“微積分”課程論文學院理學院專業應用統計學班級14-1學名張超強成績論文題目《微積分中的極限思想與應用》評語簽字：2015年6月22日微積分中的極限思想與應用摘要：在數學生活中，極限思想無處不在，是不可或缺的一部分。本文介紹了極限的起源、在微積分中的作用、經濟生活及物理學中的應用。關鍵字：極限，極限思想，微積分一.極限的起源微積分是高等數學的主要內容，極限思想是微積分的核心工具。極限中有很多有趣的事情，比如1/3=0.333，左右兩邊同乘3以后，得到式子1=0.999看起來總是怪怪的。而在中國的戰國時期的《莊子·天下篇》中的“一日之棰，日取其半，萬世不竭”，也運用了極限的思想。以及三國時期著名數學家劉徽在《九章算術》的注文中，創立了一種“割圓術”來求圓周率，內接正多邊形割圓，指出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。在古代能有這樣的思想是極可貴的。17世紀后半葉，英國數學家I·牛頓和德國數學家G·w·萊布尼茲，總結和發展了幾百年間前人的工作，建立了微積分，但他們的出發點是直觀的無窮小量，因此尚缺乏嚴密的理論基礎‘19世紀A·L·

柯西和K·魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎上；加之19世紀后半葉實數理論的建立，又使極限理論有了嚴格的理論基礎，從而使微積分的基礎和思想方法日臻完善。二.極限在微積分中的作用19世紀，哥西在前人的基礎上才把極限概念說得更加明確

當—個量相繼地所取的數值趨近于某個確定的值，以至它們的差比任意給定的量還要小的時候那個確定的值就叫做該變量的極限＂定義可以簡單地表述為：現代定義中的極限是指：在自變量的某個變化范圍中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的數，那么這個確定的數就叫做在這一變化過程中函數的極限。極限的高明之處在于它將無限變化的趨勢用一有限的確定的常數表示。在微積分中的三個基本定義：連續，可導，可積，都是用極限形式定義的。極限不僅對微積分定義有重要作用，對連續函數、導數等都有極大的作用。在圖形上連續這一概念我們可以定義為一筆畫完，然而在表達式上我們又該如何體現連續這一概念呢？用一式來表達是再好不過了。導數是牛頓和萊布尼茲分別在研究力學問題和幾何學問題時產生的。牛頓用路程的改變量與時間的改變量之比表示運動物體的平均速度，讓其無限趨近于零，對求極限得到物體的瞬時速度，并由此引出導數概念。定積分中給出定義：如果不論對[a,b]怎樣劃分，也不論在小區間[]上點怎么選取，只要當時，和S總趨于確定的極限I，那么稱這個極限I為函數f(x)在區間[a,b]上的定積分（簡稱積分），記作。即。極限的作用體現的淋漓盡致，很多在有限數學中束手無策的問題在極限面前迎刃而解。三.極限在經濟生活中的應用極限思想在不知不覺中也早已滲透在我們的經濟生活中。例如：某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時開放健身房和娛樂室，據調查統計，每次去健身房的人有10％下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20％下次去健身房，請問，隨著時間的推移，去健身房的人數能否趨于穩定？分析：引入字母，轉化為遞歸數列模型，設第n次去健身房的人數為,去娛樂室的人數為．則＋=150.即即故隨著時間的推移，去健身房的人數穩定在100人左右。上例中我們可以看到這是一個流動人口的問題，我們不用對每天的人數去做統計，我們只需對問題建立數學模型，顯然可以轉化為數列極限去解決。從這里我們可以想到與此相關的一系列問題也都迎刃而解，比如窗口排隊買票人數與窗口個數問題，又比如車流量和車道數的問題，等等。極限思想作為反映客觀事物在運動、變化過程中由量變轉化為質變時的數量關系或空間形式,能夠通過舊質的量的變化規律,去計算新質的量.因此,它具有由此達彼的重大創新作用.近期我國居民消費物價指數出現了快速上漲的現象，通貨膨脹壓力逐步顯現，已成為國家宏觀經濟調控的一個中心問題。圍繞中國目前通貨膨脹的形成核心原因以及如何治理目前的通貨膨脹等問題，大量學者和研究機構對此進行了激烈的爭論。為了研究這個問題，我們也可以運用極限思想，從宏觀經濟體制的兩個極端來考慮，也就是一切生產都由國家控制的計劃經濟和國家從不干涉的市場經濟。四.極限在物理學上的應用大物理學家伽利略就是運用了這種科學的思想，推翻了“力是維持物體運動原因”的錯誤觀點，從而開辟了科學的發展之路。伽利略的理想實驗：圖,甲所示，讓小球沿斜面從靜止滾下來，小球將滾上另一斜面。若無摩擦，小球將升到原來的高度。他推論，若減小第二個斜面的傾角圖,乙，小球在這個斜面上達到原來的高度就要通過更長的路程。繼續減小第二個斜面的傾角使它最終成為水平面圖,丙，小球就再也達不到原來的高度，而沿水平面以恒定速度持續運動下去。基于同樣的思維方式，伽利略還研究了自由落體的運動情況。他首先對斜面上物體的運動做了研究，發現其規律為：然后應用極限思維法，令，從而得出自由落體是初速度為零的勻加速直線運動。伽利略在研究物體運動情況時還首次使用微積分方法推導出運動學中的位移公式。他在應用v-t圖研究物體的運動時，對曲線下的面積進行了無限多次的分割，然后對無限個矩形面積求和，得出了位移和時間的函數關系：。在宇宙的演變假想中，物理學家發現宇宙正處在不斷膨脹之中，在極限思想的指導下做出了宇宙來自于一次大爆炸的假說。總結極限思想方法是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是數學分析與初等數學的本質區別之處。數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。極限不僅是數學的方法，更是一種思維。參考文獻同濟大學數學系，高等數學（第六版）【M】，北京，高等教育出版社.羅益奎，論極限思想在微積分中的應用【J】，現代企業文化，2010，08.余繼光，極限思