半導體中的電子狀態和能帶龐智勇山東大學物理學院本幻燈片參照劉恩科等所編著教材《半導體物理學》編寫

半導體中的電子狀態和能帶龐智勇原子能級與晶體能帶能級軌道圖像原子能級與晶體能帶原子中的電子在原子核的勢場和其他電子的作用下，分列在不同的能級上，形成所謂電子殼層，不同支殼層的電子分別用1s;2s;2p;3s;3p;3d;4s…等符號表示。每一支殼層對應于確定的能量。當原子相互接近形成晶體時，不同原于的內外各電子殼層之間就有了一定程度的交疊，相鄰原子最外殼層交疊最多，內殼層交疊較少。由于電子殼層的交疊，電子不再完全局限在某一個原子上，可以由一個原子轉移到相鄰的原于上去，因而，電子將可以在整個晶體中運動。這種運動稱為電子的共有化運動。半導體物理SemiconductorPhysics電子的共有化運動原子中的電子在原子核的勢場和其他電子的作用下，分列在不同的能各原子中相似殼層上的電子才有相同的能量，電子只能在相似殼層間轉移。內外殼層交疊程度很不相同，只有最外層電子的共有化運動才顯著。半導體物理SemiconductorPhysics電子的共有化運動3s3s3s3s2p2p2p2p電子的共有化運動示意圖各原子中相似殼層上的電子才有相同的能量，電子只能在相似殼層間當兩個原子相距很遠時，如同兩個孤立的原子，原子的能級如圖所示。每個能級都有兩個態與之相應，是二度簡并的(不計原子本身能級的簡并，比如2p能級本身是三度簡并的，此處不考慮)。當兩個原子互相靠近時，每個原子中的電子除受到本身原子的勢場作用外，還要受到另一個原子勢場的作用，其結果是每一個二度簡并的能級都分裂為兩個彼此相距很近的能級；兩個原靠得得越近，分裂得越厲害。半導體物理SemiconductorPhysics能級的分裂2s電子能量1s2pn=1n=22p原子間距2s1s電子能量兩孤立原子體系的能級（每個能級都是二度簡并的）兩互相靠近原子體系的能級（能級不再簡并，出現分裂能級）當兩個原子相距很遠時，如同兩個孤立的原子，原子的能級如圖所示八個原了互相靠近時能級分裂的情況：每個能級都分裂為八個相距很近的能級。兩個原子互相靠近時，原來在某一能級上的電子就分別處在分裂的兩個能級上，這時電子不再屬于某一個原子，而為兩個原子所共有。分裂的能級數需計入原子本身的簡并度，如2s能級分裂為二個能級，2p能級本身是三度簡并的，分裂為六個能級。半導體物理SemiconductorPhysics2p原子間距2s1s電子能量八個原子能級的分裂半導體物理SemiconductorPhysics2p原考慮由N個原子組成的晶體，晶體每立方厘米體積內約有1022~1023個原子，所以N是很大的數值。假設N個原子相距很遠，尚未結合，則每個原子的能級和孤立原子是一樣的，它們都是N度簡并的（不計原子本身的簡并）當N個原子互相靠近結合成晶體后，每個電子都要受到周圍原子勢場的作用，其結果是每一個N度簡并的能級都分裂成N個彼此相距很近的能級，這N個能級組成一個能帶。這時，電子不再屬于某一個原子，而是在晶體中作共有化運動。半導體物理SemiconductorPhysics能帶原子軌道原子能級能帶考慮由N個原子組成的晶體，晶體每立方厘米體積內約有1022~分裂的每一個能帶都稱為允帶，允帶之間因沒有能級稱為禁帶，也稱為帶隙。內殼層的電子原來處在低能級，共有化運動很弱，其能級分裂的很小，能帶很窄；外殼層電子（特別是價電子）原來處于高能級，共有化運動很顯著，如同自由運動的電子，常稱為“準自由電子”，其能級分裂的很厲害，能帶很寬。半導體物理SemiconductorPhysics允帶與禁帶分裂的每一個能帶都稱為允帶，允帶之間因沒有能級稱為禁帶，也稱每一個能帶包含的能級數與孤立原子能級的簡并度有關。例如s能級沒有簡并(不計自旋)，N個原子結合成晶體后，能級便分裂為N個十分靠近的能級，形成一個能帶，這個能帶中共有N個共有化狀態。p能級是三度簡并的，便分裂成3N個十分靠近的能級，形成的能帶中共有3N個共有化狀態。實際的晶體，由于N是一個十分大的數值，能級又靠得很近，所以每一個能帶中的能級基本上可視為連續的，有時稱它為“準連續的”。半導體物理SemiconductorPhysics每一個能帶包含的能級數與孤立原子能級的簡并度有關。例如s能級實際晶體的能帶與孤立原子能級間的對應關系并不都直接對應，一個能帶不一定同孤立原子的某個能級相當，也就是說，不一定能區分s能級和p能級所分裂產生的能帶。例如，金剛石和半導體硅、鍺，它們的原子都有四個價電子，兩個s電子，兩個p電子。組成晶體后，由于于軌道雜化的結果，其價電子形成的能帶上下有兩個能帶，中間隔以禁帶，但是并不是與s和p能級相對應，分別有N個和3N個狀態，而是上下兩個能帶中都分別包含2N個狀態，根據泡利不相容原理，各可容納4N個電子。由于其共有4N個電子，根據電子先填充低能量能級的原理，下面一個能帶填滿了電子，它們相應于共價鍵中電子，這個帶通常稱為滿帶或價帶；上面一個能帶是空的，沒有電子填充，通常稱為導帶，中間隔以禁帶。半導體物理SemiconductorPhysics能帶實際晶體的能帶與孤立原子能級間的對應關系并不都直接對應，一個晶體能帶量子物理圖像晶體能帶

半導休單晶材料和其他固態晶體一樣，是由大量原子周期性重復排列而成．而每個原子又包含原子核和許多電子。如果能夠寫出半導體中所有相互作用著的原子核和電子系統的薛定諤方程，并求出其解，便可以了解半導體的許多物理性質。但是，這是一個非常復雜的多體問題，不可能求出其嚴格解，只能用近似的處理方法研究固態晶體中電子的能量狀態。半導體物理SemiconductorPhysics半導休單晶材料和其他固態晶體一樣，單電子近似半導體物理SemiconductorPhysics單電子近似半導體物理SemiconductorPhysi所謂單電子近似，即假設每個電子是在周期性排列且固定不動的原子核勢場及其他電子的平均勢場中運動。該勢場是具有與晶格同周期的周期性勢場。半導體物理SemiconductorPhysics用單電子近似法研究晶體中電子狀態的理論稱為能帶論。所謂單電子近似，即假設每個電子是在周期性排列且固定不動的原子半導體物理SemiconductorPhysics絕熱近似(波恩-奧本海默近似)：由于電子質量遠小于離子質量，電子的運動速度比離子大得多。因此，相對于電子，可以認為離子不動，這樣在研究電子運動時，可以不考慮離子運動的影響，這就可以把電子運動和離子運動分開處理，把多體問題化成了多電子問題。平均場近似：在多電子系統中，可以把多電子中的每一個電子看作是在離子場及其他電子產生的平均場中運動，這種考慮叫平均場近似。平均場的選取視近似程度而定，如只考慮電子間的庫侖相互作用，則為哈特里(Hartree)平均場；如計入自旋，考慮電子間的庫侖及交換相互作用，則為哈特里-福克(Hartree-Fock)平均場。這些平均場的計算均要用自洽場的方法，所以也叫自洽場近似。這樣就把一個多電子問題化為單電子問題。周期性近似：假定所有離子產生的勢場和其他電子的平均勢場是周期勢場，其周期為晶格所具有的周期。半導體物理SemiconductorPhysics絕熱近半導體物理SemiconductorPhysics經過單電子近似，晶體中的電子運動就簡化為周期場中的單電子問題，這個單電子的薛定諤方程為其中半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫定理半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫定理半導體物理SemiconductorPhysi半導體物理SemiconductorPhysics在周期性勢場中運動的單電子有什么特點呢？布洛赫發現：不管周期勢場的具體函數形式如何，其波函數一定具有如下形式：

uk(x)是一個與晶格同周期的周期性函數，即

具有上面形式的波函數稱為布洛赫波函數。上述結論叫布洛赫定理。半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫波函數意義：布洛赫函數代表一個波長為1/k而在k方向上傳播的平面波，不過這個波的振幅uk(x)隨x做周期性變化，變化周期與晶格周期相同。與自由電子波函數比較，若uk(x)為常數，則變為自由電子波函數。其次，根據波函數的意義，在空間某一點找到電子的幾率與波函數在該點的強度成比例，對自由電子，|ψψ*|=A2，即在空間各點波函數的強度相等，故在各點找到電子的幾率相同，反映了電子在空間的自由運動。而對于晶體中的電子，|ψψ*|=|uk(x)uk*(x)|，但是uk(x)是與晶格同周期的函數，在晶體中波函數的強度也隨晶格周期性的變化，所以在晶體中各點找到該電子的幾率也具有周期性變化的性質。反映了電子的共有化運動。布洛赫函數中的波矢k與自由電子波函數中一樣，它描述晶體中電子的共有化運動狀態，不同的k標志著不同的共有化運動狀態。半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫近自由電子近似半導體物理SemiconductorPhysics近自由電子近似半導體物理SemiconductorPhy半導體物理SemiconductorPhysics自由電子

一個質量為m0，以速度u自由運動的電子，其動量p與能量E分別為

p=m0u

E=p2/2m0

動量一定的自由粒子運動態可以用平面波表示

Φ(r,t)=Aei2π(k·r-νt)其中，ν是頻率，k是波矢，其大小等于波長λ的倒數。

半導體物理SemiconductorPhysics自由電自由電子的能量和動量與平面波頻率和波矢之間的關系分別為：

E=hv

p=hk一維情況下：

Φ(x,t)=Aei2π(k·x-νt)=Aei2πk·x

e-i2πvt=ψ(x)e-i2πvt式中ψ(x)=Aei2πk·x

，稱為自由電子波函數，代表一個沿x方向傳播的平面波，滿足定態薛定諤方程：半導體物理SemiconductorPhysics解薛定諤方程或直接將p=hk代入式p=m0u和

E=p2/2m0自由電子的能量和動量與平面波頻率和波矢之間的關系分別為：半導半導體物理SemiconductorPhysics對于波矢為k的運動狀態，自由電子能量E，動量p，速度u均有確定的數值。因此波矢k可以用來描述自由電子的運動狀態，不同的k值標志自由電子的不同狀態。k連續變化，自由電子的能量也是連續能譜，從零到無限大都是允許的。半導體物理SemiconductorPhysics對于波半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫定理給出了周期勢場中運動的電子波函數的普遍形式，但是并不能給出某一晶體中電子波函數的具體形式，也不能獲得電子能譜--能帶結構的表達形式。要得到上述信息，必須求解單電子薛定諤方程。這仍是一個比較困難的問題。為此，人們提出一個簡單模型-近自由電子近似，也叫弱周期場近似，即在周期場較弱的情況下，將該弱周期場看作是自由電子穩定勢場的微擾。這個模型雖然簡單，卻能給出周期場中運動電子本征態的一些最基本特點。近自由電子近似半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics一維非簡并情況一維晶體周期勢場V(x)可用傅立葉展開V0為勢能平均值，方便起見取其為能量零點，求和號帶撇表示累加時不包括n=0

因為勢場的周期性起伏比較小，故可以將V(x)視為微擾項H'半導體物理SemiconductorPhysics一維非半導體物理SemiconductorPhysics零級近似波函數和零級近似能量：計算過程略，咱們直接出結果能量二級修正本征值：一級修正本征波函數：半導體物理SemiconductorPhysics零級近半導體物理SemiconductorPhysics波函數由兩部分疊加而成第一部分是波矢為k的平面波第二部分是該平面波受到周期場作用而產生的散射波，各散射波振幅為根據微擾要求，上式應很小，這就要求：(1)Vn*很小，故只適合弱周期場情況；(2)分母能量差應較大半導體物理SemiconductorPhysics波函數半導體物理SemiconductorPhysics一維簡并微擾的情況上述微擾的要求并不總能滿足，即使Vn*很小，但如果分母能量差很小，特別是當k=nπ/a并且k'=-nπ/a時，兩能量相等，會導致波函

從量子力學可知，此時一個能量對應兩個狀態，是簡并態的情況，必須用簡并微擾來處理。

如果認為數及能量發散，上述微擾就不再適用。是前進的平面波，則即為布拉格反射波。這時，零級波函數將不是或者而是兩者的線性組合。實際上，在波矢k接近布拉格反射條件時，散射波已經相當強了，非簡并微擾已不適用。所以，對于接近nπ/a即布里淵區邊界的k態：半導體物理SemiconductorPhysics一維簡半導體物理SemiconductorPhysics

最主要的影響是摻入了能量和它相近的狀態直接出結果自由電子在k=nπ/a狀態的動能

零級波函數假如進一步略去項半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics從上面分析可以看出：

當k的值與布里淵區邊界相距較遠時，非簡并微擾理論可以適用，弱周期場中的電子能量可以用表示。由于二級修正項很小，此時電子能量與自由電子能量相差無幾。

當k處于布里淵區邊界附近，非簡并微擾已不適用，要用簡并微擾獲得的能量公式半導體物理SemiconductorPhysics從上面半導體物理SemiconductorPhysics來描述電子的能量。這樣，如圖所示，在布里淵區的邊界附近，能量高的部分E+按上式上升，能量低的部分E-按上式下降，于是在布里淵區邊界(Δ=0),出現的能半導體物理SemiconductorPhysics來描述半導體物理SemiconductorPhysics量間隔或能隙。在各能量間隔不存在允許的電子能級，或者說，晶體中的電子不能具有這個能量間隔的能量，這個能量間隔叫禁帶。電子能譜的能帶結構是周期場中運動電子的最基本特性。禁帶形成的物理機制禁帶形成的物理機制可以這樣理解：當電子的波矢離布里淵區邊界較遠時，如前所述的波函數公式中第二項散射波部分幅度很小，對入射波的干擾很小，于是電子態和自由電子很接近。

半導體物理SemiconductorPhysics量間隔半導體物理SemiconductorPhysics如果入射的自由電子的波矢接近布里淵區邊界nπ/a，與此波矢相差為倒格矢2nπ/a的散射波振幅就很大，它們與入射波干涉會形成駐波。這就使具有這樣的能量的電子波不能進入晶體，不會在晶體中存在，因此在自由電子準連續的電子能譜中形成禁帶。

事實上，由k=

nπ/a和k=2π/λ，可以得到2a=nλ，這正是一維布拉格全反射條件：相鄰原子的背向散射波干涉相長，使入射波遭到全反射不能進入晶體內部。半導體物理SemiconductorPhysics如果入半導體物理SemiconductorPhysics能帶結構的三種表示方式周期圖示擴展布里淵區圖示簡約布里淵區圖示半導體物理SemiconductorPhysics能帶結半導體物理SemiconductorPhysics

一、當

k=n/2a(n=0,±1,±2,…)時，能量出現不連續，形成一系列允帶和禁帶。二、允帶出現在以下幾個布里淵區中：第一布里淵區-1/2a<k<1/2a

第二布里淵區-1/a<k<1/2a，

1/2a<k<1/a

第三布里淵區-3/2a<k<1/a，1/a<k<3/2a三、禁帶出現在k=n/2a處，即出現在布里淵區邊界上四、E(k)也是k的周期性函數，周期為1/a，即

E(k)=E(k+n/a)k

和k+n/a表示相同的狀態。布里淵區與能帶半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics

五、考慮能帶結構時，只需考慮-1/2a<k<1/2a的區域就夠了，也就是第一布里淵區，常稱這一區域為簡約布里淵區，這一區域內的波矢為簡約波矢。六、E為k的多值函數。因此，在說明E(k)和k的關系時，必須用En(k)標明是第幾個能帶。七、與自由電子E-k關系對比：

晶體中自由電子E是k的多值函數E是k的單值函數

能量連續能量不連續周期性隨k絕對值單調增大

相應E值與自由電子相近半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics

八、對有限的晶體，根據周期性邊界條件，波矢k只能取分立值。

對邊長為L的立方晶體，波矢k的三個分量分別為波矢k具有量子數的作用，它描述晶體中電子共有化運動的量子狀態可以證明每一個布里源區有N個k狀態，每一個k值相應一個能級，k值分立，能級準連續，每個能帶有N個能級，N為固體物理學原胞數。半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics三維晶格布里淵區的做法首先做出晶體的倒格子，任選一倒格點為原點，由原點到最近及次近的倒格點引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，這些面就是布里淵區的邊界，在這些邊界上能量發生不連續，這些面所圍成的最小多面體就是第一布里淵區。

例：面心立方晶格的第一布里淵區首先，面心立方的倒格子是體心立方。選體心格點為原點，由原點向最近的倒格點也就是頂角八個倒格點引倒格矢，再做其垂直平分面，構成一個八面體。然后再由原點向次近鄰的倒格點，也就是相鄰六個體心立方的體心，引倒格矢，再做其垂直平分面，將八面體截去六個角，構成一個十四面體。這個十四面體就是面心立方晶體的第一布里淵區。

半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics硅、鍺等半導體都屬于金剛石結構，它們的固體物理原胞和面心立方相同，兩者有相同的基矢，所以它們有相同的倒格子和布里淵區。III-V族化合物大多屬于閃鋅礦結構，它們的布里淵區也和面心立方相同。半導體物理SemiconductorPhysics硅、鍺半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體、絕緣體的能帶固體按其導電性分為導體、半導體和絕緣體的機理，可以根據電子填充能帶的情況來說明。固體能夠導電，是固體中的電子在外電場作用下定向運動的結果。對于滿帶，其中的能級已為電子所占滿，在外電場下，滿帶中的電子并不形成電流，對導電沒有貢獻。通常原子中的內層電子都是占據滿帶中的能級，因而內層電子對導電沒有貢獻。對于被電子部分占滿的能帶，在外電場作用下，電子可從外電場吸收能量躍遷到未被電子占據的能級去，形成了電流，起導電作用，常稱這種能帶為導帶。半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體、絕緣體的能帶對于金屬，由于金屬原子中的價電子占據的能帶是部分占滿的，所以金屬是良好的導體。絕緣體和半導體的能帶類似。下面是被價電子占滿的滿帶（其下面還有為內層電子占滿的若干滿帶未畫出），也稱價帶，中間是禁帶，上面是空帶。因此在外電場作用下并不導電（絕對零度）。半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體、絕緣體的能帶當溫度升高或有光照等外界變化時，滿帶中的部分電子可能被激發到上面的空帶上去，使能帶底部附近有了少量電子，在外場作用下，這些電子將參與導電。同時，滿帶中由于少了一些電子，滿帶出現了一些空態，變成了部分占據，在外場作用下，仍留在滿帶中的電子也能起導電作用，滿帶電子的這種導電作用相當于把這些空態看作帶正電荷的準粒子的導電作用，常稱這些空的量子態為空穴。所以在半導體中，導帶的電子和價帶的空穴均參與導電，這是與金屬的最大區別。絕緣體的禁帶寬度很大，激發電子需要很大能量，在通常溫度下，能激發到導帶去的電子很少，所以導電性很差。半導體禁帶寬度比較小，數量級在1eV左右，在通常溫度下已有不少電子被激發到導帶中去，所以具有一定的導電能力，這是絕緣體和半導體的主要區別。半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體、絕緣體的能帶金剛石的禁帶寬度為6~7eV，它是絕緣體；硅為1.12eV，鍺為0.67eV，砷化鎵為1.43eV。右圖：一定溫度下半導體的能帶圖（本征激發情況），圖中“·”表示電子。在絕對零度時填滿價帶中的所有能級。EV稱為價帶頂，它是價帶電子的最高能量。在一定溫度下，價帶中的電子，依靠熱激發，有可能脫離共價鍵，躍遷到導帶中去，成為準自由電子。躍遷需要的最低能量就是禁帶寬度Eg，Ec稱為導帶底，它是導帶電子的最低能量。價帶電子激發成為導帶電子的過程，稱為本征激發。半導體物理SemiconductorPhysics導體、半導體物理SemiconductorPhysics

如圖所示一維晶格能量E與波矢k的關系，如電子能譜和自由電子一樣，寫出與簡約波矢k=1/4a對應的A（第I能帶），B（第II能帶），C（第III能帶）三點處的能量E。作業：半導體物理SemiconductorPhysics

半導體中的電子狀態和能帶龐智勇山東大學物理學院本幻燈片參照劉恩科等所編著教材《半導體物理學》編寫

半導體中的電子狀態和能帶龐智勇原子能級與晶體能帶能級軌道圖像原子能級與晶體能帶原子中的電子在原子核的勢場和其他電子的作用下，分列在不同的能級上，形成所謂電子殼層，不同支殼層的電子分別用1s;2s;2p;3s;3p;3d;4s…等符號表示。每一支殼層對應于確定的能量。當原子相互接近形成晶體時，不同原于的內外各電子殼層之間就有了一定程度的交疊，相鄰原子最外殼層交疊最多，內殼層交疊較少。由于電子殼層的交疊，電子不再完全局限在某一個原子上，可以由一個原子轉移到相鄰的原于上去，因而，電子將可以在整個晶體中運動。這種運動稱為電子的共有化運動。半導體物理SemiconductorPhysics電子的共有化運動原子中的電子在原子核的勢場和其他電子的作用下，分列在不同的能各原子中相似殼層上的電子才有相同的能量，電子只能在相似殼層間轉移。內外殼層交疊程度很不相同，只有最外層電子的共有化運動才顯著。半導體物理SemiconductorPhysics電子的共有化運動3s3s3s3s2p2p2p2p電子的共有化運動示意圖各原子中相似殼層上的電子才有相同的能量，電子只能在相似殼層間當兩個原子相距很遠時，如同兩個孤立的原子，原子的能級如圖所示。每個能級都有兩個態與之相應，是二度簡并的(不計原子本身能級的簡并，比如2p能級本身是三度簡并的，此處不考慮)。當兩個原子互相靠近時，每個原子中的電子除受到本身原子的勢場作用外，還要受到另一個原子勢場的作用，其結果是每一個二度簡并的能級都分裂為兩個彼此相距很近的能級；兩個原靠得得越近，分裂得越厲害。半導體物理SemiconductorPhysics能級的分裂2s電子能量1s2pn=1n=22p原子間距2s1s電子能量兩孤立原子體系的能級（每個能級都是二度簡并的）兩互相靠近原子體系的能級（能級不再簡并，出現分裂能級）當兩個原子相距很遠時，如同兩個孤立的原子，原子的能級如圖所示八個原了互相靠近時能級分裂的情況：每個能級都分裂為八個相距很近的能級。兩個原子互相靠近時，原來在某一能級上的電子就分別處在分裂的兩個能級上，這時電子不再屬于某一個原子，而為兩個原子所共有。分裂的能級數需計入原子本身的簡并度，如2s能級分裂為二個能級，2p能級本身是三度簡并的，分裂為六個能級。半導體物理SemiconductorPhysics2p原子間距2s1s電子能量八個原子能級的分裂半導體物理SemiconductorPhysics2p原考慮由N個原子組成的晶體，晶體每立方厘米體積內約有1022~1023個原子，所以N是很大的數值。假設N個原子相距很遠，尚未結合，則每個原子的能級和孤立原子是一樣的，它們都是N度簡并的（不計原子本身的簡并）當N個原子互相靠近結合成晶體后，每個電子都要受到周圍原子勢場的作用，其結果是每一個N度簡并的能級都分裂成N個彼此相距很近的能級，這N個能級組成一個能帶。這時，電子不再屬于某一個原子，而是在晶體中作共有化運動。半導體物理SemiconductorPhysics能帶原子軌道原子能級能帶考慮由N個原子組成的晶體，晶體每立方厘米體積內約有1022~分裂的每一個能帶都稱為允帶，允帶之間因沒有能級稱為禁帶，也稱為帶隙。內殼層的電子原來處在低能級，共有化運動很弱，其能級分裂的很小，能帶很窄；外殼層電子（特別是價電子）原來處于高能級，共有化運動很顯著，如同自由運動的電子，常稱為“準自由電子”，其能級分裂的很厲害，能帶很寬。半導體物理SemiconductorPhysics允帶與禁帶分裂的每一個能帶都稱為允帶，允帶之間因沒有能級稱為禁帶，也稱每一個能帶包含的能級數與孤立原子能級的簡并度有關。例如s能級沒有簡并(不計自旋)，N個原子結合成晶體后，能級便分裂為N個十分靠近的能級，形成一個能帶，這個能帶中共有N個共有化狀態。p能級是三度簡并的，便分裂成3N個十分靠近的能級，形成的能帶中共有3N個共有化狀態。實際的晶體，由于N是一個十分大的數值，能級又靠得很近，所以每一個能帶中的能級基本上可視為連續的，有時稱它為“準連續的”。半導體物理SemiconductorPhysics每一個能帶包含的能級數與孤立原子能級的簡并度有關。例如s能級實際晶體的能帶與孤立原子能級間的對應關系并不都直接對應，一個能帶不一定同孤立原子的某個能級相當，也就是說，不一定能區分s能級和p能級所分裂產生的能帶。例如，金剛石和半導體硅、鍺，它們的原子都有四個價電子，兩個s電子，兩個p電子。組成晶體后，由于于軌道雜化的結果，其價電子形成的能帶上下有兩個能帶，中間隔以禁帶，但是并不是與s和p能級相對應，分別有N個和3N個狀態，而是上下兩個能帶中都分別包含2N個狀態，根據泡利不相容原理，各可容納4N個電子。由于其共有4N個電子，根據電子先填充低能量能級的原理，下面一個能帶填滿了電子，它們相應于共價鍵中電子，這個帶通常稱為滿帶或價帶；上面一個能帶是空的，沒有電子填充，通常稱為導帶，中間隔以禁帶。半導體物理SemiconductorPhysics能帶實際晶體的能帶與孤立原子能級間的對應關系并不都直接對應，一個晶體能帶量子物理圖像晶體能帶

半導休單晶材料和其他固態晶體一樣，是由大量原子周期性重復排列而成．而每個原子又包含原子核和許多電子。如果能夠寫出半導體中所有相互作用著的原子核和電子系統的薛定諤方程，并求出其解，便可以了解半導體的許多物理性質。但是，這是一個非常復雜的多體問題，不可能求出其嚴格解，只能用近似的處理方法研究固態晶體中電子的能量狀態。半導體物理SemiconductorPhysics半導休單晶材料和其他固態晶體一樣，單電子近似半導體物理SemiconductorPhysics單電子近似半導體物理SemiconductorPhysi所謂單電子近似，即假設每個電子是在周期性排列且固定不動的原子核勢場及其他電子的平均勢場中運動。該勢場是具有與晶格同周期的周期性勢場。半導體物理SemiconductorPhysics用單電子近似法研究晶體中電子狀態的理論稱為能帶論。所謂單電子近似，即假設每個電子是在周期性排列且固定不動的原子半導體物理SemiconductorPhysics絕熱近似(波恩-奧本海默近似)：由于電子質量遠小于離子質量，電子的運動速度比離子大得多。因此，相對于電子，可以認為離子不動，這樣在研究電子運動時，可以不考慮離子運動的影響，這就可以把電子運動和離子運動分開處理，把多體問題化成了多電子問題。平均場近似：在多電子系統中，可以把多電子中的每一個電子看作是在離子場及其他電子產生的平均場中運動，這種考慮叫平均場近似。平均場的選取視近似程度而定，如只考慮電子間的庫侖相互作用，則為哈特里(Hartree)平均場；如計入自旋，考慮電子間的庫侖及交換相互作用，則為哈特里-福克(Hartree-Fock)平均場。這些平均場的計算均要用自洽場的方法，所以也叫自洽場近似。這樣就把一個多電子問題化為單電子問題。周期性近似：假定所有離子產生的勢場和其他電子的平均勢場是周期勢場，其周期為晶格所具有的周期。半導體物理SemiconductorPhysics絕熱近半導體物理SemiconductorPhysics經過單電子近似，晶體中的電子運動就簡化為周期場中的單電子問題，這個單電子的薛定諤方程為其中半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫定理半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫定理半導體物理SemiconductorPhysi半導體物理SemiconductorPhysics在周期性勢場中運動的單電子有什么特點呢？布洛赫發現：不管周期勢場的具體函數形式如何，其波函數一定具有如下形式：

uk(x)是一個與晶格同周期的周期性函數，即

具有上面形式的波函數稱為布洛赫波函數。上述結論叫布洛赫定理。半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫波函數意義：布洛赫函數代表一個波長為1/k而在k方向上傳播的平面波，不過這個波的振幅uk(x)隨x做周期性變化，變化周期與晶格周期相同。與自由電子波函數比較，若uk(x)為常數，則變為自由電子波函數。其次，根據波函數的意義，在空間某一點找到電子的幾率與波函數在該點的強度成比例，對自由電子，|ψψ*|=A2，即在空間各點波函數的強度相等，故在各點找到電子的幾率相同，反映了電子在空間的自由運動。而對于晶體中的電子，|ψψ*|=|uk(x)uk*(x)|，但是uk(x)是與晶格同周期的函數，在晶體中波函數的強度也隨晶格周期性的變化，所以在晶體中各點找到該電子的幾率也具有周期性變化的性質。反映了電子的共有化運動。布洛赫函數中的波矢k與自由電子波函數中一樣，它描述晶體中電子的共有化運動狀態，不同的k標志著不同的共有化運動狀態。半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫近自由電子近似半導體物理SemiconductorPhysics近自由電子近似半導體物理SemiconductorPhy半導體物理SemiconductorPhysics自由電子

一個質量為m0，以速度u自由運動的電子，其動量p與能量E分別為

p=m0u

E=p2/2m0

動量一定的自由粒子運動態可以用平面波表示

Φ(r,t)=Aei2π(k·r-νt)其中，ν是頻率，k是波矢，其大小等于波長λ的倒數。

半導體物理SemiconductorPhysics自由電自由電子的能量和動量與平面波頻率和波矢之間的關系分別為：

E=hv

p=hk一維情況下：

Φ(x,t)=Aei2π(k·x-νt)=Aei2πk·x

e-i2πvt=ψ(x)e-i2πvt式中ψ(x)=Aei2πk·x

，稱為自由電子波函數，代表一個沿x方向傳播的平面波，滿足定態薛定諤方程：半導體物理SemiconductorPhysics解薛定諤方程或直接將p=hk代入式p=m0u和

E=p2/2m0自由電子的能量和動量與平面波頻率和波矢之間的關系分別為：半導半導體物理SemiconductorPhysics對于波矢為k的運動狀態，自由電子能量E，動量p，速度u均有確定的數值。因此波矢k可以用來描述自由電子的運動狀態，不同的k值標志自由電子的不同狀態。k連續變化，自由電子的能量也是連續能譜，從零到無限大都是允許的。半導體物理SemiconductorPhysics對于波半導體物理SemiconductorPhysics布洛赫定理給出了周期勢場中運動的電子波函數的普遍形式，但是并不能給出某一晶體中電子波函數的具體形式，也不能獲得電子能譜--能帶結構的表達形式。要得到上述信息，必須求解單電子薛定諤方程。這仍是一個比較困難的問題。為此，人們提出一個簡單模型-近自由電子近似，也叫弱周期場近似，即在周期場較弱的情況下，將該弱周期場看作是自由電子穩定勢場的微擾。這個模型雖然簡單，卻能給出周期場中運動電子本征態的一些最基本特點。近自由電子近似半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics一維非簡并情況一維晶體周期勢場V(x)可用傅立葉展開V0為勢能平均值，方便起見取其為能量零點，求和號帶撇表示累加時不包括n=0

因為勢場的周期性起伏比較小，故可以將V(x)視為微擾項H'半導體物理SemiconductorPhysics一維非半導體物理SemiconductorPhysics零級近似波函數和零級近似能量：計算過程略，咱們直接出結果能量二級修正本征值：一級修正本征波函數：半導體物理SemiconductorPhysics零級近半導體物理SemiconductorPhysics波函數由兩部分疊加而成第一部分是波矢為k的平面波第二部分是該平面波受到周期場作用而產生的散射波，各散射波振幅為根據微擾要求，上式應很小，這就要求：(1)Vn*很小，故只適合弱周期場情況；(2)分母能量差應較大半導體物理SemiconductorPhysics波函數半導體物理SemiconductorPhysics一維簡并微擾的情況上述微擾的要求并不總能滿足，即使Vn*很小，但如果分母能量差很小，特別是當k=nπ/a并且k'=-nπ/a時，兩能量相等，會導致波函

從量子力學可知，此時一個能量對應兩個狀態，是簡并態的情況，必須用簡并微擾來處理。

如果認為數及能量發散，上述微擾就不再適用。是前進的平面波，則即為布拉格反射波。這時，零級波函數將不是或者而是兩者的線性組合。實際上，在波矢k接近布拉格反射條件時，散射波已經相當強了，非簡并微擾已不適用。所以，對于接近nπ/a即布里淵區邊界的k態：半導體物理SemiconductorPhysics一維簡半導體物理SemiconductorPhysics

最主要的影響是摻入了能量和它相近的狀態直接出結果自由電子在k=nπ/a狀態的動能

零級波函數假如進一步略去項半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics從上面分析可以看出：

當k的值與布里淵區邊界相距較遠時，非簡并微擾理論可以適用，弱周期場中的電子能量可以用表示。由于二級修正項很小，此時電子能量與自由電子能量相差無幾。

當k處于布里淵區邊界附近，非簡并微擾已不適用，要用簡并微擾獲得的能量公式半導體物理SemiconductorPhysics從上面半導體物理SemiconductorPhysics來描述電子的能量。這樣，如圖所示，在布里淵區的邊界附近，能量高的部分E+按上式上升，能量低的部分E-按上式下降，于是在布里淵區邊界(Δ=0),出現的能半導體物理SemiconductorPhysics來描述半導體物理SemiconductorPhysics量間隔或能隙。在各能量間隔不存在允許的電子能級，或者說，晶體中的電子不能具有這個能量間隔的能量，這個能量間隔叫禁帶。電子能譜的能帶結構是周期場中運動電子的最基本特性。禁帶形成的物理機制禁帶形成的物理機制可以這樣理解：當電子的波矢離布里淵區邊界較遠時，如前所述的波函數公式中第二項散射波部分幅度很小，對入射波的干擾很小，于是電子態和自由電子很接近。

半導體物理SemiconductorPhysics量間隔半導體物理SemiconductorPhysics如果入射的自由電子的波矢接近布里淵區邊界nπ/a，與此波矢相差為倒格矢2nπ/a的散射波振幅就很大，它們與入射波干涉會形成駐波。這就使具有這樣的能量的電子波不能進入晶體，不會在晶體中存在，因此在自由電子準連續的電子能譜中形成禁帶。

事實上，由k=

nπ/a和k=2π/λ，可以得到2a=nλ，這正是一維布拉格全反射條件：相鄰原子的背向散射波干涉相長，使入射波遭到全反射不能進入晶體內部。半導體物理SemiconductorPhysics如果入半導體物理SemiconductorPhysics能帶結構的三種表示方式周期圖示擴展布里淵區圖示簡約布里淵區圖示半導體物理SemiconductorPhysics能帶結半導體物理SemiconductorPhysics

一、當

k=n/2a(n=0,±1,±2,…)時，能量出現不連續，形成一系列允帶和禁帶。二、允帶出現在以下幾個布里淵區中：第一布里淵區-1/2a<k<1/2a

第二布里淵區-1/a<k<1/2a，

1/2a<k<1/a

第三布里淵區-3/2a<k<1/a，1/a<k<3/2a三、禁帶出現在k=n/2a處，即出現在布里淵區邊界上四、E(k)也是k的周期性函數，周期為1/a，即

E(k)=E(k+n/a)k

和k+n/a表示相同的狀態。布里淵區與能帶半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics

五、考慮能帶結構時，只需考慮-1/2a<k<1/2a的區域就夠了，也就是第一布里淵區，常稱這一區域為簡約布里淵區，這一區域內的波矢為簡約波矢。六、E為k的多值函數。因此，在說明E(k)和k的關系時，必須用En(k)標明是第幾個能帶。七、與自由電子E-k關系對比：

晶體中自由電子E是k的多值函數E是k的單值函數

能量連續能量不連續周期性隨k絕對值單調增大

相應E值與自由電子相近半導體物理SemiconductorPhysics半導體物理SemiconductorPhysics