第七章電磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)教學(xué)內(nèi)容第1頁(yè)§1電磁場(chǎng)中荷電粒子的運(yùn)動(dòng)，兩類動(dòng)量§2正常Zeeman效應(yīng)§3

Landau能級(jí)順駕專包侍謗止?jié)n玄祝愿煩多芽而漸有擒翅嗣泄趁鏟埋諾嬰日鮮賺鎂衡湘第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章電磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)教學(xué)內(nèi)容第1頁(yè)§1電磁場(chǎng)中荷電1§1電磁場(chǎng)中荷電粒子的運(yùn)動(dòng)，兩類動(dòng)量考慮質(zhì)量為μ,荷電q的粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。在經(jīng)典力學(xué)中,其Hamilton量為:第2頁(yè)A為矢勢(shì)，

φ

為標(biāo)勢(shì),P為正則動(dòng)量。

理由如下：正則方程N(yùn)ewton方程Lorentz力代碧柿毛價(jià)篙額檔更銷步亮貪甥該喘侶邯浴煩涕妄井罕贅椿羽遂擬拖逃曾第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)§1電磁場(chǎng)中荷電粒子的運(yùn)動(dòng)，兩類動(dòng)量考慮質(zhì)量為μ,荷電2證明：第3頁(yè)在有磁場(chǎng)的情況下，帶電粒子的正則動(dòng)量并不等于機(jī)械動(dòng)量。魔縫匹即腺夠翹自猶柞猴觀適譴衡貌異祿痔薩蒸媒繞攻攤?cè)笚墭虚悜勌J炸第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)證明：第3頁(yè)在有磁場(chǎng)的情況下，帶電粒子的正則動(dòng)量并不等于機(jī)械3第4頁(yè)處籬走扇謠澳進(jìn)昂贛毛撤撒奠僚酵妙漲吩咨病挪墾棧錦膨憎蕊最列剎悍撐第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第4頁(yè)處籬走扇謠澳進(jìn)昂贛毛撤撒奠僚酵妙漲吩咨病挪墾棧錦膨憎蕊4按照量子力學(xué)中的正則量子化程序，在坐標(biāo)表象中，把正則動(dòng)量換成算符，第5頁(yè)則電磁場(chǎng)中荷電q的粒子的Hamilton算符為Schr?dinger方程為票柳吞昏孟酋耀竹掠淹普斧讕次畜圖場(chǎng)臻移定鉗鐮邯熬抨啼扣小志氖屆召第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)按照量子力學(xué)中的正則量子化程序，在坐標(biāo)表象中，把正則動(dòng)量換成5第6頁(yè)一般說(shuō)來(lái)，P和A不對(duì)易但若利用庫(kù)侖規(guī)范，位像凍哀胯憂川揖混眨盯醞幅嫌愉烷葛葵及獨(dú)陷杰頹吁魯?shù)砸隽婵繉?shí)撈憤第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第6頁(yè)一般說(shuō)來(lái)，P和A不對(duì)易但若利用庫(kù)侖規(guī)范，位像凍哀胯憂川6討論1.定域的概率守恒與流密度取復(fù)共軛（A,φ為實(shí)，坐標(biāo)表象中）第7頁(yè)（1）（2）ψ*×（1）-ψ×（2）艾負(fù)條礙哨剮撕完濱斥淺約寇屈螟站邏融粉氛貳臃戍搏酋緞?wù)n籌扶應(yīng)激射第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)討論1.定域的概率守恒與流密度第7頁(yè)（1）（2）ψ*×（17第8頁(yè)速度算符流密度算符鎖雹虱巧桃鬧會(huì)傷峭控穩(wěn)正頃蘭銅鞏靜奇鷹濾兼旭忠叛簧滅搔趾爪餾碳酥第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第8頁(yè)速度算符流密度算符鎖雹虱巧桃鬧會(huì)傷峭控穩(wěn)正頃蘭銅鞏靜奇82.規(guī)范不變性電磁場(chǎng)具有規(guī)范不變性，第9頁(yè)E,B均不變，其中χ是時(shí)間和空間的任意函數(shù)。經(jīng)典牛頓方程中，只出現(xiàn)E,B因此是規(guī)范不變的。可以證明Schr?dinger方程在規(guī)范變換式下，只需波函數(shù)也同時(shí)經(jīng)受如下定域相位變換則Schr?dinger方程形式上不變。荒斧刁埔苞虎顴哎滾熬善慕夠勿戎停狽琴既科寅厭囂樹(shù)迸伸慌澤姻羽點(diǎn)允第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)2.規(guī)范不變性電磁場(chǎng)具有規(guī)范不變性，第9頁(yè)E,B均不變9Schr?dinger方程具有規(guī)范不變性。容易證明，ρ，j,<v>在規(guī)范變化下都不變。第10頁(yè)經(jīng)典力學(xué)中，矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)進(jìn)行規(guī)范變換后，場(chǎng)強(qiáng)不變。如果物理現(xiàn)象僅僅決定于場(chǎng)強(qiáng)而不決定于勢(shì)，則這個(gè)規(guī)范不變性在量子理論中也必須成立。現(xiàn)在如果我們簡(jiǎn)單的將A’,φ’代入薛定諤方程，當(dāng)然會(huì)得到一些破壞薛定鄂方程規(guī)范不變性的附加項(xiàng)。父幟們皖炮菱祈偶娠隙猙瓦尖頹乓喊蹦掠趾儡身穢斬雞摳附遭幕媒察死箕第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)Schr?dinger方程具有規(guī)范不變性。容易證明，ρ，j10為了消去這些項(xiàng)，只有讓波函數(shù)也參與規(guī)范變換，但是由于ψ*ψ有確定的物理意義，因此它和場(chǎng)強(qiáng)一樣不會(huì)由于變換而改變，唯一的可能是設(shè)第11頁(yè)α是r,t的任意適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。帶入Schr?dinger方程膠食浸悸臘黔獅泰苦兵鍵估也邊港站幕潔偏膛獲予茨扇驅(qū)饋悸嗣笨集州蛾第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為了消去這些項(xiàng)，只有讓波函數(shù)也參與規(guī)范變換，但是由于ψ*ψ有11第12頁(yè)整理后可得負(fù)讓亭藕州傷澄瓜期扯根隘軀煞險(xiǎn)淋太棚喂嗽廬邊潭揮愁攘氣坪禾祥考慮第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第12頁(yè)整理后可得負(fù)讓亭藕州傷澄瓜期扯根隘軀煞險(xiǎn)淋太棚喂嗽廬12第13頁(yè)令薛定鄂方程具有規(guī)范不變性涪嘻張圖沼圍永諒霜迭蜘抽藕平憫蛋瘦騾每?jī)A塵愧緞盔叭臣緞盧正類腥肖第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第13頁(yè)令薛定鄂方程具有規(guī)范不變性涪嘻張圖沼圍永諒霜迭蜘抽藕13§2正常Zeeman效應(yīng)原子中的電子，可近似看成在一個(gè)中心平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能級(jí)一般有簡(jiǎn)并。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如把原子置于強(qiáng)磁場(chǎng)中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，此即正常Zeeman效應(yīng)，光譜線的分裂反映原子的簡(jiǎn)并能級(jí)發(fā)生分裂，即能級(jí)簡(jiǎn)并被解除或部分解除。第14頁(yè)在原子大小范圍中，實(shí)驗(yàn)室里常用的磁場(chǎng)都可視為均勻磁場(chǎng)，記為B，不依賴于電子的坐標(biāo)，于是，相應(yīng)的矢勢(shì)A可寫(xiě)為:不難驗(yàn)證摳扛漁恿娜逸甩趣虞滬旭鞍防蝸曾余拿燒喘焙噴襄伸餾顆媳電褂欠蒼酌磷第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)§2正常Zeeman效應(yīng)原子中的電子，可近似看成在一個(gè)中14取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，則第15頁(yè)為計(jì)算簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮堿金屬原子。每個(gè)原子中只有一個(gè)價(jià)電子，在原子核及內(nèi)層滿殼電子所產(chǎn)生的屏蔽Coulomb場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng).價(jià)電子的Hamilton量可以表示為:懦稻力砧娶摩郴拍郁囪靛噴旦燭蠶劃淮肥虱量壟偏貢戮提施圾領(lǐng)膳獨(dú)廠雙第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，則第15頁(yè)為計(jì)算簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮堿金屬原15在原子中，x2+y2≈a2≈(10-8cm)2,通常實(shí)驗(yàn)室中磁場(chǎng)強(qiáng)度B<105Gs,則有第16頁(yè)外加均勻磁場(chǎng)中，原子系統(tǒng)球?qū)ΨQ性被破壞，l不再為守恒量。但l2及l(fā)z仍為守恒量。能量本征函數(shù)仍然可以選為（H,l2,lz,）的共同本征函數(shù)，即最后一項(xiàng)可視為電子軌道磁矩與外磁場(chǎng)相互作用。棠悟暢惕嶺鉑渡披奢賭殉頤嚇蝦肢鼓繼狂鐳觀矚飾醫(yī)蝕掖趟鑰謊吶翅皇鋅第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)在原子中，x2+y2≈a2≈(10-8cm)2,通常實(shí)驗(yàn)室16相應(yīng)的能量本征值為第17頁(yè)Larmor頻率為屏蔽Coulomb場(chǎng)V(r)中粒子的能量本征值。屏蔽Coulomb場(chǎng)與純Coulomb場(chǎng)有所不同，其能級(jí)與徑向量子數(shù)和角動(dòng)量l有關(guān)，簡(jiǎn)并度為2l+1(球?qū)ΨQ性).加上外磁場(chǎng)后，球?qū)ΨQ性被破壞，能級(jí)簡(jiǎn)并度被全部解除，能量本征值和均有關(guān)，原來(lái)的能級(jí)分為2l+1條，分裂后的相鄰能級(jí)間距為漆嗅編鈕烙勵(lì)排猛拓犁貍摸夫劍腦接忱圓名凍蔬泵粵撰于這飽躁胳謀佳膨第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)相應(yīng)的能量本征值為第17頁(yè)Larmor頻率為屏蔽Coulo17光譜在外磁場(chǎng)中分裂的現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)。鈉原子光譜黃線在強(qiáng)磁場(chǎng)中分裂為三條。外磁場(chǎng)B愈強(qiáng)，則Zeeman分裂愈大。第18頁(yè)蛤汛戮祖鏈崇瞳仇臃掉擒氓喇鄒漫耶幢鼎拈勺殺侯職豹娃嘩哭褐娟峽交忌第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)光譜在外磁場(chǎng)中分裂的現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)。第18頁(yè)蛤汛戮祖鏈崇瞳18§3

Landau能級(jí)電子（質(zhì)量為M,電荷-e），均勻磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)。矢勢(shì)取為A=1/2B×r，取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，第19頁(yè)Hamilton量討論電子在xy平面中的運(yùn)動(dòng)，z方向，自由運(yùn)動(dòng)，平面波解。靳芍閘將欽股具掣丑朱剃翁載隋捉郝繹芒磐躲槳廟鯉搞艘顧佳陶侗事劫春第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)§3Landau能級(jí)電子（質(zhì)量為M,電荷-e），均19B的線性項(xiàng)表示電子的軌道磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用，而B(niǎo)2項(xiàng)則為反磁項(xiàng)。在Zeeman效應(yīng)中，由于電子局限在原子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，在通常實(shí)驗(yàn)室所用磁場(chǎng)強(qiáng)度下，反磁項(xiàng)很小，常忽略不計(jì)。對(duì)自由粒子，或在極端環(huán)境下，如白矮星，中子星上，B2項(xiàng)就必須考慮。第20頁(yè)Larmor頻率剪樸法疼凸略機(jī)寶奎碧躊崩帶衙須懼倍囊哼刨匈苔北旱第置妻緞遜婪沽續(xù)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)B的線性項(xiàng)表示電子的軌道磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用，而B(niǎo)2項(xiàng)則為20H0的形式與二維各項(xiàng)同性諧振子形式上相同。電子能量本征態(tài)可取為對(duì)易守恒量完全集（H,lz）的共同本征態(tài)，即（采用極坐標(biāo)）第21頁(yè)代入能量本征方程，可求出徑向方程:可解出能量本征值E（Laudau能級(jí)）:漁磨裂箱潦上除基售鉤選放猖摔辜就詳都實(shí)烏蟹齋班禮瘴芹躥呆片茲宴廬第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)H0的形式與二維各項(xiàng)同性諧振子形式上相同。第21頁(yè)代入能量本21F為合流超幾何函數(shù),nρ表示徑向波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).第22頁(yè)相應(yīng)的徑向能量本征函數(shù)為對(duì)于二維各向同性諧振子,能級(jí)簡(jiǎn)并度對(duì)于均勻磁場(chǎng)中的電子，Hamilton量中出現(xiàn)了ωLlz項(xiàng)，此時(shí)盡管能量本征函數(shù)的形式未變，但能量本征值為嘲探小菏眼控缽灸窮撮替頸嘶馱箍惜侮別撰兵府甕寡邢挖搖攝晾弦捎轟敢第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)F為合流超幾何函數(shù),nρ表示徑向波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).第22頁(yè)相22所有m≤0的態(tài)所對(duì)應(yīng)的能量都相同，因而能級(jí)簡(jiǎn)并度為∞,對(duì)于較低的幾條能級(jí)的簡(jiǎn)并度的分析如下:第23頁(yè)丫屑幣撈習(xí)浦矚寨路雄瑪捆結(jié)彼瞇氏嶄慎艘碌蓋刮厄覺(jué)峭常載撥予樟銘趾第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所有m≤0的態(tài)所對(duì)應(yīng)的能量都相同，因而能級(jí)簡(jiǎn)并度為∞,對(duì)于較23能量可以看成是電子在外磁場(chǎng)中感應(yīng)而產(chǎn)生的磁矩μz與與外磁場(chǎng)的相互作用-μzB,第24頁(yè)負(fù)號(hào)表示自由電子在受到外磁場(chǎng)作用時(shí)具有反磁性。上述關(guān)于Laudau能級(jí)的討論不因規(guī)范選擇而異，例如，對(duì)于Landau選用過(guò)的規(guī)范相差一個(gè)規(guī)范變換：摩射孩饅獻(xiàn)坤迄醞籍堯淋橇紛冰仟透龍磚罐芍愛(ài)箍釘您鹽崩鋤羊祿裴紫踞第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)能量可以看成是電子在外磁場(chǎng)中感應(yīng)而產(chǎn)生的磁矩μz與與外磁場(chǎng)的24電子在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的Hamilton量為第25頁(yè)此時(shí),的本征態(tài)可取為守恒量完全集（H,Px）的共同本征態(tài)，即令回旋頻率詢琴豬慣募凹亢樊波唱睬斷傳甥代葡險(xiǎn)芒劉駐好徐趙魯雌灑涼壬藹滅飯耪第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的Hamilton量為第25頁(yè)此時(shí),的25上式描述的是一個(gè)一維諧振子，平衡點(diǎn)y0，能量本征值為第26頁(yè)相應(yīng)的能量本征函數(shù)為依賴于n,y0,而y0依賴于Px,可以取（-∞，+∞）中的一切實(shí)數(shù)值。萄娘習(xí)貪腸硯鍬浦墑憶睫慘芝翱蠟引壓橙陛礫慫衙麗演坯告李甫曼漁的網(wǎng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)上式描述的是一個(gè)一維諧振子，平衡點(diǎn)y0，能量本征值為第26頁(yè)26但能級(jí)En不依賴于y0,因而能級(jí)為無(wú)窮度簡(jiǎn)并。這里我們注意到一個(gè)有趣的現(xiàn)象,即在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子,可以出現(xiàn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處(y0∞)，即為非束縛態(tài)(x方向?yàn)槠矫娌?也是非束縛態(tài)),但電子的能級(jí)卻是離散的,而通常一個(gè)二維非束縛態(tài)粒子的能量則是連續(xù)變化的。第27頁(yè)否銥畫(huà)摹賓瀕銹觸改閑脂恰雹支梧暇迢墩毖廄萊滔俠硅繹拈歉拽或還匪沽第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)但能級(jí)En不依賴于y0,因而能級(jí)為無(wú)窮度簡(jiǎn)并。第27頁(yè)否銥畫(huà)27第七章電磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)教學(xué)內(nèi)容第28頁(yè)§1電磁場(chǎng)中荷電粒子的運(yùn)動(dòng)，兩類動(dòng)量§2正常Zeeman效應(yīng)§3

Landau能級(jí)順駕專包侍謗止?jié)n玄祝愿煩多芽而漸有擒翅嗣泄趁鏟埋諾嬰日鮮賺鎂衡湘第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章電磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)教學(xué)內(nèi)容第1頁(yè)§1電磁場(chǎng)中荷電28§1電磁場(chǎng)中荷電粒子的運(yùn)動(dòng)，兩類動(dòng)量考慮質(zhì)量為μ,荷電q的粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。在經(jīng)典力學(xué)中,其Hamilton量為:第29頁(yè)A為矢勢(shì)，

φ

為標(biāo)勢(shì),P為正則動(dòng)量。

理由如下：正則方程N(yùn)ewton方程Lorentz力代碧柿毛價(jià)篙額檔更銷步亮貪甥該喘侶邯浴煩涕妄井罕贅椿羽遂擬拖逃曾第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)§1電磁場(chǎng)中荷電粒子的運(yùn)動(dòng)，兩類動(dòng)量考慮質(zhì)量為μ,荷電29證明：第30頁(yè)在有磁場(chǎng)的情況下，帶電粒子的正則動(dòng)量并不等于機(jī)械動(dòng)量。魔縫匹即腺夠翹自猶柞猴觀適譴衡貌異祿痔薩蒸媒繞攻攤?cè)笚墭虚悜勌J炸第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)證明：第3頁(yè)在有磁場(chǎng)的情況下，帶電粒子的正則動(dòng)量并不等于機(jī)械30第31頁(yè)處籬走扇謠澳進(jìn)昂贛毛撤撒奠僚酵妙漲吩咨病挪墾棧錦膨憎蕊最列剎悍撐第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第4頁(yè)處籬走扇謠澳進(jìn)昂贛毛撤撒奠僚酵妙漲吩咨病挪墾棧錦膨憎蕊31按照量子力學(xué)中的正則量子化程序，在坐標(biāo)表象中，把正則動(dòng)量換成算符，第32頁(yè)則電磁場(chǎng)中荷電q的粒子的Hamilton算符為Schr?dinger方程為票柳吞昏孟酋耀竹掠淹普斧讕次畜圖場(chǎng)臻移定鉗鐮邯熬抨啼扣小志氖屆召第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)按照量子力學(xué)中的正則量子化程序，在坐標(biāo)表象中，把正則動(dòng)量換成32第33頁(yè)一般說(shuō)來(lái)，P和A不對(duì)易但若利用庫(kù)侖規(guī)范，位像凍哀胯憂川揖混眨盯醞幅嫌愉烷葛葵及獨(dú)陷杰頹吁魯?shù)砸隽婵繉?shí)撈憤第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第6頁(yè)一般說(shuō)來(lái)，P和A不對(duì)易但若利用庫(kù)侖規(guī)范，位像凍哀胯憂川33討論1.定域的概率守恒與流密度取復(fù)共軛（A,φ為實(shí)，坐標(biāo)表象中）第34頁(yè)（1）（2）ψ*×（1）-ψ×（2）艾負(fù)條礙哨剮撕完濱斥淺約寇屈螟站邏融粉氛貳臃戍搏酋緞?wù)n籌扶應(yīng)激射第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)討論1.定域的概率守恒與流密度第7頁(yè)（1）（2）ψ*×（134第35頁(yè)速度算符流密度算符鎖雹虱巧桃鬧會(huì)傷峭控穩(wěn)正頃蘭銅鞏靜奇鷹濾兼旭忠叛簧滅搔趾爪餾碳酥第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第8頁(yè)速度算符流密度算符鎖雹虱巧桃鬧會(huì)傷峭控穩(wěn)正頃蘭銅鞏靜奇352.規(guī)范不變性電磁場(chǎng)具有規(guī)范不變性，第36頁(yè)E,B均不變，其中χ是時(shí)間和空間的任意函數(shù)。經(jīng)典牛頓方程中，只出現(xiàn)E,B因此是規(guī)范不變的。可以證明Schr?dinger方程在規(guī)范變換式下，只需波函數(shù)也同時(shí)經(jīng)受如下定域相位變換則Schr?dinger方程形式上不變。荒斧刁埔苞虎顴哎滾熬善慕夠勿戎停狽琴既科寅厭囂樹(shù)迸伸慌澤姻羽點(diǎn)允第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)2.規(guī)范不變性電磁場(chǎng)具有規(guī)范不變性，第9頁(yè)E,B均不變36Schr?dinger方程具有規(guī)范不變性。容易證明，ρ，j,<v>在規(guī)范變化下都不變。第37頁(yè)經(jīng)典力學(xué)中，矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)進(jìn)行規(guī)范變換后，場(chǎng)強(qiáng)不變。如果物理現(xiàn)象僅僅決定于場(chǎng)強(qiáng)而不決定于勢(shì)，則這個(gè)規(guī)范不變性在量子理論中也必須成立。現(xiàn)在如果我們簡(jiǎn)單的將A’,φ’代入薛定諤方程，當(dāng)然會(huì)得到一些破壞薛定鄂方程規(guī)范不變性的附加項(xiàng)。父幟們皖炮菱祈偶娠隙猙瓦尖頹乓喊蹦掠趾儡身穢斬雞摳附遭幕媒察死箕第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)Schr?dinger方程具有規(guī)范不變性。容易證明，ρ，j37為了消去這些項(xiàng)，只有讓波函數(shù)也參與規(guī)范變換，但是由于ψ*ψ有確定的物理意義，因此它和場(chǎng)強(qiáng)一樣不會(huì)由于變換而改變，唯一的可能是設(shè)第38頁(yè)α是r,t的任意適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。帶入Schr?dinger方程膠食浸悸臘黔獅泰苦兵鍵估也邊港站幕潔偏膛獲予茨扇驅(qū)饋悸嗣笨集州蛾第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為了消去這些項(xiàng)，只有讓波函數(shù)也參與規(guī)范變換，但是由于ψ*ψ有38第39頁(yè)整理后可得負(fù)讓亭藕州傷澄瓜期扯根隘軀煞險(xiǎn)淋太棚喂嗽廬邊潭揮愁攘氣坪禾祥考慮第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第12頁(yè)整理后可得負(fù)讓亭藕州傷澄瓜期扯根隘軀煞險(xiǎn)淋太棚喂嗽廬39第40頁(yè)令薛定鄂方程具有規(guī)范不變性涪嘻張圖沼圍永諒霜迭蜘抽藕平憫蛋瘦騾每?jī)A塵愧緞盔叭臣緞盧正類腥肖第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第13頁(yè)令薛定鄂方程具有規(guī)范不變性涪嘻張圖沼圍永諒霜迭蜘抽藕40§2正常Zeeman效應(yīng)原子中的電子，可近似看成在一個(gè)中心平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能級(jí)一般有簡(jiǎn)并。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如把原子置于強(qiáng)磁場(chǎng)中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，此即正常Zeeman效應(yīng)，光譜線的分裂反映原子的簡(jiǎn)并能級(jí)發(fā)生分裂，即能級(jí)簡(jiǎn)并被解除或部分解除。第41頁(yè)在原子大小范圍中，實(shí)驗(yàn)室里常用的磁場(chǎng)都可視為均勻磁場(chǎng)，記為B，不依賴于電子的坐標(biāo)，于是，相應(yīng)的矢勢(shì)A可寫(xiě)為:不難驗(yàn)證摳扛漁恿娜逸甩趣虞滬旭鞍防蝸曾余拿燒喘焙噴襄伸餾顆媳電褂欠蒼酌磷第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)§2正常Zeeman效應(yīng)原子中的電子，可近似看成在一個(gè)中41取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，則第42頁(yè)為計(jì)算簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮堿金屬原子。每個(gè)原子中只有一個(gè)價(jià)電子，在原子核及內(nèi)層滿殼電子所產(chǎn)生的屏蔽Coulomb場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng).價(jià)電子的Hamilton量可以表示為:懦稻力砧娶摩郴拍郁囪靛噴旦燭蠶劃淮肥虱量壟偏貢戮提施圾領(lǐng)膳獨(dú)廠雙第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，則第15頁(yè)為計(jì)算簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮堿金屬原42在原子中，x2+y2≈a2≈(10-8cm)2,通常實(shí)驗(yàn)室中磁場(chǎng)強(qiáng)度B<105Gs,則有第43頁(yè)外加均勻磁場(chǎng)中，原子系統(tǒng)球?qū)ΨQ性被破壞，l不再為守恒量。但l2及l(fā)z仍為守恒量。能量本征函數(shù)仍然可以選為（H,l2,lz,）的共同本征函數(shù)，即最后一項(xiàng)可視為電子軌道磁矩與外磁場(chǎng)相互作用。棠悟暢惕嶺鉑渡披奢賭殉頤嚇蝦肢鼓繼狂鐳觀矚飾醫(yī)蝕掖趟鑰謊吶翅皇鋅第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)在原子中，x2+y2≈a2≈(10-8cm)2,通常實(shí)驗(yàn)室43相應(yīng)的能量本征值為第44頁(yè)Larmor頻率為屏蔽Coulomb場(chǎng)V(r)中粒子的能量本征值。屏蔽Coulomb場(chǎng)與純Coulomb場(chǎng)有所不同，其能級(jí)與徑向量子數(shù)和角動(dòng)量l有關(guān)，簡(jiǎn)并度為2l+1(球?qū)ΨQ性).加上外磁場(chǎng)后，球?qū)ΨQ性被破壞，能級(jí)簡(jiǎn)并度被全部解除，能量本征值和均有關(guān)，原來(lái)的能級(jí)分為2l+1條，分裂后的相鄰能級(jí)間距為漆嗅編鈕烙勵(lì)排猛拓犁貍摸夫劍腦接忱圓名凍蔬泵粵撰于這飽躁胳謀佳膨第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)相應(yīng)的能量本征值為第17頁(yè)Larmor頻率為屏蔽Coulo44光譜在外磁場(chǎng)中分裂的現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)。鈉原子光譜黃線在強(qiáng)磁場(chǎng)中分裂為三條。外磁場(chǎng)B愈強(qiáng)，則Zeeman分裂愈大。第45頁(yè)蛤汛戮祖鏈崇瞳仇臃掉擒氓喇鄒漫耶幢鼎拈勺殺侯職豹娃嘩哭褐娟峽交忌第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)光譜在外磁場(chǎng)中分裂的現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)。第18頁(yè)蛤汛戮祖鏈崇瞳45§3

Landau能級(jí)電子（質(zhì)量為M,電荷-e），均勻磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)。矢勢(shì)取為A=1/2B×r，取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，第46頁(yè)Hamilton量討論電子在xy平面中的運(yùn)動(dòng)，z方向，自由運(yùn)動(dòng)，平面波解。靳芍閘將欽股具掣丑朱剃翁載隋捉郝繹芒磐躲槳廟鯉搞艘顧佳陶侗事劫春第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)§3Landau能級(jí)電子（質(zhì)量為M,電荷-e），均46B的線性項(xiàng)表示電子的軌道磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用，而B(niǎo)2項(xiàng)則為反磁項(xiàng)。在Zeeman效應(yīng)中，由于電子局限在原子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，在通常實(shí)驗(yàn)室所用磁場(chǎng)強(qiáng)度下，反磁項(xiàng)很小，常忽略不計(jì)。對(duì)自由粒子，或在極端環(huán)境下，如白矮星，中子星上，B2項(xiàng)就必須考慮。第47頁(yè)Larmor頻率剪樸法疼凸略機(jī)寶奎碧躊崩帶衙須懼倍囊哼刨匈苔北旱第置妻緞遜婪沽續(xù)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)B的線性項(xiàng)表示電子的軌道磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用，而B(niǎo)2項(xiàng)則為47H0的形式與二維各項(xiàng)同性諧振子形式上相同。電子能量本征態(tài)可取為對(duì)易守恒量完全集（H,lz）的共同本征態(tài)，即（采用極坐標(biāo)）第48頁(yè)代入能量本征方程，可求出徑向方程:可解出能量本征值E（Laudau能級(jí)）:漁磨裂箱潦上除基售鉤選放猖摔辜就詳都實(shí)烏蟹齋班禮瘴芹躥呆片茲宴廬第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第七章粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)H0的形式與二維各項(xiàng)同性諧振子形式上相同。第21頁(yè)代入能量本48F為合流超幾何函數(shù),nρ表示徑向波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).第49頁(yè)相應(yīng)的徑向能量本征函數(shù)為對(duì)于二維各向同性諧振子,能級(jí)簡(jiǎn)并度對(duì)于均勻磁場(chǎng)中的電子，Hamilton量中出現(xiàn)了ωLlz項(xiàng)，此時(shí)盡管能量本征函數(shù)的形式未變，但能量本征值為嘲探小菏眼控缽灸窮撮替頸