第五章

直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置（編制李小平）第五章

直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置（編制1本章目錄§5-1平行問題§5-2相交問題§5-3垂直問題§5-4綜合問題解題示例本章目錄§5-1平行問題§5-2相交問題§5-2§5-1平行問題一、直線和平面平行二、平面和平面平行

本章介紹它們的投影特性和作圖方法。直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置可能是平行、相交或垂直。§5-1平行問題一、直線和平面平行二、平面和平面平行3一、直線和平面平行定理

如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。QABCD一、直線和平面平行定理如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一4

有關(guān)直線與平面平行的作圖問題：作直線∥已知平面。作平面∥已知直線。判斷已知直線、平面是否平行。有關(guān)直線與平面平行的作圖問題：52’2例1含點(diǎn)I(1,1’)作平面與直線AB(ab,a’b’)平行。1’3’13a’abb’X

作法(1)過點(diǎn)Ⅰ作直線ⅠⅢ與AB平行(2)含直線ⅠⅢ作一任意平面。圖5-12’2例1含點(diǎn)I(1,1’)作平面與直線AB(ab,a’6例2判斷直線AB與△ⅠⅡⅢ是否平行。圖5-2a’b’3’2’1’ab312x

作法

(1)在平面任一投影中，作面內(nèi)直線CF∥AB的同面投影。(2)求CF的另一投影，并判斷直線CF是否∥AB。d’f’c’fdc例2判斷直線AB與△ⅠⅡⅢ是否平行。圖5-2a’b7特殊情況

若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队耙欢ㄆ叫小直線投影∥平面有積聚性的同面投影,它們?cè)诳臻g必互相平行特殊情況若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們?cè)谠撏队懊?特殊情況

若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，則它們空間一定平行。X直線與平面對(duì)某一投影面同時(shí)有積聚性,它們?cè)诳臻g必互相平行。PH特殊情況若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，則它們空間一定平9二、平面和平面平行定理

如果一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。PQABCDC1D1A1B1二、平面和平面平行定理如果一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線與另一10

有關(guān)兩平面平行的作圖問題：作平面∥已知平面。判斷兩已知平面是否平行。有關(guān)兩平面平行的作圖問題：11例含點(diǎn)A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c2Xa1’a2’

b2’

b2

a1a2c2’b1’

b1c1’

c1圖5-3例含點(diǎn)A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c212c2Xa2’

b2’

b2a2c2’

b1b1’a1’c1’

a1

c1例判斷兩平面是否平行。

分析：若兩面相互平行，則它們有一對(duì)相互平行的相交直線。c2Xa2’b2’b2a2c2’b1b1’a1’c1’13討論相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對(duì)有積聚性的同面投影必平行。xa’cabc’b’1231’2’3’d’d圖5-4若兩正垂面相互平行，則它們的正面投影相互平行。討論相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對(duì)有積聚性的同面投14若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投影相互平行。X若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投影相互平行。X15x1231’2’3’

分析：若兩面相互平行，則它們的有積聚性的同面投影相互平行。PV例含點(diǎn)A1作平面平行平面△ⅠⅡⅢ

。aa’x1231’2’3’分析：若兩面相互平行，則它們的有積聚性16§5-2相交問題一、特殊線、面與一般直線或平面的相交二、一般直線與一般平面的相交三、兩一般位置平面的交線§5-2相交問題一、特殊線、面與一般直線或平面的相交二、17相交問題

直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)；

兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線。相交問題直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是18一、特殊位置線、面與一般位置直線或平面的相交

交點(diǎn)、交線為線與面、面與面兩者所共有，如果其中有一個(gè)處于垂直投影面的特殊位置，則可利用其投影的積聚性直接求出交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影，另外的投影可根據(jù)其在線上（或在面內(nèi)）特點(diǎn)按投影關(guān)系求出。一、特殊位置線、面與一般位置直線或平面的相交交點(diǎn)、交線19如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用平面投影的積聚性直接定出交點(diǎn)的一個(gè)投影。1.特殊位置平面與一般位置直線相交如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用平面投影20例求直線AB與鉛垂面EFGH的交點(diǎn)K。K求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性。例求直線AB與鉛垂面EFGH的交點(diǎn)K。K求出交點(diǎn)后21（1）求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性（不重疊的部分都是可見的）。（2）交點(diǎn)是直線可見部分與不可見部分的分界點(diǎn)。（3）判別方法

A.直接觀察;B.利用交叉直線的重影點(diǎn)。關(guān)于直線可見性的判別（1）求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線22k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直線AB與鉛垂面△CDE的交點(diǎn)K。

分析

利用鉛垂面水平投影的積聚性求交點(diǎn)圖5-512k’k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直線A23例求AB與P平面的交點(diǎn)。

分析利用PV的積聚性求交點(diǎn)。k’abPHPVa’b’xpx圖5-6k例求AB與P平面的交點(diǎn)。分析k’abPH241’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂線AB與△CDE的交點(diǎn)K。

分析

利用線V面投影的積聚性確定交點(diǎn)的一個(gè)投影，根據(jù)點(diǎn)在面上求出交點(diǎn)的另一投影。12k’2’k特殊位置直線與一般位置平面相交1’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂線AB與25

兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線，是平面可見部分與不可見部分的分界線。

兩平面的交線是直線。因此，求作兩平面交線的方法是：求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，在兩個(gè)平面的公共范圍處連出交線。兩平面相交兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線，是平面262.特殊位置平面與一般位置平面的交線當(dāng)相交兩平面之一為特殊位置平面時(shí)，可利用它的投影的積聚性直接求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，然后連成交線。2.特殊位置平面與一般位置平面的交線當(dāng)相交兩平面27de’a’ab

b’Xed’f’fcc’kl例求△DEF(⊥H面)與△ABC的交線KL。

分析利用dfe的積聚性，求兩平面交線。k’1’(2’)12（1）求出交線后，對(duì)于兩平面同面投影重疊的部分，要判別可見性（不重疊的部分都是可見的）。（2）交線是可見部分與不可見部分的分界線。（3）判別方法—

A.直接觀察;B.利用交叉直線的重影點(diǎn)。圖5-7l’de’a’abb’Xed’f’fcc’kl例求△DE28(a)全交(b)互交兩平面相交的兩種情況

全交：一個(gè)平面全部穿過另一個(gè)平面;

互交：兩個(gè)平面的邊線互相穿過。(a)全交(b)互交兩平面相交的兩種情況全交：一個(gè)平面29

分析利用水平面e’f’g’的積聚性求兩平面交線。e’c’g’f’1’efg1d’b’a’k’l’labcdkx例求△EFG(∥H面)與平面ABCD的交線，并判斷可見性。圖5-8

本題中兩平面圖形只有部分互交。求交時(shí)要注意除去交線多余的部分。分析e’c’g’f’1’efg1d’b30當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，它們的交線也是此投影面的垂直線。當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，它們的交線也31xe’g’f’efgc’b’a’abc例求兩面的交線。xe’g’f’efgc’b’a’abc例求兩面的交線32各種位置平面間的交線各種位置平面間的交線33例3求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面的交線。

分析

利用水平面投影的積聚性求兩平面交線。

水平面與兩三角形的交線是水平線，并且與相應(yīng)的底邊平行。xc’s’1’a’b’cabs12圖5-102’例3求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面的交線。34當(dāng)直線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)的求法是：含已知直線作輔助平面;求輔助平面與已知平面的交線;交線與已知直線的交點(diǎn)即為所求。為了作圖方便，應(yīng)選擇特殊位置平面作為輔助平面。二、一般位置直線與一般位置平面的相交Pk當(dāng)直線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)的求法是：含已知直線作輔助35PV例1求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。aa’gg’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’圖5-12PV例1求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。aa’gg’f’f36aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)432’1’例1求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。

利用兩交叉直線的重影點(diǎn)判別直線的可見性。圖5-12aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)437解法一空間分析：含點(diǎn)與一直線作平面，求與另一直線的交點(diǎn)。a’f’2’3’g’4’1’x2a34k1PVfgk’b’b例2含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。圖5-13ABKⅢⅣⅡⅠ解法一空間分析：含點(diǎn)與一直線作平面，求與另一直線的交點(diǎn)。a38B解法二空間分析：含點(diǎn)和兩直線分別作面，求兩面交線與一直線的交點(diǎn)。解法三空間分析：將一直線變成投影面垂直線，利用積聚性，作直線AB與二交叉直線垂直相交AKⅢⅣⅡⅠ例2含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。圖5-14B解法二空間分析：含點(diǎn)和兩直線分別作面，求兩面交線與一直線39例3求AB與兩三角形的交點(diǎn)。

作法作正垂面Q求AB與兩三角形的交點(diǎn)。a’b’f1’xa3’4’1’2’f2’k2’k1’e1’e2’f1f2k1e1k2e2b3124(m)nQVn’m’圖5-15例3求AB與兩三角形的交點(diǎn)。作法40三、兩一般位置平面的交線常用方法：1線面交點(diǎn)法

2.輔助平面法三、兩一般位置平面的交線常用方法：1線面交點(diǎn)法411.線面交點(diǎn)法當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投影有互相重疊的部分時(shí)，可用求直線和平面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)。1.線面交點(diǎn)法當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同42QV例求△ABC和△DEF的交線。（求交點(diǎn)）aa’gf’fbb’c’ckXdd’e’ehg’h’k’RVll’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’圖5-16QV例求△ABC和△DEF的交線。（求交點(diǎn)）aa’gf’f43aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’1(2)3’(4’)3’4’例求△ABC和△DEF的交線。（判別可見性）圖5-16f’kaa’fbb’c’cXdd’e’ell’k’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’144

若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相交（需將平面圖形擴(kuò)大后才有交點(diǎn)），則不宜選這類直線來求交點(diǎn)。使用線面交點(diǎn)法時(shí)注意：若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段452.輔助平面法圖5-17

作圖原理求P、Q平面的交線時(shí)，任作平面S1，使與Q相交得交線L1，與P相交得交線L2；L1、L2的交點(diǎn)I為P、Q、S1三面的共有點(diǎn)，即P、Q交線上的一個(gè)點(diǎn)。再作平面S2，又可得到交線上的另一個(gè)交點(diǎn)Ⅱ。連接IⅡ即P、Q的交線。2.輔助平面法圖5-17作圖原理46b’例求△ABC和平面(L1∥

L2)的交線。c’a’xabc1’12’3’23S1VS2Vl2’l1’l2l1k1k1’圖5-18k2’k2b’例求△ABC和平面(L1∥L2)的交線。c’a47§5-3垂直問題一、直線和平面垂直二、兩平面垂直§5-3垂直問題一、直線和平面垂直二、兩平面垂直48一、直線和平面垂直定理

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。∵直線L⊥平面P內(nèi)的兩相交直線AB、CD,則L⊥P面LBACDP一、直線和平面垂直定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相49直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影⊥平面內(nèi)的水平線的水平投影，直線的正面投影⊥平面內(nèi)的正平線的正面投影。c’CKAkeMBEFfabcHe’cbaa’b’f’fedd’k’km’mX∵m’k’⊥e’f’,mk⊥ad,∴MK⊥△ABC所確定的平面。直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影⊥平面內(nèi)的水平線的水50

有關(guān)直線與平面垂直的作圖問題：作直線⊥已知平面；作平面⊥已知直線。判斷已知直線、平面是否垂直。有關(guān)直線與平面垂直的作圖問題：51QH例1含點(diǎn)E作直線垂直于△ABC，并求垂足。aa’bb’c’e’k’cke12’21’3’4’43f’fX圖5-21

分析先求平面的垂線，然后求垂線與平面的交點(diǎn)。QH例1含點(diǎn)E作直線垂直于△ABC，并求垂足。aa’bb52(b)已知例求C點(diǎn)到直線AB的距離。（分析）aa’bb’c’cX(a)分析示意圖PBAKC解題步驟:1.過C點(diǎn)作P面⊥直線AB;2.求AB與P面的交點(diǎn)K;3.求垂線CK的實(shí)長(zhǎng)。(b)已知例求C點(diǎn)到直線AB的距離。（分析）aa’bb53PVaa’bb’c’dce’1’122’kc’k’k0CK實(shí)長(zhǎng)例求C點(diǎn)到直線AB的距離。（作圖）Xed’k’解題步驟:1.過C點(diǎn)作P面⊥直線AB;2.求AB與P面的交點(diǎn)K;3.求垂線CK的實(shí)長(zhǎng)。PVaa’bb’c’dce’1’122’kc’k’k0CK實(shí)54例2已知AB⊥BC，求bc。aa’bb’c’c1’122’343’4’XABCP

分析1.過B點(diǎn)作P面⊥直線AB則BC一定在P面內(nèi)；2.在P面內(nèi)求C點(diǎn)。圖5-22例2已知AB⊥BC，求bc。aa’bb’c’c1’1255二、兩平面垂直定理如一直線⊥一平面，則包含這直線的一切平面都⊥該平面。反之，如兩平面互相垂直，則從第一平面內(nèi)的任意一點(diǎn)向第二平面所作的垂線，必定在第一平面內(nèi)。簡(jiǎn)述如一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面，則此兩平面互相垂直。

兩平面垂直的條件二、兩平面垂直定理如一直線⊥一平面，則包含這直線的一切56

有關(guān)兩平面垂直的作圖問題：作平面⊥已知平面；判斷兩已知平面是否垂直。有關(guān)兩平面垂直的作圖問題：57例含點(diǎn)A作平面垂直于△ⅠⅡⅢ。1’2’3’1235’4’54c’a’b’xabc

分析含點(diǎn)A只能作一直線⊥定平面，但此垂線可作無窮多個(gè)平面，即本題有無窮多解。圖5-24例含點(diǎn)A作平面垂直于△ⅠⅡⅢ。1’2’3’1235’4’58§5-4綜合問題解題示例含定點(diǎn)或直線作平面及在定平面內(nèi)取點(diǎn)、線。求直線與平面的交點(diǎn)。求兩平面的交線。含定點(diǎn)作直線平行于定平面。含定點(diǎn)作直線垂直于定平面。含定點(diǎn)作平面垂直于定直線。必須熟練掌握以下六個(gè)基本問題的作圖方法：§5-4綜合問題解題示例含定點(diǎn)或直線作平面及在定平面內(nèi)取59例1:作直線AB使與L平行，并與兩交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ相交。空間解題分析一：含一直線作面平行直線L，求面與另一直線的交點(diǎn)，過交點(diǎn)作線平行直線L。1’3’123l’4’l42’x55’b’bQVⅠⅡⅣⅤLBAa’a例1:作直線AB使與L平行，并與兩交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ相交。空60空間解題分析二：含兩直線分別作面平行直線L，求兩面的交線，即為所求。空間解題分析三：用換面法將一直線變換成投影面垂直線，過其積聚性投影作線平行直線L并與另一直線相交，即為所求。ⅠⅡⅣLⅢ空間解題分析二：含兩直線分別作面平行直線L，求兩面的交線，即61例2已知點(diǎn)A到△ⅠⅡⅢ的距離為15，求a。1’3’1234’42’x56’615mm求垂線實(shí)長(zhǎng)z6-z116a’abB0ⅥⅠk’f’kf5’解題步驟：⑴作直線⊥平面；⑵求垂線上距面為15的點(diǎn)；⑶過點(diǎn)作面∥平行原面；⑷A點(diǎn)在平行面內(nèi)，在面內(nèi)作線求A點(diǎn)水平投影。bb’例2已知點(diǎn)A到△ⅠⅡⅢ的距離為15，求a。1’3’12362第五章

直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置（編制李小平）第五章

直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置（編制63本章目錄§5-1平行問題§5-2相交問題§5-3垂直問題§5-4綜合問題解題示例本章目錄§5-1平行問題§5-2相交問題§5-64§5-1平行問題一、直線和平面平行二、平面和平面平行

本章介紹它們的投影特性和作圖方法。直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置可能是平行、相交或垂直。§5-1平行問題一、直線和平面平行二、平面和平面平行65一、直線和平面平行定理

如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。QABCD一、直線和平面平行定理如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一66

有關(guān)直線與平面平行的作圖問題：作直線∥已知平面。作平面∥已知直線。判斷已知直線、平面是否平行。有關(guān)直線與平面平行的作圖問題：672’2例1含點(diǎn)I(1,1’)作平面與直線AB(ab,a’b’)平行。1’3’13a’abb’X

作法(1)過點(diǎn)Ⅰ作直線ⅠⅢ與AB平行(2)含直線ⅠⅢ作一任意平面。圖5-12’2例1含點(diǎn)I(1,1’)作平面與直線AB(ab,a’68例2判斷直線AB與△ⅠⅡⅢ是否平行。圖5-2a’b’3’2’1’ab312x

作法

(1)在平面任一投影中，作面內(nèi)直線CF∥AB的同面投影。(2)求CF的另一投影，并判斷直線CF是否∥AB。d’f’c’fdc例2判斷直線AB與△ⅠⅡⅢ是否平行。圖5-2a’b69特殊情況

若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队耙欢ㄆ叫小直線投影∥平面有積聚性的同面投影,它們?cè)诳臻g必互相平行特殊情況若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們?cè)谠撏队懊?0特殊情況

若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，則它們空間一定平行。X直線與平面對(duì)某一投影面同時(shí)有積聚性,它們?cè)诳臻g必互相平行。PH特殊情況若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，則它們空間一定平71二、平面和平面平行定理

如果一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。PQABCDC1D1A1B1二、平面和平面平行定理如果一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線與另一72

有關(guān)兩平面平行的作圖問題：作平面∥已知平面。判斷兩已知平面是否平行。有關(guān)兩平面平行的作圖問題：73例含點(diǎn)A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c2Xa1’a2’

b2’

b2

a1a2c2’b1’

b1c1’

c1圖5-3例含點(diǎn)A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c274c2Xa2’

b2’

b2a2c2’

b1b1’a1’c1’

a1

c1例判斷兩平面是否平行。

分析：若兩面相互平行，則它們有一對(duì)相互平行的相交直線。c2Xa2’b2’b2a2c2’b1b1’a1’c1’75討論相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對(duì)有積聚性的同面投影必平行。xa’cabc’b’1231’2’3’d’d圖5-4若兩正垂面相互平行，則它們的正面投影相互平行。討論相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對(duì)有積聚性的同面投76若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投影相互平行。X若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投影相互平行。X77x1231’2’3’

分析：若兩面相互平行，則它們的有積聚性的同面投影相互平行。PV例含點(diǎn)A1作平面平行平面△ⅠⅡⅢ

。aa’x1231’2’3’分析：若兩面相互平行，則它們的有積聚性78§5-2相交問題一、特殊線、面與一般直線或平面的相交二、一般直線與一般平面的相交三、兩一般位置平面的交線§5-2相交問題一、特殊線、面與一般直線或平面的相交二、79相交問題

直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)；

兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線。相交問題直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是80一、特殊位置線、面與一般位置直線或平面的相交

交點(diǎn)、交線為線與面、面與面兩者所共有，如果其中有一個(gè)處于垂直投影面的特殊位置，則可利用其投影的積聚性直接求出交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影，另外的投影可根據(jù)其在線上（或在面內(nèi)）特點(diǎn)按投影關(guān)系求出。一、特殊位置線、面與一般位置直線或平面的相交交點(diǎn)、交線81如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用平面投影的積聚性直接定出交點(diǎn)的一個(gè)投影。1.特殊位置平面與一般位置直線相交如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用平面投影82例求直線AB與鉛垂面EFGH的交點(diǎn)K。K求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性。例求直線AB與鉛垂面EFGH的交點(diǎn)K。K求出交點(diǎn)后83（1）求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性（不重疊的部分都是可見的）。（2）交點(diǎn)是直線可見部分與不可見部分的分界點(diǎn)。（3）判別方法

A.直接觀察;B.利用交叉直線的重影點(diǎn)。關(guān)于直線可見性的判別（1）求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線84k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直線AB與鉛垂面△CDE的交點(diǎn)K。

分析

利用鉛垂面水平投影的積聚性求交點(diǎn)圖5-512k’k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直線A85例求AB與P平面的交點(diǎn)。

分析利用PV的積聚性求交點(diǎn)。k’abPHPVa’b’xpx圖5-6k例求AB與P平面的交點(diǎn)。分析k’abPH861’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂線AB與△CDE的交點(diǎn)K。

分析

利用線V面投影的積聚性確定交點(diǎn)的一個(gè)投影，根據(jù)點(diǎn)在面上求出交點(diǎn)的另一投影。12k’2’k特殊位置直線與一般位置平面相交1’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂線AB與87

兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線，是平面可見部分與不可見部分的分界線。

兩平面的交線是直線。因此，求作兩平面交線的方法是：求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，在兩個(gè)平面的公共范圍處連出交線。兩平面相交兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線，是平面882.特殊位置平面與一般位置平面的交線當(dāng)相交兩平面之一為特殊位置平面時(shí)，可利用它的投影的積聚性直接求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，然后連成交線。2.特殊位置平面與一般位置平面的交線當(dāng)相交兩平面89de’a’ab

b’Xed’f’fcc’kl例求△DEF(⊥H面)與△ABC的交線KL。

分析利用dfe的積聚性，求兩平面交線。k’1’(2’)12（1）求出交線后，對(duì)于兩平面同面投影重疊的部分，要判別可見性（不重疊的部分都是可見的）。（2）交線是可見部分與不可見部分的分界線。（3）判別方法—

A.直接觀察;B.利用交叉直線的重影點(diǎn)。圖5-7l’de’a’abb’Xed’f’fcc’kl例求△DE90(a)全交(b)互交兩平面相交的兩種情況

全交：一個(gè)平面全部穿過另一個(gè)平面;

互交：兩個(gè)平面的邊線互相穿過。(a)全交(b)互交兩平面相交的兩種情況全交：一個(gè)平面91

分析利用水平面e’f’g’的積聚性求兩平面交線。e’c’g’f’1’efg1d’b’a’k’l’labcdkx例求△EFG(∥H面)與平面ABCD的交線，并判斷可見性。圖5-8

本題中兩平面圖形只有部分互交。求交時(shí)要注意除去交線多余的部分。分析e’c’g’f’1’efg1d’b92當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，它們的交線也是此投影面的垂直線。當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，它們的交線也93xe’g’f’efgc’b’a’abc例求兩面的交線。xe’g’f’efgc’b’a’abc例求兩面的交線94各種位置平面間的交線各種位置平面間的交線95例3求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面的交線。

分析

利用水平面投影的積聚性求兩平面交線。

水平面與兩三角形的交線是水平線，并且與相應(yīng)的底邊平行。xc’s’1’a’b’cabs12圖5-102’例3求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面的交線。96當(dāng)直線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)的求法是：含已知直線作輔助平面;求輔助平面與已知平面的交線;交線與已知直線的交點(diǎn)即為所求。為了作圖方便，應(yīng)選擇特殊位置平面作為輔助平面。二、一般位置直線與一般位置平面的相交Pk當(dāng)直線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)的求法是：含已知直線作輔助97PV例1求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。aa’gg’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’圖5-12PV例1求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。aa’gg’f’f98aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)432’1’例1求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)。

利用兩交叉直線的重影點(diǎn)判別直線的可見性。圖5-12aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)499解法一空間分析：含點(diǎn)與一直線作平面，求與另一直線的交點(diǎn)。a’f’2’3’g’4’1’x2a34k1PVfgk’b’b例2含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。圖5-13ABKⅢⅣⅡⅠ解法一空間分析：含點(diǎn)與一直線作平面，求與另一直線的交點(diǎn)。a100B解法二空間分析：含點(diǎn)和兩直線分別作面，求兩面交線與一直線的交點(diǎn)。解法三空間分析：將一直線變成投影面垂直線，利用積聚性，作直線AB與二交叉直線垂直相交AKⅢⅣⅡⅠ例2含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。圖5-14B解法二空間分析：含點(diǎn)和兩直線分別作面，求兩面交線與一直線101例3求AB與兩三角形的交點(diǎn)。

作法作正垂面Q求AB與兩三角形的交點(diǎn)。a’b’f1’xa3’4’1’2’f2’k2’k1’e1’e2’f1f2k1e1k2e2b3124(m)nQVn’m’圖5-15例3求AB與兩三角形的交點(diǎn)。作法102三、兩一般位置平面的交線常用方法：1線面交點(diǎn)法

2.輔助平面法三、兩一般位置平面的交線常用方法：1線面交點(diǎn)法1031.線面交點(diǎn)法當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投影有互相重疊的部分時(shí)，可用求直線和平面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)。1.線面交點(diǎn)法當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同104QV例求△ABC和△DEF的交線。（求交點(diǎn)）aa’gf’fbb’c’ckXdd’e’ehg’h’k’RVll’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’圖5-16QV例求△ABC和△DEF的交線。（求交點(diǎn)）aa’gf’f105aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’1(2)3’(4’)3’4’例求△ABC和△DEF的交線。（判別可見性）圖5-16f’kaa’fbb’c’cXdd’e’ell’k’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’1106

若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相交（需將平面圖形擴(kuò)大后才有交點(diǎn)），則不宜選這類直線來求交點(diǎn)。使用線面交點(diǎn)法時(shí)注意：若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段1072.輔助平面法圖5-17

作圖原理求P、Q平面的交線時(shí)，任作平面S1，使與Q相交得交線L1，與P相交得交線L2；L1、L2的交點(diǎn)I為P、Q、S1三面的共有點(diǎn)，即P、Q交線上的一個(gè)點(diǎn)。再作平面S2，又可得到交線上的另一個(gè)交點(diǎn)Ⅱ。連接IⅡ即P、Q的交線。2.輔助平面法圖5-17作圖原理108b’例求△ABC和平面(L1∥

L2)的交線。c’a’xabc1’12’3’23S1VS2Vl2’l1’l2l1k1k1’圖5-18k2’k2b’例求△ABC和平面(L1∥L2)的交線。c’a109§5-3垂直問題一、直線和平面垂直二、兩平面垂直§5-3垂直問題一、直線和平面垂直二、兩平面垂直110一、直線和平面垂直定理

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。∵直線L⊥平面P內(nèi)的兩相交直線AB、CD,則L⊥P面LBACDP一、直線和平面垂直定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相111直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影⊥平面內(nèi)的水平線的水平投影，直線的正面投影⊥平面內(nèi)的正平線的正面投影。c’CKAkeMBEFfabcHe’cbaa’b’f’fedd’k’km’mX∵m’k’⊥e’f’,mk⊥ad,∴MK⊥△ABC所確定的平面。直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影⊥平面內(nèi)的水平線的水112

有關(guān)直線與平面垂直的作圖問題：作直線⊥已知平面；作平面⊥已知直線。判斷已知直線、平面是否垂直。有關(guān)直線與平面垂直的作圖問題：113QH例1含點(diǎn)E作直線垂直于△ABC，并求垂足。aa’bb’c’e’k’cke12’21’3’4’43f’fX圖5-21