＝DA（已知）,CA＝AC（公共邊）,∵∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1＝∠2。（全等三角形的對應角相等）在△BCF和△DAE中

BC＝DA（已知）,∠1＝∠2（已證）,CF＝AE（已知）,∴△BCF

≌

△DAE(SAS)∴BF＝DE。（全等三角形的對應邊相等）∵ABCDEF12也可以證明△DEC

≌

△BFA,那就還要證明CE＝AF,比左邊的方法多了一步。分析：要證明BF＝DE，可以證明△BCF

≌

△DAE或△DEC

≌

△BFA，你自己思考一下采取哪一種證明。例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是A例9證明：全等三角形對應邊上的高相等。已知：如圖，△ABC≌△A＇B＇C＇.AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高。求證：AD＝A＇D＇.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠B＝∠B＇

(全等三角形的對應邊、對應角相等)∵AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高,∴∠ADB＝∠A＇D＇B＇＝90o(垂直的定義)

在△ABD和△A‘B’D‘中∠B＝∠B‘(已證)∠ADB＝∠A‘D’B‘（已證）

AB＝A‘B’（已證）∴△ABD≌△A‘B’D‘(AAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應邊相等)∵BACDA＇B＇C＇D＇例9證明：全等三角形對應邊上的高相等。已知：如圖，△求證：兩個全等三角形對應邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的中線。求證：AD＝A＇D‘.∵AA＇BB＇CC＇DD＇證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,BC＝B’C’,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應邊、對應角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的中線,∴BD＝?BC＝B’D’

＝?B’C’,

在△ABD和△A‘B’D‘中

AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證),BD＝B’D’(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(SAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應邊相等)求證：兩個全等三角形對應邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△求證：兩個全等三角形對應角的平分線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的角的平分線。求證：AD＝A＇D‘.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠BAC＝∠B‘A‘C＇,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應邊、對應角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的角的平分線,∴∠1＝?∠BAC＝∠2＝?∠B‘A‘C＇,

在△ABD和△A‘B’D‘中∠1＝∠2(已證)AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(ASA)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應邊相等)∵AA＇BB＇CC＇DD＇12求證：兩個全等三角形對應角的平分線長相等。已知：如圖所示，△已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。求證：△ABC≌△A′B′C′

證明：∵CD、C′D′分別是高∴∠ADC=∠A′D′C′=90°

在Rt△ADC與Rt△A′D′C′中

AC＝A′C′

CD＝C′D′∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL)

∴∠A＝∠A′

在△ABC與△A′B′C′中∠A＝∠A′

AC＝A′C′

∠ACB＝∠A′C′B′

∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)

∵∵分析：要證明△ABC≌△A′B′C′，已經有AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，只要再找一個元素對應相等就行了，是找角好，還是找邊更好呢？Rt△ADC與Rt△A′D′C′之間怎樣？已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別開啟

智慧1、兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等;（）2、斜邊及一個銳角對應相等的兩個直角三角形全等;（）3、兩直角邊對應相等的兩個直角三角形全等;（）4、一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等.（）一,下列判斷對嗎?并說明理由:×開啟智慧1、兩個銳角對應相等的兩個直角三角形已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF過點O,分別交AB、CD于點E、點F。求證：OE＝OF.證明：∵AB∥CD（已知）∴∠A＝∠D,∠B＝∠C(兩直線平行，內錯角相等)在△AOB和△DOC中∠A＝∠D(已證)，

AB＝CD（已知）,∠B＝∠C（已證），∴△AOB≌△DOC(ASA)∴OB＝OC(全等三角形的對應邊相等)在△BOE和△COF中∠B＝∠C（已證），

OB＝OC（已證），∠BOE＝∠COF（對頂角相等），∴△BOE≌△COF(ASA)∴OE＝OF（全等三角形的對應邊相等）∵∵ABCDEFO已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC.（1）求證：△ABC≌△ADE;證明:(1)∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE（等式性質）即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中

AB＝AD（已知）,AC＝AE（已知）,∠BAC＝∠DAE（已證），

(2)BM＝DN

成立∵△ABC≌△ADE(已證)∴∠B＝∠D（全等三角形的對應邊相等）在△ADN和△ABM中∠1＝∠2（已知）,AB＝AD（已知）,∠B＝∠D（已證）∴BM＝DN（全等三角形的對應邊相等）∴△ABC≌△ADE(SAS)∴△ADN≌△ABM(ASA)∵∵ABCDEMN12此時找一個三角形，應該“紅綠”配，就像平時1、2配一樣。（2）BM＝DN成立嗎？為什么？2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF。求證：△ABC是等腰三角形.D證明：連接AD∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AED＝∠BED＝∠AFD＝∠CFD＝90o在Rt△AED和Rt△AFD中

DE＝DF(已知),AD＝AD(已知)，∴AE＝AF(全等三角形的對應邊相等)在Rt△DEB和Rt△DFC中

DE＝DF(已知)，

BD＝CD(D是中點)，∴BE＝CF(全等三角形的對應邊相等)∴AE＋BE＝AF＋CF(等式性質)即AB＝AC即△ABC是等腰三角形.∵∵∴Rt△AED≌

Rt△AFD(HL)∴Rt△DEB≌

Rt△DFC(HL)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別沿著兩條直線行走，并同時到達D、E兩地。DA⊥AB,EB⊥AB。D、E與路段AB的距離相等嗎？為什么？

解：∵DA⊥AB,EB⊥AB∴∠A=∠B=90°

在Rt△ACD和Rt△BCE中

AC=BC（C是中點）

CD=CE（已知）∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)

∴AD=BE（全等三角形的對應角相等）即D、E與路段AB的距離相等．ADCBE∵由題意知：CD=CE點與直線的距離是（）垂直距離如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關系？∠ABC+∠DFE=90°解：在Rt△ABC和Rt△DEF中BC=EF(已知)，AC=DF(已知)，Rt△ABC≌

Rt△DEF（HL）∠ABC=∠DEF(全等三角形的對應角相等)∠DFE﹢∠DEF=90o（直角三角形的兩銳角互余）∠ABC+∠DFE=90°（等量代換）∵∴∴∵∴又由題意知：BC=EF議議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑1.如圖，應填什么就有△AOC≌△BOD?∠A=∠B（已知）

————∠1=∠2（已知）∴△AOC≌△BOD122.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2。求證:AB＝AD。ABCD12AC＝BD或OC＝OD或OA＝OB證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC（已知）∴∠B=∠D＝90o（垂直的定義）在△ABC和△ADC中∠1=∠2(已知)AC＝AC（公共邊）∠B=∠D（已證）∴△ABC≌△ADC(ASA)∴AB＝AD(全等三角形的對應邊相等)∵1.如圖，應填什么就有△AOC≌△BOD?122.如圖，A6﹑如圖，AD=BC，AC=BD，求證：（1）∠DAB=∠CBA

（2）∠ACD=∠BDC

7﹑如圖，AB=CD，AE=DF，CE=BF，求證：AE∥DF.證明：∵

CE=BF（已知）

∴BF﹣EF=CE﹣EF（等式性質）

即BE=CF在ΔABE和ΔBCA中,BE=CF，(已證)AB=CD，(已知)

AE=DF，(已知)

ΔABE≌

ΔDCF（SSS）

∠AEB=∠DFC(全等三角形的對應角相等)∠AEF=∠DFE(等角的補角相等)

AE∥DF（內錯角相等，兩直線平行）

ABCDABCDEF證明：（1）在

ΔADB和ΔBCA中，

AD＝BC(已知)AC＝BD(已知)

∵∴∴∴∴∴

∠DAB=∠CBA（2）同理：∠ACD=∠BDC∴ΔADB≌

ΔBCAAB＝BA(公共邊)∵6﹑如圖，AD=BC，AC=BD，求證：（1）∠DAB=∠課后活動與探究:一個六邊形鋼架ABCDEF,由6條鋼管連接而成（如圖所示），為使這一鋼架穩固，請你用三條鋼管連接使它不能活動，你能找出幾種方法？課后活動與探究:一個六邊形鋼架ABCDEF,由6條鋼管連接而如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠F＝90°）是否全等，在括號里填寫理由；如果不全等，在括號里打“×”：（1）AC＝DF,∠A＝∠D（）（2）AC＝DF,BC＝EF（）（3）AB＝DE，∠B＝∠E（）（4）∠A＝∠D，∠B＝∠E（）ACBDEFASASASAAS×如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是AC上的兩點，且AE＝CF.求證：BF＝DE.證明：在△ABC和△CDA中

AB＝CD(已知),BC＝DA（已知）,CA＝AC（公共邊）,∵∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1＝∠2。（全等三角形的對應角相等）在△BCF和△DAE中

BC＝DA（已知）,∠1＝∠2（已證）,CF＝AE（已知）,∴△BCF

≌

△DAE(SAS)∴BF＝DE。（全等三角形的對應邊相等）∵ABCDEF12也可以證明△DEC

≌

△BFA,那就還要證明CE＝AF,比左邊的方法多了一步。分析：要證明BF＝DE，可以證明△BCF

≌

△DAE或△DEC

≌

△BFA，你自己思考一下采取哪一種證明。例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是A例9證明：全等三角形對應邊上的高相等。已知：如圖，△ABC≌△A＇B＇C＇.AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高。求證：AD＝A＇D＇.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠B＝∠B＇

(全等三角形的對應邊、對應角相等)∵AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高,∴∠ADB＝∠A＇D＇B＇＝90o(垂直的定義)

在△ABD和△A‘B’D‘中∠B＝∠B‘(已證)∠ADB＝∠A‘D’B‘（已證）

AB＝A‘B’（已證）∴△ABD≌△A‘B’D‘(AAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應邊相等)∵BACDA＇B＇C＇D＇例9證明：全等三角形對應邊上的高相等。已知：如圖，△求證：兩個全等三角形對應邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的中線。求證：AD＝A＇D‘.∵AA＇BB＇CC＇DD＇證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,BC＝B’C’,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應邊、對應角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的中線,∴BD＝?BC＝B’D’

＝?B’C’,

在△ABD和△A‘B’D‘中

AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證),BD＝B’D’(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(SAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應邊相等)求證：兩個全等三角形對應邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△求證：兩個全等三角形對應角的平分線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的角的平分線。求證：AD＝A＇D‘.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠BAC＝∠B‘A‘C＇,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應邊、對應角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的角的平分線,∴∠1＝?∠BAC＝∠2＝?∠B‘A‘C＇,

在△ABD和△A‘B’D‘中∠1＝∠2(已證)AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(ASA)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應邊相等)∵AA＇BB＇CC＇DD＇12求證：兩個全等三角形對應角的平分線長相等。已知：如圖所示，△已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。求證：△ABC≌△A′B′C′

證明：∵CD、C′D′分別是高∴∠ADC=∠A′D′C′=90°

在Rt△ADC與Rt△A′D′C′中

AC＝A′C′

CD＝C′D′∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL)

∴∠A＝∠A′

在△ABC與△A′B′C′中∠A＝∠A′

AC＝A′C′

∠ACB＝∠A′C′B′

∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)

∵∵分析：要證明△ABC≌△A′B′C′，已經有AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，只要再找一個元素對應相等就行了，是找角好，還是找邊更好呢？Rt△ADC與Rt△A′D′C′之間怎樣？已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別開啟

智慧1、兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等;（）2、斜邊及一個銳角對應相等的兩個直角三角形全等;（）3、兩直角邊對應相等的兩個直角三角形全等;（）4、一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等.（）一,下列判斷對嗎?并說明理由:×開啟智慧1、兩個銳角對應相等的兩個直角三角形已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF過點O,分別交AB、CD于點E、點F。求證：OE＝OF.證明：∵AB∥CD（已知）∴∠A＝∠D,∠B＝∠C(兩直線平行，內錯角相等)在△AOB和△DOC中∠A＝∠D(已證)，

AB＝CD（已知）,∠B＝∠C（已證），∴△AOB≌△DOC(ASA)∴OB＝OC(全等三角形的對應邊相等)在△BOE和△COF中∠B＝∠C（已證），

OB＝OC（已證），∠BOE＝∠COF（對頂角相等），∴△BOE≌△COF(ASA)∴OE＝OF（全等三角形的對應邊相等）∵∵ABCDEFO已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC.（1）求證：△ABC≌△ADE;證明:(1)∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE（等式性質）即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中

AB＝AD（已知）,AC＝AE（已知）,∠BAC＝∠DAE（已證），

(2)BM＝DN

成立∵△ABC≌△ADE(已證)∴∠B＝∠D（全等三角形的對應邊相等）在△ADN和△ABM中∠1＝∠2（已知）,AB＝AD（已知）,∠B＝∠D（已證）∴BM＝DN（全等三角形的對應邊相等）∴△ABC≌△ADE(SAS)∴△ADN≌△ABM(ASA)∵∵ABCDEMN12此時找一個三角形，應該“紅綠”配，就像平時1、2配一樣。（2）BM＝DN成立嗎？為什么？2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF。求證：△ABC是等腰三角形.D證明：連接AD∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AED＝∠BED＝∠AFD＝∠CFD＝90o在Rt△AED和Rt△AFD中

DE＝DF(已知),AD＝AD(已知)，∴AE＝AF(全等三角形的對應邊相等)在Rt△DEB和Rt△DFC中

DE＝DF(已知)，

BD＝CD(D是中點)，∴BE＝CF(全等三角形的對應邊相等)∴AE＋BE＝AF＋CF(等式性質)即AB＝AC即△ABC是等腰三角形.∵∵∴Rt△AED≌

Rt△AFD(HL)∴Rt△DEB≌

Rt△DFC(HL)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別沿著兩條直線行走，并同時到達D、E兩地。DA⊥AB,EB⊥AB。D、E與路段AB的距離相等嗎？為什么？

解：∵DA⊥AB,EB⊥AB∴∠A=∠B=90°

在Rt△ACD和Rt△BCE中

AC=BC（C是中點）

CD=CE（已知）∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)

∴AD=BE（全等三角形的對應角相等）即D、E與路段AB的距離相等．ADCBE∵由題意知：CD=CE點與直線的距離是（）垂直距離如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關系？∠ABC+∠DFE=90°解：在Rt△ABC和Rt△DEF中BC=EF(已知)