▲雅可比矩陣的定義▲微分運動與廣義速度▲雅可比矩陣的構造法▲PUMA560機器人的雅可比矩陣▲逆雅可比矩陣▲力雅可比矩陣第四講：微分運動和雅可比矩陣▲雅可比矩陣的定義第四講：微分運動和雅可比矩陣1

上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換，機器人各連桿間的位移關系，建立了機器人的運動學方程，研究了運動學逆解，建立了操作空間與關節空間的映射關系。本章將在位移分析的基礎上，進行速度分析，研究操作空間速度與關節空間速度之間的線性映射關系——雅可比矩陣(簡稱雅可比)。雅可比矩陣不僅用來表示操作空間與關節空間之間的速度線性映射關系，同時也用來表示兩空間之間力的傳遞關系。上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換24.1雅可比矩陣的定義

把機器人關節速度向量定義為：

式中，為連桿i相對i-1的角速度或線速度。4.1雅可比矩陣的定義3手抓在基坐標系中的廣義速度向量為：

式中，v為線速度，ω為角速度分量。手抓在基坐標系中的廣義速度向量為：4從關節空間速度向操作空間速度映射的線性關系稱為雅可比矩陣，記為J，即：

4-3從關節空間速度向操作空間速度映射的線性5在數學上，機器人終端手抓的廣義位置（位姿）矢量P可寫成：

上式對時間求導，有：4-5在數學上，機器人終端手抓的廣義位置（位6對照式4-3和式4-5，可知：

對照式4-3和式4-5，可知：7

在機器人學中，J是一個把關節速度向量變換為手爪相對基坐標的廣義速度向量的變換矩陣。在三維空間運行的機器人，其J陣的行數恒為6(沿/繞基坐標系的變量共6個)；列數則為機械手含有的關節數目。對于平面運動的機器人來說，手的廣義位置向量均容易確定，可采用直接微分法求J，比較方便。在機器人學中，J是一個把關節速度向量8對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從三維空間運行的機器人運動學方程，可以獲得直角坐標位置向量的顯式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量的一般表達式。找不出互相獨立的、無順序的三個轉角來描述方位．繞直角坐標軸的連續角運動變換是不可交換的，而對角位移的微分與對角位移的形成順序無關，故一般不能運用直接微分法來獲得J的后三行。因此，常用構造性方法求雅可比J。對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從三維94.2微分運動與廣義速度剛體或坐標系的微分運動包括微分移動矢量d和微分轉動矢量δ。前者由沿三個坐標軸的微分移動組成，后者由繞三個坐標軸的微分轉動組成，即或

或4.2微分運動與廣義速度10剛體或坐標系的微分運動矢量剛體或坐標系的廣義速度剛體或坐標系的微分運動矢量剛體或坐標系的廣義速度11簡寫為：簡寫為：12其中，R是旋轉矩陣S(P)為矢量P的反對稱矩陣S(P)矩陣具有以下性質：其中，R是旋轉矩陣S(P)為矢量P的反對稱矩陣S(P)矩陣具13相應的，廣義速度V的坐標變換為：任意兩坐標系A和B之間廣義速度的坐標變換為：相應的，廣義速度V的坐標變換為：任意兩坐標系A和B之間廣義速144.3雅可比矩陣的構造法構造雅可比矩陣的方法有矢量積法和微分變換法，雅可比矩陣J(q)既可當成是從關節空間向操作空間的速度傳遞的線性關系，也可看成是微分運動轉換的線性關系，即：

4.3雅可比矩陣的構造法15對于有n個關節的機器人，其雅可比矩陣J(q)是6×n階矩陣，其前三行稱為位置雅可比矩陣，代表對手爪線速度v的傳遞比，后三行稱為方位矩陣，代表相應的關節速度對手爪的角速度ω的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣J(q)分塊，即：式中，Jli和Jai分別表示關節i的單位關節速度引起手爪的線速度和角速度。

對于有n個關節的機器人，其雅可比矩陣J(q)是16雅可比矩陣的求解（矢量積法）：Jli的求法：(1)第i關節為移動關節時僅平移關節產生的線速度雅可比矩陣的求解（矢量積法）：僅平移關節產生的線速度17設某時刻僅此關節運動、其余的關節靜止不動，則：設bi-1為zi-1軸上的單位矢量，利用它可將局部坐標下的平移速度di轉換成基礎坐標下的速度：由于所以設某時刻僅此關節運動、其余的關節靜止不動，則：設bi18

(2)第i個關節為轉動關節時，設某時刻僅此關節運動，其余的關節靜止不動，仍然利用bi-1將zi-1軸上的角速度轉化到基礎坐標中去僅旋轉關節產生的線速度(2)第i個關節為轉動關節時，設19矢量起于Oi-1，止于On，所以由ωi產生的線速度為:矢量起于Oi-1，止于On，所以由ωi產生的線速20由于所以由于所以21雅可比矩陣的求解：Jai的求法：第i關節為移動關節時由于關節移動的平移不對手部產生角速度，所以此時(2)第i關節為轉動關節時，所以雅可比矩陣的求解：(2)第i關節為轉動關節時，所以22當第i關節為移動關節時當第i關節為轉動關節時當第i關節為移動關節時當第i關節為轉動關節時23確定1、用b表示zi-1軸上的單位向量把它轉換到基礎坐標系中，即為確定1、用b表示zi-1軸上的單位向量把它轉換到基礎坐標系中24

如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示基礎坐標系、i-1號坐標及手部坐標系的原點。用矢量x表示在各自坐標系中的原點。把用齊次坐標表示如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示基礎坐25有上式可以確定有上式可以確定26例2-6：建立右圖的雅可比矩陣例2-6：建立右圖的雅可比矩陣27第四章微分運動和雅可比矩陣課件28機械臂末端的速度為機械臂末端的速度為29微分變換法

對于轉動關節

微分變換法對于轉動關節30對于移動關節

對于移動關節31對于移動關節

對于轉動關節

對于移動關節對于轉動關節32例：PUMA560的6個關節都是轉動關節，其雅可比有6列。此處用矢量積法計算J(q)例：PUMA560的6個關節都是轉動關節，其雅可比有6列。此33第四章微分運動和雅可比矩陣課件34第四章微分運動和雅可比矩陣課件35第四章微分運動和雅可比矩陣課件36例：斯坦福六自由度機器人除第三關節為移動關節外，其余5個關節為轉動關節。此處用微分法計算TJ(q)例：斯坦福六自由度機器人除第三關節為移動關節外，其余5個關節37第四章微分運動和雅可比矩陣課件38第四章微分運動和雅可比矩陣課件39若給定機器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由下式解出相應的關節速度：逆雅可比矩陣

上式中，稱為逆雅可比矩陣，為加給對應關節伺服系統的速度輸入變量。若給定機器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由40雅可比矩陣的應用1、分離速度控制

由上式可見，當已知手端速度向量V，可通過左乘雅可比逆矩陣計算出機器人的關節速度向量，所以上式為運動學逆問題的速度關系式，是對機器人進行速度控制的基本關系式。雅可比矩陣的應用由上式可見，當已知手端速度41

采用計算機控制時，把速度表示位置增量的形式，故將上式寫為：式中,Δv為手部在基礎坐標下一個采樣周期的位移(線位移、角位移)；Δq為在同一周期內關節變量的增量。采用計算機控制時，把速度表示位置增量的形式，42

當要求機器人沿某軌跡運動時，Δv為已知，將它代入上式中求得關節變量增量Δq

，于是可確定各關節變量值，由伺服系統實現位置控制，這就是分離速度控制原理，如下圖所示。Δv要求Δv實際分離速度控制原理當要求機器人沿某軌跡運動時，Δv為已知，將43雅可比矩陣的應用2、在靜力分析中的應用

有些機器人的工作需要與環境接觸，并保持一定的接觸力，如右圖所示。接觸力F可表示為一個六維力向量：設一個驅動器只驅動一個關節，則n個關節需求n個驅動力，可組成一個n維關節力向量:雅可比矩陣的應用有些機器人的工作需要與環境接44T與F的關系可以表示為：2-56T與F的關系可以表示為：2-5645

式中，稱為機器人力雅可比，它表示在靜止平衡狀態下，末端廣義力向關節力映射的線性關系。顯然，力雅可比是機器人速度雅可比的轉置。因此，機器人靜力學傳遞關系和速度傳遞關系緊密相關。式中，稱為機器人力雅可比，它表示在46第四章微分運動和雅可比矩陣課件47由構型和例2-6可得：由構型和例2-6可得：48第四章微分運動和雅可比矩陣課件49思考題1：右圖為三自由度機械手(1)用D-H方法建立各附體坐標系；(2)列出連桿的D-H參數表；(3)建立運動學方程；(4)建立雅可比矩陣。圖1思考題1：圖150思考題2：

對圖1的三自由度機械手，取θ1＝0,θ2＝90，θ3＝90的姿態(如圖2)，試分別求出生成手爪力FA＝[fx,0,0]T，FB＝[0,fy,0]T,

FC＝[0,0,N]T的驅動力矩τA,τB

,τC。圖1圖2思考題2：圖1圖251▲雅可比矩陣的定義▲微分運動與廣義速度▲雅可比矩陣的構造法▲PUMA560機器人的雅可比矩陣▲逆雅可比矩陣▲力雅可比矩陣第四講：微分運動和雅可比矩陣▲雅可比矩陣的定義第四講：微分運動和雅可比矩陣52

上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換，機器人各連桿間的位移關系，建立了機器人的運動學方程，研究了運動學逆解，建立了操作空間與關節空間的映射關系。本章將在位移分析的基礎上，進行速度分析，研究操作空間速度與關節空間速度之間的線性映射關系——雅可比矩陣(簡稱雅可比)。雅可比矩陣不僅用來表示操作空間與關節空間之間的速度線性映射關系，同時也用來表示兩空間之間力的傳遞關系。上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換534.1雅可比矩陣的定義

把機器人關節速度向量定義為：

式中，為連桿i相對i-1的角速度或線速度。4.1雅可比矩陣的定義54手抓在基坐標系中的廣義速度向量為：

式中，v為線速度，ω為角速度分量。手抓在基坐標系中的廣義速度向量為：55從關節空間速度向操作空間速度映射的線性關系稱為雅可比矩陣，記為J，即：

4-3從關節空間速度向操作空間速度映射的線性56在數學上，機器人終端手抓的廣義位置（位姿）矢量P可寫成：

上式對時間求導，有：4-5在數學上，機器人終端手抓的廣義位置（位57對照式4-3和式4-5，可知：

對照式4-3和式4-5，可知：58

在機器人學中，J是一個把關節速度向量變換為手爪相對基坐標的廣義速度向量的變換矩陣。在三維空間運行的機器人，其J陣的行數恒為6(沿/繞基坐標系的變量共6個)；列數則為機械手含有的關節數目。對于平面運動的機器人來說，手的廣義位置向量均容易確定，可采用直接微分法求J，比較方便。在機器人學中，J是一個把關節速度向量59對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從三維空間運行的機器人運動學方程，可以獲得直角坐標位置向量的顯式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量的一般表達式。找不出互相獨立的、無順序的三個轉角來描述方位．繞直角坐標軸的連續角運動變換是不可交換的，而對角位移的微分與對角位移的形成順序無關，故一般不能運用直接微分法來獲得J的后三行。因此，常用構造性方法求雅可比J。對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從三維604.2微分運動與廣義速度剛體或坐標系的微分運動包括微分移動矢量d和微分轉動矢量δ。前者由沿三個坐標軸的微分移動組成，后者由繞三個坐標軸的微分轉動組成，即或

或4.2微分運動與廣義速度61剛體或坐標系的微分運動矢量剛體或坐標系的廣義速度剛體或坐標系的微分運動矢量剛體或坐標系的廣義速度62簡寫為：簡寫為：63其中，R是旋轉矩陣S(P)為矢量P的反對稱矩陣S(P)矩陣具有以下性質：其中，R是旋轉矩陣S(P)為矢量P的反對稱矩陣S(P)矩陣具64相應的，廣義速度V的坐標變換為：任意兩坐標系A和B之間廣義速度的坐標變換為：相應的，廣義速度V的坐標變換為：任意兩坐標系A和B之間廣義速654.3雅可比矩陣的構造法構造雅可比矩陣的方法有矢量積法和微分變換法，雅可比矩陣J(q)既可當成是從關節空間向操作空間的速度傳遞的線性關系，也可看成是微分運動轉換的線性關系，即：

4.3雅可比矩陣的構造法66對于有n個關節的機器人，其雅可比矩陣J(q)是6×n階矩陣，其前三行稱為位置雅可比矩陣，代表對手爪線速度v的傳遞比，后三行稱為方位矩陣，代表相應的關節速度對手爪的角速度ω的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣J(q)分塊，即：式中，Jli和Jai分別表示關節i的單位關節速度引起手爪的線速度和角速度。

對于有n個關節的機器人，其雅可比矩陣J(q)是67雅可比矩陣的求解（矢量積法）：Jli的求法：(1)第i關節為移動關節時僅平移關節產生的線速度雅可比矩陣的求解（矢量積法）：僅平移關節產生的線速度68設某時刻僅此關節運動、其余的關節靜止不動，則：設bi-1為zi-1軸上的單位矢量，利用它可將局部坐標下的平移速度di轉換成基礎坐標下的速度：由于所以設某時刻僅此關節運動、其余的關節靜止不動，則：設bi69

(2)第i個關節為轉動關節時，設某時刻僅此關節運動，其余的關節靜止不動，仍然利用bi-1將zi-1軸上的角速度轉化到基礎坐標中去僅旋轉關節產生的線速度(2)第i個關節為轉動關節時，設70矢量起于Oi-1，止于On，所以由ωi產生的線速度為:矢量起于Oi-1，止于On，所以由ωi產生的線速71由于所以由于所以72雅可比矩陣的求解：Jai的求法：第i關節為移動關節時由于關節移動的平移不對手部產生角速度，所以此時(2)第i關節為轉動關節時，所以雅可比矩陣的求解：(2)第i關節為轉動關節時，所以73當第i關節為移動關節時當第i關節為轉動關節時當第i關節為移動關節時當第i關節為轉動關節時74確定1、用b表示zi-1軸上的單位向量把它轉換到基礎坐標系中，即為確定1、用b表示zi-1軸上的單位向量把它轉換到基礎坐標系中75

如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示基礎坐標系、i-1號坐標及手部坐標系的原點。用矢量x表示在各自坐標系中的原點。把用齊次坐標表示如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示基礎坐76有上式可以確定有上式可以確定77例2-6：建立右圖的雅可比矩陣例2-6：建立右圖的雅可比矩陣78第四章微分運動和雅可比矩陣課件79機械臂末端的速度為機械臂末端的速度為80微分變換法

對于轉動關節

微分變換法對于轉動關節81對于移動關節

對于移動關節82對于移動關節

對于轉動關節

對于移動關節對于轉動關節83例：PUMA560的6個關節都是轉動關節，其雅可比有6列。此處用矢量積法計算J(q)例：PUMA560的6個關節都是轉動關節，其雅可比有6列。此84第四章微分運動和雅可比矩陣課件85第四章微分運動和雅可比矩陣課件86第四章微分運動和雅可比矩陣課件87例：斯坦福六自由度機器人除第三關節為移動關節外，其余5個關節為轉動關節。此處用微分法計算TJ(q)例：斯坦福六自由度機器人除第三關節為移動關節外，其余5個關節88第四章微分運動和雅可比矩陣課件89第四章微分運動和雅可比矩陣課件90若給定機器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由下式解出相應的關節速度：逆雅可比矩陣

上式中，稱為逆雅可比矩陣，為加給對應關節伺服系統的速度輸入變量。若給定機器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由91雅可比矩陣的應用1、分離速度控制

由上式可見，當已知手端速度向量V，可通過左乘雅可比逆矩陣計算出機器人的關節速度向量，所以上式為運動學逆問題的速度關系式，是對機器人進行速度控制的基本關系式。雅可比矩陣的應用由上式可見，當已知手端速度92

采用計算機控制時，把速度表示位置增量的形式，故將上式寫為：式中,Δv為手部在基礎坐