一、套利定價模型1、單因子模型2、多因子模型二、套利定價模型的進一步討論1、APT和CAPM的聯系與區別2、關于模型的檢驗問題三、對APT的評價套利定價理論APT課件1一、套利定價模型套利是指利用一個或多個市場存在的各種價格差異，在不冒風險或冒較小風險的情況下賺取較高收益率的交易活動。套利是市場無效率的產物，而套利的結果則促使市場效率提高，使資產價格重新回歸均衡，因此套利對市場的正面效應遠超過負面效應。

一、套利定價模型套利是指利用一個或多個市場存在的各種價格差異2套利是利用市場上資產價格暫時失衡的機會,建立數量相等的多頭和空頭頭寸,獲取無風險利潤的行為。因此一旦市場出現了套利機會套利者會盡可能建立大額的套利頭寸,推動市場價格恢復均衡,迅速消除套利機會,這正是套利定價理論的核心思想。

套利是利用市場上資產價格暫時失衡的機會,建立數量相等的多頭和3套利定價理論的一個基本假設：證券的收益率主要受一個或多個市場因子影響，并且如同指數模型一樣，假設證券收益率與這些因子之間具有線性關系，然后利用無套利均衡分析方法確定這些市場因子及對證券收益率的影響。套利定價理論的一個基本假設：4一、單因子模型

假設各證券收益率均受一個市場因子影響，并且有線性結構，即對任意證券的收益率，有

其中:是影響各證券收益率的因子的收益率;是因子收益率為零時證券的預期收益率;是因子收益率變化對證券收益率的影響程度;是證券的收益率為與因子無關的殘差。套利定價理論APT課件5并假設有：于是如同單指數模型一樣以得到證券J的預期收益率為其中表示因子的預期收益率。

，不同證券的殘差不相關,

，證券J的殘差與因子I不相關并假設有：，不同證券的殘差不相關,，證券J的殘差與因子I不6證券J的收益率的方差為其中：

表示因子的收益率的方差；表示殘差的方差。上式表明任意證券J的風險可分解為因子風險和非因子風險兩部分。證券J的收益率的方差為7在單因子模型下，證券和證券收益率的協方差為對證券組合，其預期收益率為在單因子模型下，證券和證券收益率的協方差為8證券組合的方差為其中證券組合的方差為9根據套利定價思想，在出現套利機會時，投資者將構造套利組合，來增加已有投資組合的預期收益率。之所以稱為套利組合，它應具有三個性質：1、構造的套利組合應不增加投資者的投資；2、套利組合無風險，即產生風險的因子對套利組合的影響程度為零；3、套利組合的預期收益率非負。

根據套利定價思想，在出現套利機會時，投資者將構造套利組合，10如果用表示套利組合，則應滿足的三個性質可以表示成如果用表示套利組合，則應滿足的三個性質可11投資者通過構造套利組合，賣出收益率被低估的證券而買入收益率被高估的證券。從而使收益率被高估的證券需求增加、價格上升，其收益率下降；使收益率被低估的證券供給增加、價格下降，其收益率回升，直到各證券價格和收益率重新回歸均衡，即各證券收益率與其影響因子的收益率保持一種合理關系，套利活動也將終止。而此無套利均衡下證券收益率與其影響因子收益率的關系正是下面所要推導的。投資者通過構造套利組合，賣出收益率被低估的證券而買入收益率被12投資者套利的目標是使套利組合的預期收益率最大化即尋求以下優化問題的解:

利用Lagrange乘數法，建立拉格朗日函數投資者套利的目標是使套利組合的預期收益率最大化即尋求以下優化13要求L的最大值，為此將其對及求偏導數并令其等于零，得如下方程組從(A)可以求出使套利組合收益率最大的與的關系

（A）（B）要求L的最大值，為此將其對及求偏導數并令其14注意到滿足方程組(A)的套利組合其收益率為可見(B)反映了無套利均衡條件下證券預期收益率與因子影響程度之間滿足線性關系，這就是單因子套利定價模型。注意到滿足方程組(A)的套利組合其收益率為15(B)不僅對單個證券成立，對證券組合也成立，即對證券組合，仍有

如果某證券不滿足(B)，投資者可以構造包含該證券的套利組合，使方程組(A)不成立，從而,套利成功將迫使證券需求、價格和收益率向均衡點方向調整。(B)不僅對單個證券成立，對證券組合也成立，即對證券組16以下討論套利定價模型(B)中的常數的含義,對于無風險資產其收益率為無風險利率,而且它的收益率不受任何風險因子影響，因此對無風險資產。將無風險資產代入模型(B)，則有于是將其代入(B)得以下討論套利定價模型(B)中的常數的含義,對于無17為了考查的含義，我們構造一個純因子組合，其因子影響程度代入上式可得：上式表明是因子的風險溢價，即具有單位因子影響程度的證券組合能獲得的超過無風險收益率的那部分預期收益率。由于純因子組合有多種構造方法，用它們構造的組合所推得的應該是相同的，因若不同，套利者便可以從中套利，因此因子風險報酬是惟一的為了考查的含義，我們構造一個純因子組合，其因子影響18我們不妨以因子作為純因子組合的代表，于是可以記于是(B)的套利定價模型可以寫成

如果將市場投資組合作為純因子，則套利定價模型具有如下形式它與CAPM形式完全一樣，但其導出過程和思想卻完全不同。我們不妨以因子作為純因子組合的代表，于是可以記19二、多因子模型多因子模型是假定各證券收益率都受多個市場因子影響，并具有線性結構，即任意證券的收益率可表示為個因子收益率的線性模型其中：二、多因子模型20與單因子模型類似，這里要假設如同多指數模型，在各不相關條件下可以得到證券的預期收益率為與單因子模型類似，這里要假設21證券收益率的方差為證券和的收益率協方差為

證券收益率的方差為22對于證券組合,有其中:對于證券組合,有23而而24在套利定價思想下，投資者構造的套利組合滿足的三個性質可以表示成在套利定價思想下，投資者構造的套利組合滿足的三個性質可以表示25套利組合是以下問題的解套利組合是以下問題的解26建立拉格朗日函數將對及求偏導數并令其等于零，得到方程組建立拉格朗日函數27從中可以求出多因子模型下的套利定價模型完全仿照單因子模型情形，通過分別構造僅依賴一個因子的純因子組合，還可以將上述模型寫成

其中是因子的風險報酬,即使的單因子證券組合能獲得超過無風險收益率的那部分超額收益率。從中可以求出多因子模型下的套利定價模型28例、證券市場有三個證券其收益率分別記為，經驗表明，它們受兩個市場因子的影響，下表給出了這三個證券收益率及其與市場因子收益率影響程度的因子的客觀統計估計值：以及，如果無風險收益率為

例、證券市場有三個證券其收益率分別記為，經驗表明29由APT模型，這三個證券的期望收益率為將APT給出的期望收益率與證券的客觀收益率比較，我們發現證券1和證券3的客觀估計值的期望收益率與無套利條件下的期望收益率相同，因此交易這兩種證券無套利而言。而證券2卻不同，即所以通過賣出適當比例的證券1和證券3，并投資于證券2可以構成套利組合。

由APT模型，這三個證券的期望收益率為30設證券組合的權重為,根據套利組合的定義：由此解得此證券組合的存在著套利機會，套利收益率為

設證券組合的權重為,根據套利組合的定義：31二、套利定價理論的進一步討論一、APT和CAPM的聯系與區別1.APT和CAPM的聯系當取因子為市場投資組合時,APT與CAPM有相同結果,即APT的定價模型恰好是CAPM中的證券市場線,二者是一致的。但這并不意味著CAPM模型是多因子APT模型的特殊(單因子)情形,實際上默頓于1975年和布雷頓于1979年都討論過CAPM的多因素模型。二、套利定價理論的進一步討論一、APT和CAPM的聯系與區別32在APT單因子模型中，如果選擇的因子并非市場投資組合而得到單因子APT模型:而CAPM得到的單因子模型(證券市場線)為:

這兩個模型并不一致，但如果因子與市場投資組合的收益率完全相關且同方差，則可以得出，這時可以以因子替代市場投資組合，例如某一市場指數與市場投資組合收益率完全相關且同方差，則可以用該指數代替市場投資組合。在APT單因子模型中，如果選擇的因子并非市場投資組合而得332.APT和CAPM的區別兩者最大區別在于雖然模型的線性形式相同，但建模思想不同。CAPM模型是建立在市場均衡的基礎上，以市場投資組合存在為前提。2.APT和CAPM的區別34CAPM模型假定投資者對市場中證券的收益率有相同的認識，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的風險偏好不同，從而可以建立起最小方差集合、有效集合;每個投資者都建立有效的投資組合以分散非系統風險，并根據自己對風險的偏好在存在無風險利率時，建立無風險資產與市場投資組合的投資組合在不存在無風險利率時，建立零資產與市場投資組合的投資組合，這導出每個證券的收益率與其風險系數具有線性關系CAPM模型假定投資者對市場中證券的收益率有相同的認識，即有35APT模型是建立在無套利均衡分析基礎上，它的出發點是通過少數投資者構造大額無風險套利頭寸，迫使市場重建均衡，以消除市場無風險套利機會，導出單個證券收益率與其影響因子的影響程度之間的線性關系。因此APT理論并不需CAPM那么多關于市場的假設條件，也不需要CAPM中關于證券收益率分布的假設，但APT模型中關于證券收益率的線性生成結構假設卻是CAPM模型所沒有要求的。APT模型是建立在無套利均衡分析基礎上，它的出發點是通過少數36二、關于模型的檢驗問題APT對CAPM提出的直接挑戰是CAPM無法進行檢驗，其根源在于CAPM中的市場投資組合包括的資產范圍太廣，以致于無法通過觀測取得其收益率，在模型的應用中，常以某些市場綜合指數近似代替市場投資組合，這樣既使市場綜合指數的收益率可以觀測，其對模型的檢驗也很難對CAPM模型給出肯定或否定的結論。

二、關于模型的檢驗問題37而APT模型的檢驗取決于因子的選擇，通常在APT模型中選取的因子可以分為三類：第一類即宏觀經濟因子，如GDP、通貨膨脹率、利率、工業生產指數等；第二類是微觀因子，如盈利增長率、股利增長率等；、第三類即市場因子，如一些市場指數或有關的因子等。只要選擇的因子收益率可以觀測，則相應地可以建立APT的檢驗。

而APT模型的檢驗取決于因子的選擇，通常在APT模型中選取38最后要注意，套利定價模型沒有指出證券的收益率生成結構中應包括幾個因子，也沒有規定這些因子是什么，因此建立APT模型，依賴于投資者的經驗與判斷力去選擇因子，通常因子個數由因子分析方法檢驗認為取3-5個為最好。最后要注意，套利定價模型沒有指出證券的收益率生成結構中應包括幾個因子，也沒有規定這些因子是什么，因此建立APT模型，依賴于投資者的經驗與判斷力去選擇因子，通常因子個數由因子分析方法檢驗認為取3-5個為最好。最后要注意，套利定價模型沒有指出證券的收益率生成結構中應包括39三、APT的評價優點(1)不要求市場組合的方差/均值有效。APT不要求以CAPM的嚴格假設——投資者都要遵循均值—方差原則為基礎。事實上,APT對于均衡的描述比CAPM更一般化價格不再僅僅受到均值何方差的影響。(2)不要求市場處于均衡狀態。APT的機制就是在給定證券的產生過程,從套利論證中推導出資產價格。理性的投資者會消除套利行為并使市場恢復均衡狀態,從而推導出資產的預期收益,最終得到資產的價格。(3)認為系統風險受多因素影響,有利于系統性風險的結構研究。APT詳細的分解了證券風險系統的各種構成因素,并分析了大量的宏觀經濟風險因素。分解及分析方法有助于系統風險的結構研究。三、APT的評價優點40局限(1)模型結構模糊。APT并沒有對因素的數量及其代表的含義進行說明,僅用m表示,所以,以及的識別主要依靠計算及判斷。(2)實證檢驗非常困難。就目前而言,對APT的實證研究還停留在早期階段。APT的檢驗尤其難以設計。因為APT本身只是說明了資產定價的一個結構。APT模型具有一系列優點,它并沒有完全占有支配CAPM的地位,在實際運用中,我們仍需根據不同的投資目的、投資方式等選取適應的資產定價模型。套利定價理論APT課件41一、套利定價模型1、單因子模型2、多因子模型二、套利定價模型的進一步討論1、APT和CAPM的聯系與區別2、關于模型的檢驗問題三、對APT的評價套利定價理論APT課件42一、套利定價模型套利是指利用一個或多個市場存在的各種價格差異，在不冒風險或冒較小風險的情況下賺取較高收益率的交易活動。套利是市場無效率的產物，而套利的結果則促使市場效率提高，使資產價格重新回歸均衡，因此套利對市場的正面效應遠超過負面效應。

一、套利定價模型套利是指利用一個或多個市場存在的各種價格差異43套利是利用市場上資產價格暫時失衡的機會,建立數量相等的多頭和空頭頭寸,獲取無風險利潤的行為。因此一旦市場出現了套利機會套利者會盡可能建立大額的套利頭寸,推動市場價格恢復均衡,迅速消除套利機會,這正是套利定價理論的核心思想。

套利是利用市場上資產價格暫時失衡的機會,建立數量相等的多頭和44套利定價理論的一個基本假設：證券的收益率主要受一個或多個市場因子影響，并且如同指數模型一樣，假設證券收益率與這些因子之間具有線性關系，然后利用無套利均衡分析方法確定這些市場因子及對證券收益率的影響。套利定價理論的一個基本假設：45一、單因子模型

假設各證券收益率均受一個市場因子影響，并且有線性結構，即對任意證券的收益率，有

其中:是影響各證券收益率的因子的收益率;是因子收益率為零時證券的預期收益率;是因子收益率變化對證券收益率的影響程度;是證券的收益率為與因子無關的殘差。套利定價理論APT課件46并假設有：于是如同單指數模型一樣以得到證券J的預期收益率為其中表示因子的預期收益率。

，不同證券的殘差不相關,

，證券J的殘差與因子I不相關并假設有：，不同證券的殘差不相關,，證券J的殘差與因子I不47證券J的收益率的方差為其中：

表示因子的收益率的方差；表示殘差的方差。上式表明任意證券J的風險可分解為因子風險和非因子風險兩部分。證券J的收益率的方差為48在單因子模型下，證券和證券收益率的協方差為對證券組合，其預期收益率為在單因子模型下，證券和證券收益率的協方差為49證券組合的方差為其中證券組合的方差為50根據套利定價思想，在出現套利機會時，投資者將構造套利組合，來增加已有投資組合的預期收益率。之所以稱為套利組合，它應具有三個性質：1、構造的套利組合應不增加投資者的投資；2、套利組合無風險，即產生風險的因子對套利組合的影響程度為零；3、套利組合的預期收益率非負。

根據套利定價思想，在出現套利機會時，投資者將構造套利組合，51如果用表示套利組合，則應滿足的三個性質可以表示成如果用表示套利組合，則應滿足的三個性質可52投資者通過構造套利組合，賣出收益率被低估的證券而買入收益率被高估的證券。從而使收益率被高估的證券需求增加、價格上升，其收益率下降；使收益率被低估的證券供給增加、價格下降，其收益率回升，直到各證券價格和收益率重新回歸均衡，即各證券收益率與其影響因子的收益率保持一種合理關系，套利活動也將終止。而此無套利均衡下證券收益率與其影響因子收益率的關系正是下面所要推導的。投資者通過構造套利組合，賣出收益率被低估的證券而買入收益率被53投資者套利的目標是使套利組合的預期收益率最大化即尋求以下優化問題的解:

利用Lagrange乘數法，建立拉格朗日函數投資者套利的目標是使套利組合的預期收益率最大化即尋求以下優化54要求L的最大值，為此將其對及求偏導數并令其等于零，得如下方程組從(A)可以求出使套利組合收益率最大的與的關系

（A）（B）要求L的最大值，為此將其對及求偏導數并令其55注意到滿足方程組(A)的套利組合其收益率為可見(B)反映了無套利均衡條件下證券預期收益率與因子影響程度之間滿足線性關系，這就是單因子套利定價模型。注意到滿足方程組(A)的套利組合其收益率為56(B)不僅對單個證券成立，對證券組合也成立，即對證券組合，仍有

如果某證券不滿足(B)，投資者可以構造包含該證券的套利組合，使方程組(A)不成立，從而,套利成功將迫使證券需求、價格和收益率向均衡點方向調整。(B)不僅對單個證券成立，對證券組合也成立，即對證券組57以下討論套利定價模型(B)中的常數的含義,對于無風險資產其收益率為無風險利率,而且它的收益率不受任何風險因子影響，因此對無風險資產。將無風險資產代入模型(B)，則有于是將其代入(B)得以下討論套利定價模型(B)中的常數的含義,對于無58為了考查的含義，我們構造一個純因子組合，其因子影響程度代入上式可得：上式表明是因子的風險溢價，即具有單位因子影響程度的證券組合能獲得的超過無風險收益率的那部分預期收益率。由于純因子組合有多種構造方法，用它們構造的組合所推得的應該是相同的，因若不同，套利者便可以從中套利，因此因子風險報酬是惟一的為了考查的含義，我們構造一個純因子組合，其因子影響59我們不妨以因子作為純因子組合的代表，于是可以記于是(B)的套利定價模型可以寫成

如果將市場投資組合作為純因子，則套利定價模型具有如下形式它與CAPM形式完全一樣，但其導出過程和思想卻完全不同。我們不妨以因子作為純因子組合的代表，于是可以記60二、多因子模型多因子模型是假定各證券收益率都受多個市場因子影響，并具有線性結構，即任意證券的收益率可表示為個因子收益率的線性模型其中：二、多因子模型61與單因子模型類似，這里要假設如同多指數模型，在各不相關條件下可以得到證券的預期收益率為與單因子模型類似，這里要假設62證券收益率的方差為證券和的收益率協方差為

證券收益率的方差為63對于證券組合,有其中:對于證券組合,有64而而65在套利定價思想下，投資者構造的套利組合滿足的三個性質可以表示成在套利定價思想下，投資者構造的套利組合滿足的三個性質可以表示66套利組合是以下問題的解套利組合是以下問題的解67建立拉格朗日函數將對及求偏導數并令其等于零，得到方程組建立拉格朗日函數68從中可以求出多因子模型下的套利定價模型完全仿照單因子模型情形，通過分別構造僅依賴一個因子的純因子組合，還可以將上述模型寫成

其中是因子的風險報酬,即使的單因子證券組合能獲得超過無風險收益率的那部分超額收益率。從中可以求出多因子模型下的套利定價模型69例、證券市場有三個證券其收益率分別記為，經驗表明，它們受兩個市場因子的影響，下表給出了這三個證券收益率及其與市場因子收益率影響程度的因子的客觀統計估計值：以及，如果無風險收益率為

例、證券市場有三個證券其收益率分別記為，經驗表明70由APT模型，這三個證券的期望收益率為將APT給出的期望收益率與證券的客觀收益率比較，我們發現證券1和證券3的客觀估計值的期望收益率與無套利條件下的期望收益率相同，因此交易這兩種證券無套利而言。而證券2卻不同，即所以通過賣出適當比例的證券1和證券3，并投資于證券2可以構成套利組合。

由APT模型，這三個證券的期望收益率為71設證券組合的權重為,根據套利組合的定義：由此解得此證券組合的存在著套利機會，套利收益率為

設證券組合的權重為,根據套利組合的定義：72二、套利定價理論的進一步討論一、APT和CAPM的聯系與區別1.APT和CAPM的聯系當取因子為市場投資組合時,APT與CAPM有相同結果,即APT的定價模型恰好是CAPM中的證券市場線,二者是一致的。但這并不意味著CAPM模型是多因子APT模型的特殊(單因子)情形,實際上默頓于1975年和布雷頓于1979年都討論過CAPM的多因素模型。二、套利定價理論的進一步討論一、APT和CAPM的聯系與區別73在APT單因子模型中，如果選擇的因子并非市場投資組合而得到單因子APT模型:而CAPM得到的單因子模型(證券市場線)為:

這兩個模型并不一致，但如果因子與市場投資組合的收益率完全相關且同方差，則可以得出，這時可以以因子替代市場投資組合，例如某一市場指數與市場投資組合收益率完全相關且同方差，則可以用該指數代替市場投資組合。在APT單因子模型中，如果選擇的因子并非市場投資組合而得742.APT和CAPM的區別兩者最大區別在于雖然模型的線性形式相同，但建模思想不同。CAPM模型是建立在市場均衡的基礎上，以市場投資組合存在為前提。2.APT和CAPM的區別75CAPM模型假定投資者對市場中證券的收益率有相同的認識，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的風險偏好不同，從而可以建立起最小方差集合、有效集合;每個投資者都建立有效的投資組合以分散非系統風險，并根據自己對風險的偏好在存在無風險利率時，建立無風險資產與市場投資組合的投資組合在不存在無風險利率時，建立零資產與市場投資組合的投資組合，這導出每個證券的收益率與其風險系數具有線性關系CAPM模型假定投資者對市場中證券的收益率有相同的認識，即有76APT模型是建立在無套利均衡分析基礎上，它的出發點是通過少數投資者構造大額無風險套利頭寸，迫使市場重建均衡，以消除市場無風險套利機會，導出單個證券收益率與其影響因子的影響程度之間的線性關系。因此APT理論并不需CAPM那么多關于市場的假設條件，也不需要CAPM中關于證券收益率分布的假設，但APT模型中關于證券收益率的線性生成結構假設卻是CAPM模型所沒有要求的。APT模型是建立在無套利均衡分析基礎上，它的出發點是通過少數77二、關于模型的檢驗問題APT對CAPM提出的直接挑戰是CAPM無法進行檢驗，其根源在于CAPM中的市場投資組合包括的資產范圍太廣，以致于無法通過